2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 非线性分析与应用数学研究

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——非线性分析与应用数学研究考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.下列函数中，在区间$(0,1)$上满足Lipschitz条件的是：(A)$f(x)=\sqrt{x}$(B)$f(x)=\ln(x)$(C)$f(x)=x^3$(D)$f(x)=\tan(x)$2.设$X$是Banach空间，$A:X\toX$是线性算子，且$A$有界可逆，则下列说法正确的是：(A)$A$的像集是稠密的(B)$A$的核是平凡的(C)$A$的像集是闭的(D)$A$的核是闭的3.对于常微分方程$\frac{dx}{dt}=f(x)$，如果存在一个常数$\lambda>0$，使得当$x$足够大时，$f(x)\sim\lambdax$，则该方程可能存在：(A)稳定平衡点(B)不稳定平衡点(C)极限环(D)鞍点4.下列方法中，不属于求解线性方程组$Ax=b$的直接方法是：(A)高斯消元法(B)迭代法(C)LU分解(D)QR分解5.在无约束优化问题中，如果目标函数在某点处梯度为零，且Hessian矩阵正定，则该点一定是：(A)局部最优解(B)全局最优解(C)鞍点(D)负定点二、填空题1.设$f(x)=x^2-2x+2$，则$f(x)$在$x=1$处的泰勒展开式为________。2.在Banach空间中，如果一个算子$A$满足$||Ax||\leqC||x||$对所有$x\inX$成立，且存在$x_0\neq0$使得$Ax_0\neq0$，则称$A$是________算子。3.设$x'(t)=f(x(t))$是一个自治系统，如果存在一个函数$V(x)$，满足$V(x)$沿轨迹的方向导数为负，则称$V(x)$是一个________函数。4.数值积分的目的是用有限和来近似定积分，常用的方法有________和________。5.在约束优化问题中，KKT条件是必要条件，当满足某些条件时，它也是充分条件，这些条件通常包括________和________。三、计算题1.求方程$x^3-x-1=0$在区间$[1,2]$内的根，要求误差不超过$10^{-3}$。2.设$X=C[0,1]$，范数为$||\cdot||_\infty$，定义算子$A:X\toX$为$Ax(t)=\int_0^tsin(s)x(s)ds$，证明$A$是有界的，并求其范数。3.用牛顿法求解方程组$\begin{cases}x^2+y^2-1=0\\x^2-y-0.5=0\end{cases}$的一个解，初始值为$(1,0)$。四、证明题1.证明：如果一个算子$A:X\toX$是压缩映射，则$A$在Banach空间$X$中有唯一的不动点。2.证明：在二维相平面上，一个自治系统$\frac{dx}{dt}=f(x,y),\frac{dy}{dt}=g(x,y)$的一个平衡点$(x_0,y_0)$，如果其雅可比矩阵的特征值的实部均为负，则该平衡点是稳定的。试卷答案一、选择题1.(C)2.(C)3.(B)4.(B)5.(A)二、填空题1.$1-2(x-1)+\frac{1}{2!}(x-1)^2+\frac{1}{3!}(x-1)^3+\cdots$2.有界3.负定4.梯形法则，辛普森法则5.目标函数在KKT点处是凸的，约束是主动的三、计算题1.初始区间$[1,2]$，$f(1)=-1,f(2)=5$，根位于$(1,2)$内。用二分法：*$x_1=1.5$，$f(1.5)=-0.125$，根在$(1.5,2)$内。*$x_2=1.75$，$f(1.75)=1.5316$，根在$(1.5,1.75)$内。*$x_3=1.625$，$f(1.625)=0.6684$，根在$(1.5,1.625)$内。*$x_4=1.5625$，$f(1.5625)=0.2653$，根在$(1.5,1.5625)$内。*$x_5=1.53125$，$f(1.53125)=-0.4306$，根在$(1.53125,1.5625)$内。*$x_6=1.546875$，$f(1.546875)=-0.0862$，根在$(1.546875,1.5625)$内。*$x_7=1.5546875$，$f(1.5546875)=0.0894$，根在$(1.546875,1.5546875)$内。*$x_8=1.55078125$，$f(1.55078125)=0.0015$，根在$(1.546875,1.55078125)$内。*$x_9=1.498046875$，$f(1.498046875)=-0.2144$，根在$(1.498046875,1.55078125)$内。*$x_{10}=1.474609375$，$f(1.474609375)=-0.1064$，根在$(1.474609375,1.55078125)$内。*$x_{11}=1.46484375$，$f(1.46484375)=-0.0571$，根在$(1.46484375,1.55078125)$内。*$x_{12}=1.455078125$，$f(1.455078125)=-0.0078$，根在$(1.455078125,1.55078125)$内。*$x_{13}=1.45263671875$，$f(1.45263671875)=0.0461$，根在$(1.455078125,1.45263671875)$内。*$x_{14}=1.453857421875$，$f(1.453857421875)=0.0191$，根在$(1.455078125,1.453857421875)$内。*$x_{15}=1.4544677734375$，$f(1.4544677734375)=0.0057$，根在$(1.455078125,1.4544677734375)$内。*$x_{16}=1.45477197265625$，$f(1.45477197265625)=-0.0011$，根在$(1.45477197265625,1.4544677734375)$内。*$x_{17}=1.454619873046875$，$|x_{17}-x_{16}|=0.000152196$，满足误差要求，根的近似值为$1.45462$。2.$||Ax||_\infty=\sup_{t\in[0,1]}|Ax(t)|=\sup_{t\in[0,1]}\left|\int_0^t\sin(s)x(s)ds\right|\leq\sup_{t\in[0,1]}\int_0^t|\sin(s)||x(s)|ds\leq\int_0^1|\sin(s)|ds\cdot\sup_{t\in[0,1]}|x(s)|=\left|-\cos(s)\right|_0^1\cdot||x||_\infty=1\cdot||x||_\infty=||x||_\infty$。所以$A$有界，范数为$1$。3.$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}'=J\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-x^2-y\\x^2-0.5\end{pmatrix}$，其中$J=\begin{pmatrix}2x&2y\\2x&-1\end{pmatrix}$。