2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 偏微分方程的理论与实践

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——偏微分方程的理论与实践考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、1.设有偏微分方程$u_t+xu_x=0$，求其通解，并用特征线法求解初值问题$u(x,0)=\sinx$。2.解释什么是线性偏微分方程，并说明二阶线性偏微分方程$Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\text{(lowerorderterms)}=0$的分类（椭圆型、抛物型、双曲型）依据及其几何意义。3.阐述热传导方程$u_t=ku_{xx}$（$k>0$）的极值原理，并说明它对解的唯一性有何启示。4.写出拉普拉斯方程$\Deltau=u_{xx}+u_{yy}=0$在直角坐标系下的表达式，并描述其在物理（如稳态温度场、静电场）中的意义。二、1.用分离变量法求解如下定解问题：$$u_t=u_{xx},\quad0<x<\pi,\t>0,$$$$u(0,t)=0,\quadu(\pi,t)=0,$$$$u(x,0)=\sin^2x.$$2.求解如下初值问题：$$u_t=u_{xx},\quad-\infty<x<\infty,\t>0,$$$$u(x,0)=f(x),$$其中$f(x)$是给定的连续函数，要求用傅里叶变换法求解。三、1.考虑弦振动问题：$$\frac{\partial^2u}{\partialt^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partialx^2},\quad0<x<L,\t>0,$$$$u(0,t)=0,\quadu(L,t)=0,$$$$u(x,0)=\phi(x),\quadu_t(x,0)=\psi(x),$$其中$\phi(x)$和$\psi(x)$是已知的连续函数，$a$是常数。试写出该问题用分离变量法求解的步骤（包括固有值、固有函数、齐次化原理应用等），并说明如何处理初始速度$\psi(x)\neq0$的情况。2.证明：如果函数$u(x,t)$满足波动方程$\frac{\partial^2u}{\partialt^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partialx^2}=0$及其初始条件$u(x,0)=\phi(x)$,$u_t(x,0)=\psi(x)$，那么$u(x,t)$可以表示为$u(x,t)=\frac{1}{2}[\phi(x+at)+\phi(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi$。这一表示式称为达朗贝尔公式。四、1.一个长为$L$的均匀细杆，初始温度分布为$u(x,0)=f(x)$，两端分别保持在$0^\circC$和$0^\circC$，求杆上任意时刻$t>0$的温度分布$u(x,t)$。2.在半径为$R$的圆盘内部求解拉普拉斯方程$\Deltau=0$，边界条件为$u(R,\theta)=g(\theta)$，其中$g(\theta)$是已知函数。请写出分离变量法求解该问题的思路（不要求写出完整解）。3.将如下物理问题转化为相应的偏微分方程和定解条件：一根长度为$L$的均匀细杆，初始温度为$u(x,0)=\sin(\pix/L)$，两端绝热，杆的侧面与周围环境有热交换，环境温度为$T_0$，热交换系数为$h$。描述杆内温度随时间和位置的变化。试卷答案一、1.通解：$u=F(x-yt)$，其中$F$是任意可微函数。特征方程为$dx=dt$，特征线为$x-yt=\text{constant}$。代入初值条件，$u(x,0)=F(x)=\sinx$，故通解为$u(x,t)=\sin(x-yt)$。2.线性偏微分方程是指方程中关于未知函数及其各阶偏导数的线性组合，即形式为$a_i(x,y)u_{x^{i_1}}u_{x^{i_2}}\cdotsu_{x^{i_n}}+b_i(x,y)u_{y^{j_1}}u_{y^{j_2}}\cdotsu_{y^{j_n}}+\cdots+c(x,y,u,u_x,u_y,\dots)=0$，其中系数和常数项仅依赖于自变量和未知函数本身，不包含其导数的乘积或非线性函数。分类依据是二阶导系数构成的判别式$\Delta=B^2-4AC$。*当$\Delta<0$时，为椭圆型，如拉普拉斯方程$(A=C=0,B<0)$，其特征方程$Bdy-Adx=0$无实特征方向，解的性质通常与时间无关或与空间变量无关的平衡状态相关。*当$\Delta=0$时，为抛物型，如热传导方程$(A=0,B=1,C=0)$，其特征方程有一个重特征方向，解通常具有时间依赖性，与扩散过程相关。*当$\Delta>0$时，为双曲型，如波动方程$(A=C=1,B=0)$，其特征方程有两个实特征方向，解通常具有波的传播特性。3.极值原理：对于热传导方程$\Deltau\ge0$在有界区域$\Omega$上，如果$u$在$\Omega\cup\partial\Omega$上连续，则在$\Omega$内部$u$不能取得局部极大值，除非$u$恒为常数。这表明非负初始能量（如$\int_\Omegau(x,0)^2dx\ge0$）将保持非负，并随时间推移可能减少（散逸），这为解的唯一性提供了基础。4.