2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 矩阵论中的特征值问题

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——矩阵论中的特征值问题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：1.设向量x是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，则下列向量中不是A的特征向量的是（）。A.kx（k为非零常数）B.x+AxC.λxD.02.若n阶矩阵A可逆，则A的特征值（）。A.可能包含零B.全部大于零C.全部小于零D.全部不为零3.设A是n阶矩阵，下列结论正确的是（）。A.A的特征值之和等于A的行列式B.A的特征值之积等于A的迹C.A的特征向量也是Aᵀ的特征向量D.若λ是A的特征值，则λ²是A²的特征值4.下列矩阵中，可对角化的是（）。A.[12;34]B.[10;0-1]C.[11;01]D.[01;-10]5.设矩阵A与对角矩阵D相似，即A=PDP⁻¹，则A²的相似标准形是（）。A.P²D²P⁻¹B.PDP⁻¹C.PD²P⁻¹D.PDP⁻¹二、填空题：1.若3是矩阵A的一个特征值，且A的行列式为-12，则A的伴随矩阵A*的一个特征值是_______。2.设矩阵A=[a_{ij}]是一个3阶实对称矩阵，且特征值分别为1,2,3，则tr(A)=_______。3.若n阶矩阵A满足A²=A，则A的特征值只可能为_______或_______。4.设向量α=[1;1;1]是矩阵A=[123;045;006]的属于特征值6的特征向量，则向量β=[1;0;0]是否为A的特征向量？答：_______（是/否），若是的，其对应的特征值是_______。5.若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则存在可逆矩阵P，使得_______=P⁻¹AP为对角矩阵。三、计算题：1.求矩阵A=[1-12;021;003]的特征值和特征向量。2.已知矩阵A=[a11;1a1;11a]的一个特征值为0，求a的值，并求A的所有特征值。3.判断矩阵A=[110;021;003]是否可对角化？若可对角化，求可逆矩阵P和对角矩阵D，使得A=PDP⁻¹。四、计算题：1.已知2是矩阵A=[a1;b2]的一个特征值，且特征向量是x=[1;1]，求a,b的值，并求A的另一个特征值和对应的特征向量。2.设矩阵A=[12;34]，矩阵B=A+λE，讨论λ取何值时，矩阵B可逆？当B可逆时，求B的逆矩阵（用λ表示）。五、计算题：1.设矩阵A=[12;21]，求正交矩阵Q和对角矩阵D，使得QᵀAQ=D。试卷答案一、选择题：1.B2.D3.D4.B5.C二、填空题：1.42.63.0,14.否5.A三、计算题：1.解析思路：*计算特征多项式f(λ)=det(A-λI)。*解特征方程f(λ)=0，得到特征值λ₁,λ₂,...,λₙ。*对于每个特征值λᵢ，求解齐次线性方程组(A-λᵢI)x=0，得到对应的基础解系，即为特征向量（或将其伸为线性无关向量组）。*注意特征向量通常写成行向量或列向量形式，且只要是非零倍数即可。2.解析思路：*利用特征值的性质：特征值之和等于矩阵的迹（主对角线元素之和），即tr(A)=a+a+a=3a。特征值之积等于矩阵的行列式，即|A|=a³-3。因为一个特征值为0，所以|A|=0，得到a³-3=0，解得a=³√3。*将a=³√3代入矩阵A，计算新的矩阵的迹，得到所有特征值之和为3*³√3。*利用相似矩阵有相同特征值，或利用特征值之和、行列式性质进一步求解其他特征值。更直接的方法是：若一个特征值为0，|A|=0，设其他特征值为λ₂,λ₃，则λ₁λ₂λ₃=|A|=0。因为λ₁=0，所以λ₂λ₃=0。又tr(A)=λ₁+λ₂+λ₃=3a=3*³√3≠0，故λ₂≠0,λ₃≠0。因此λ₂λ₃=0与λ₂,λ₃≠0矛盾，说明假设a=³√3有误。重新审视，a³=3，a=√[3]3。特征值和为3a=3√[3]3。因为一个为0，其他两个之和为3√[3]3。考虑对称性或进一步求解，发现λ=√[3]3,λ=-√[3]3符合条件。故特征值为0,√[3]3,-√[3]3。**修正思路：*a³=3,a=√[3]3。tr(A)=3a=3√[3]3。一个特征值0，其余两个和为3√[3]3。考虑对称性或利用判别式，特征值应为√[3]3,-√[3]3,0。3.解析思路：*计算矩阵A的特征多项式f(λ)=det(A-λI)=(λ-1)²(λ-3)。*特征值为λ₁=1（重数2），λ₂=3（重数1）。*判断A可对角化：需要对于每个特征值，其代数重数等于几何重数（即对应特征值的线性无关特征向量的个数）。*对λ₁=1，求解(A-I)x=0。A-I=[0-12;011;002]。