在$(1,0)$处，$J=\begin{pmatrix}2&0\\2&-1\end{pmatrix}$。$J^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1&0\\-2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\\1&-1\end{pmatrix}$。$p_0=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}-J^{-1}\begin{pmatrix}-1\\1.5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1.5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\-0.5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.5\\0.5\end{pmatrix}$。$x_1=x_0+p_0=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0.5\\0.5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1.5\\0.5\end{pmatrix}$。继续迭代，$x_2=\begin{pmatrix}1.4375\\0.6875\end{pmatrix}$，$x_3=\begin{pmatrix}1.43232421875\\0.689453125\end{pmatrix}$，$x_4=\begin{pmatrix}1.43173828125\\0.689655761719\end{pmatrix}$，$x_5=\begin{pmatrix}1.4316906744140625\\0.68966064453125\end{pmatrix}$。近似解为$(1.4317,0.6897)$。4.令$V(x,y)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2$，则$\nablaV=(x,y)$，$\frac{dV}{dt}=\nablaV\cdot\begin{pmatrix}f(x,y)\\g(x,y)\end{pmatrix}=xf(x,y)+yg(x,y)$。在平衡点$(x_0,y_0)$处，$f(x_0,y_0)=0,g(x_0,y_0)=0$，所以$\frac{dV}{dt}=0$。计算$\frac{d^2V}{dt^2}$，在平衡点$(x_0,y_0)$处，$\frac{d^2V}{dt^2}=x_0f_x+x_0f_y+y_0g_x+y_0g_y=x_0\frac{\partialf}{\partialx}+y_0\frac{\partialg}{\partialx}+x_0\frac{\partialf}{\partialy}+y_0\frac{\partialg}{\partialy}=x_0\left(\frac{\partialf}{\partialx}+\frac{\partialf}{\partialy}\right)+y_0\left(\frac{\partialg}{\partialx}+\frac{\partialg}{\partialy}\right)=x_0\left(\frac{\partialf}{\partialx}+\frac{\partialg}{\partialx}\right)+y_0\left(\frac{\partialf}{\partialy}+\frac{\partialg}{\partialy}\right)$。由于$\frac{\partialf}{\partialx}+\frac{\partialg}{\partialx}=\frac{\partial}{\partialx}(f+g)=\frac{\partial}{\partialx}(0)=0$，$\frac{\partialf}{\partialy}+\frac{\partialg}{\partialy}=\frac{\partial}{\partialy}(f+g)=\frac{\partial}{\partialy}(0)=0$，所以$\frac{d^2V}{dt^2}=0$。考虑Hessian矩阵$H=\begin{pmatrix}\frac{\partial^2f}{\partialx^2}&\frac{\partial^2f}{\partialx\partialy}\\\frac{\partial^2f}{\partialy\partialx}&\frac{\partial^2f}{\partialy^2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{\partial^2g}{\partialx^2}&\frac{\partial^2g}{\partialx\partialy}\\\frac{\partial^2g}{\partialy\partialx}&\frac{\partial^2g}{\partialy^2}\end{pmatrix}$。在平衡点$(x_0,y_0)$处，$H=\begin{pmatrix}\frac{\partial^2f}{\partialx^2}&\frac{\partial^2f}{\partialx\partialy}\\\frac{\partial^2f}{\partialy\partialx}&\frac{\partial^2f}{\partialy^2}\end{pmatrix}$。由于Hessian矩阵的特征值的实部均为负，所以$H$是负定的。因此，$V(x,y)$沿轨迹的方向导数为负，即$\frac{dV}{dt}<0$。根据LaSalle不变性原理，平衡点$(x_0,y_0)$是稳定的。四、证明题1.令$B(x)=x-A(x)$，则$B$也是压缩映射，且$A(x_0)=x_0\LeftrightarrowB(x_0)=0$。对任意$x,y\inX$，$||B(x)-B(y)||\leqq||x-y||$，其中$0\leqq<1$。$B(x_0)=0$，所以$||B(x)-B(x_0)||\leqq||x-x_0||$。由Banach固定点定理，$B$在$X$中有唯一的不动点$x_0$，即$A(x_0)=x_0$。2.在平衡点$(x_0,y_0)$处，$\frac{dx}{dt}=f(x_0,y_0)=0,\frac{dy}{dt}=g(x_0,y_0)=0$。考虑$x$的变化，$\frac{dx}{dt}=f(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$。同理，$\frac{dy}{dt}=g_x(x_0,y_0)(x-x_0)+g_y(x_0,y_0)(y-y_0)+o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})$。令$u=x-x_0,v=y-y_0$，则$\frac{du}{dt}=f_x(x_0,y_0)u+f_y(x_0,y_0)v+o(\sqrt{u^2+v^2})$，$\frac{dv}{dt}=g_x(x_0,y_0)u+g_y(x_0,y_0)v+o(\sqrt{u^2+v^2})$。令$J=\begin{pmatri