直角坐标系下：$\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}=0$。物理意义：在无源区域，描述稳态温度场中温度的分布，即温度的梯度场是无旋的；描述静电场中电势的分布，即电势的拉普拉斯方程成立。二、1.令$u(x,t)=X(x)T(t)$，代入方程得$X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)$，分离变量$\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda$。解$X$的方程$X''+\lambdaX=0$，边界条件$X(0)T(t)=0\RightarrowX(0)=0$,$X(\pi)T(t)=0\RightarrowX(\pi)=0$。特征值为$\lambda_n=n^2,n=1,2,3,\dots$，对应特征函数$X_n(x)=\sinnx$。解$T$的方程$T'(t)+kn^2T(t)=0$，得$T_n(t)=C_ne^{-kn^2t}$。通解为$u(x,t)=\sum_{n=1}^\inftyC_n\sinnxe^{-kn^2t}$。由初始条件$u(x,0)=\sum_{n=1}^\inftyC_n\sinnx=\sin^2x$。利用三角恒等式$\sin^2x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos2x$，展开得$C_1=\frac{1}{2},C_2=-\frac{1}{2},C_n=0\(n\ge3)$。故解为$u(x,t)=\frac{1}{2}\sinxe^{-kt}-\frac{1}{2}\sin2xe^{-4kt}$。2.对$u(x,t)$作傅里叶变换$U(k,t)$，得$U(k,t)=\int_{-\infty}^\inftyu(x,t)e^{-ikx}dx=\int_{-\infty}^\inftyf(x)e^{-ikx}dx=\hat{f}(k)$（由初值条件）。对原方程两边作傅里叶变换，得$\frac{dU}{dt}=-k^2U$。解此常微分方程，$U(k,t)=\hat{f}(k)e^{-k^2t}$。对$U(k,t)$作傅里叶逆变换，得$u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\hat{f}(k)e^{-k^2t}e^{ikx}dk$。利用$\mathcal{F}^{-1}\{e^{-a^2k^2}\}=\frac{1}{\sqrt{4\pia}}e^{-x^2/(4a)}$，令$a=1/\sqrt{t}$，则$e^{-k^2t}\leftrightarrow\sqrt{\frac{t}{4\pi}}e^{-x^2/(4t)}$。又$\hat{f}(k)$的逆变换是$f(x)$。利用卷积定理，$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pit}}\int_{-\infty}^\inftyf(\xi)e^{-(x-\xi)^2/(4t)}d\xi$。此即达朗贝尔公式。三、1.步骤：*令$u(x,t)=X(x)T(t)$，代入方程得$X(x)T''(t)=a^2X''(x)T(t)$，分离变量$\frac{T''(t)}{T(t)}=a^2\frac{X''(x)}{X(x)}=-\omega^2$。得$X''+\omega^2X=0$和$T''+a^2\omega^2T=0$。*解$X$的方程，边界条件$X(0)=0,X(L)=0$。特征值为$\omega_n=\frac{n\pi}{L},n=1,2,3,\dots$，对应特征函数$X_n(x)=\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)$。*解$T$的方程，得$T_n(t)=A_n\cos(a\omega_nt)+B_n\sin(a\omega_nt)=A_n\cos\left(\frac{n\pia}{L}t\right)+B_n\sin\left(\frac{n\pia}{L}t\right)$。*通解为$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left[A_n\cos\left(\frac{n\pia}{L}t\right)+B_n\sin\left(\frac{n\pia}{L}t\right)\right]\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)$。*由初始条件$u(x,0)=\phi(x)=\sum_{n=1}^\inftyA_n\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)$，得$A_n=\frac{2}{L}\int_0^L\phi(x)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx$。*由$u_t(x,0)=\psi(x)=\sum_{n=1}^\inftyB_n\frac{n\pia}{L}\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)$，得$B_n=\frac{2}{n\pia}\frac{L}{L}\int_0^L\psi(x)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx=\frac{2}{n\pia}\int_0^L\psi(x)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx$。