化简得[0-12;011;000]。基础解系为[-2;1;0]，即一个线性无关的特征向量。*对λ₂=3，求解(A-3I)x=0。A-3I=[-2-12;0-11;000]。化简得[-2-12;0-11;000]。基础解系为[-1;-1;1]，即一个线性无关的特征向量。*由于对于λ₁=1，几何重数（1）不等于代数重数（2），所以矩阵A不可对角化。四、计算题：1.解析思路：*根据A的特征值λ和特征向量x，有Ax=λx，即[a11;b21;003][1;1;1]=λ[1;1;1]。*得到方程组：a+1+1=λ；b+2+1=λ；3=λ。*由第三个方程得λ=3。代入前两个方程得a+2=3和b+3=3，解得a=1,b=0。*矩阵A=[111;021;003]。计算其特征多项式f(λ)=det(A-λI)=(1-λ)(λ-2)(λ-3)。*解f(λ)=0，得特征值为λ₁=1,λ₂=2,λ₃=3。*对于λ₁=1，求解(A-I)x=0。A-I=[011;011;002]。化简得[011;000;002]。基础解系为[-1;-1;0]（可伸为[-1;-1;0],[0;0;1]等线性无关向量组）。*对于λ₂=2，求解(A-2I)x=0。A-2I=[-111;001;001]。化简得[-111;001;000]。基础解系为[-1;-1;0]（与λ₁相同）。2.解析思路：*矩阵B可逆的充要条件是|B|≠0。|B|=|A+λE|=|[a+λ11;3b+λ1;00b+λ]|。按第三行展开，|B|=(b+λ)|[a+λ1;3b+λ]|=(b+λ)((a+λ)(b+λ)-3)=(b+λ)(ab+aλ+bλ+λ²-3)。*令|B|=0，得到(b+λ)(λ²+(a+b)λ+ab-3)=0。*要使B可逆，需|B|≠0，即(b+λ)(λ²+(a+b)λ+ab-3)≠0。*讨论：若b≠-λ，则需λ²+(a+b)λ+ab-3≠0。此为关于λ的二次方程，其判别式Δ=(a+b)²-4(ab-3)=a²+2ab+b²-4ab+12=a²-2ab+b²+12=(a-b)²+12。因为(a-b)²≥0，所以Δ≥12>0。该二次方程总有两个不同的实根λ₁,λ₂。因此，当b≠-λ时，总存在λ使得λ²+(a+b)λ+ab-3=0，即B不可逆。所以B可逆的条件只能是b=-λ。*当b=-λ时，B=[aλ1;3-λ1;00-λ]。此时|B|=(-λ)|[a-λ1;3-λ1]|=-λ(aλ-3-(-λ))=-λ(aλ-3+λ)=-λ(aλ+λ-3)=-λλ(a+1-3/λ)=-λ²(a+1-3/λ)。要使B可逆，需|B|≠0。如果λ=0，则|B|=0，B不可逆。如果λ≠0，则需-λ²(a+1-3/λ)≠0，即a+1-3/λ≠0，即λ(aλ+λ-3)≠0。因为λ≠0，所以aλ+λ-3≠0。即a+1-3/λ≠0。当b=-λ且λ≠0时，B可逆的条件是a+1-3/λ≠0。*求B⁻¹：当b=-λ且λ≠0且a+1-3/λ≠0时，B=[a-λ1;3-λ1;00-λ]。计算|B|=-λ²(a+1-3/λ)。计算adj(B)：C₁₁=(-1)^(1+1)|[-λ1;-λ1]|=0，C₁₂=(-1)^(1+2)|[3-λ;0-λ]|=-(-3λ)=3λ，C₁₃=(-1)^(1+3)|[3-λ;00]|=0。C₂₁=(-1)^(2+1)|[a-λ;0-λ]|=-aλ，C₂₂=(-1)^(2+2)|[a-λ;00]|=aλ，C₂₃=(-1)^(2+3)|[a-λ;3-λ]|=-[a(-λ)-3(-λ)]=-λ(a-3)。C₃₁=(-1)^(3+1)|[a-λ;3-λ]|=a(-λ)-3(-λ)=λ(a-3)。C₃₂=(-1)^(3+2)|[a-λ;3-λ]|=-(λ(a-3))。C₃₃=(-1)^(3+3)|[a-λ;3-λ]|=aλ-3(-λ)=λ(a-3)。adj(B)=[03λ0;-aλaλ-λ(a-3);λ(a-3)-λ(a-3)λ(a-3)]。B⁻¹=adj(B)/|B|=[03λ/(-λ²(a+1-3/λ))-aλ/(-λ²(a+1-3/λ))-λ(a-3)/(-λ²(a+1-3/λ));λ(a-3)/(-λ²(a+1-3/λ))-λ(a-3)/(-λ²(a+1-3/λ))λ(a-3)/(-λ²(a+1-3/λ))]=[0-3/λ²(a+1-3/λ)a/λ(a+1-3/λ);(a-3)/λ(a+1-3/λ)(a-3)/λ(a+1-3/λ)(a-3)/λ(a+1-3/λ)]。进一步简化略。五、计算题：1.解析思路：*矩阵A=[12;21]是对称矩阵，必可对角化。计算特征多项式f(λ)=det(A-λI)=(1-λ)(1-λ)-4=λ²-2λ-3=(λ-3)(λ+1)。*特征值为λ₁=3,λ₂=-1。*对λ₁=3，求解(A-3I)x=0。A-3I=[-22;2-2]。化简得[-11;00]。基础解系为[1;1]。单位化得α₁=[1/√2;1/√2]。*对λ₂=-1，求解(A+I)x