*最终解为$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left[\frac{2}{L}\int_0^L\phi(\xi)\sin\left(\frac{n\pi}{L}\xi\right)d\xi\cos\left(\frac{n\pia}{L}t\right)+\frac{2}{n\pia}\int_0^L\psi(\xi)\sin\left(\frac{n\pi}{L}\xi\right)d\xi\sin\left(\frac{n\pia}{L}t\right)\right]\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)$。*处理$\psi(x)\neq0$的情况：上述分离变量法依然适用，$A_n,B_n$由初始条件唯一确定，$B_n$中包含了由初始速度引起的项。2.证明达朗贝尔公式。考虑波动方程$\frac{\partial^2u}{\partialt^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partialx^2}=0$及其初值条件$u(x,0)=\phi(x)$,$u_t(x,0)=\psi(x)$。引入新变量$\xi=x+at$,$\eta=x-at$。计算$\frac{\partial}{\partialt}=a\frac{\partial}{\partial\xi}-a\frac{\partial}{\partial\eta}$，$\frac{\partial}{\partialx}=\frac{\partial}{\partial\xi}+\frac{\partial}{\partial\eta}$。原方程变为$\left(a\frac{\partial}{\partial\xi}-a\frac{\partial}{\partial\eta}\right)^2u-a^2\left(\frac{\partial}{\partial\xi}+\frac{\partial}{\partial\eta}\right)^2u=0$。展开并简化，得到$\frac{\partial^2u}{\partial\xi\partial\eta}=0$。积分得$u=F(\xi)+G(\eta)=F(x+at)+G(x-at)$。由初值条件$u(x,0)=F(x)+G(x)=\phi(x)$和$u_t(x,0)=aF'(x)-aG'(x)=\psi(x)$。由$F(x)+G(x)=\phi(x)$得$F'(x)-G'(x)=\frac{1}{a}\psi(x)$。联立解得$F'(x)=\frac{1}{2a}[\phi(x)+\frac{1}{a}\psi(x)]$,$G'(x)=\frac{1}{2a}[\phi(x)-\frac{1}{a}\psi(x)]$。积分得$F(x)=\frac{1}{2}\phi(x)+\frac{1}{2a}\int\psi(\xi)d\xi+C_1$,$G(x)=\frac{1}{2}\phi(x)-\frac{1}{2a}\int\psi(\xi)d\xi+C_2$。由$u(x,0)=F(x)+G(x)=\phi(x)$，得$C_1+C_2=0$。由$u_t(x,0)=aF'(x)-aG'(x)=\psi(x)$，得$\frac{1}{2}\psi(x)+\frac{1}{2}\psi(x)=\psi(x)$。所以$C_1=C_2=0$。最终$F(x)=\frac{1}{2}[\phi(x)+\frac{1}{a}\int_0^x\psi(\xi)d\xi]$，$G(x)=\frac{1}{2}[\phi(x)-\frac{1}{a}\int_0^x\psi(\xi)d\xi]$。将$F(x+at)$和$G(x-at)$代回，得$u(x,t)=\frac{1}{2}[\phi(x+at)+\phi(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi$。四、1.微分方程：$\frac{\partialu}{\partialt}=k\frac{\partial^2u}{\partialx^2}$。初始条件：$u(x,0)=f(x)$。边界条件：$u(0,t)=0$,$u(L,t)=0$。2.微分方程：$\Deltau=\frac{\partial^2u}{\partialr^2}+\frac{1}{r}\frac{\partialu}{\partialr}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\theta^2}=0$。边界条件：$u(R,\theta)=g(\theta)$。分离变量法思路：令$u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$。代入方程，分离变量得到$\Theta''/\Theta=-m^2$和$r^2R''/R+rR'/R-m^2R=0$。$\Theta$方程的解为$\Theta(\theta)=A_m\cos(m\theta)+B_m\sin(m\theta)$，$m=0,1,2,\dots$。$R$方程是欧拉方程，解为$R(r)=C_mr^m+D_mr^{-m}$。由物理意义（圆盘内部有界），需$R(0)$有界，故$D_m=0$（$m\neq0$）。$R(r)=C_