2025年大学《数理基础科学》专业题库-大学数理基础科学的群论概念

2025年大学《数理基础科学》专业题库——大学数理基础科学的群论概念考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题3分，共15分）1.下列哪个集合关于给定的运算构成群？(A)非零实数集R\{0}关于乘法运算(B)平面上所有旋转角度为有理数倍的旋转运算的集合关于旋转运算(C)整数集Z关于除法运算(D)所有2x2实数矩阵的集合关于加法运算2.设G是群，a,b∈G，则(aba⁻¹)⁻¹等于：(A)a⁻¹bab⁻¹(B)a⁻¹ba⁻¹b(C)ab⁻¹a⁻¹(D)b⁻¹a⁻¹b3.下列哪个不是群Z₁₀（模10的整数加法群）的子群？(A){0}(B){0,5}(C){0,2,4,6,8}(D){0,3,6,9}4.设G是群，H和K是G的子群，则H∩K也是G的子群。(A)对任何群G都成立(B)仅当H或K是G的正规子群时成立(C)仅当H和K是G的正规子群时成立(D)对任何群G都不成立5.下列哪个映射是群Z（整数加法群）到群Z₁₀（模10的整数加法群）的同态？(A)f(n)=n(mod5)(B)f(n)=n(mod2)(C)f(n)=n²(mod10)(D)f(n)=n²(mod5)二、填空题（每题3分，共15分）1.在群G中，若a²=e（e为单位元），则a的阶数至多为________。2.设G是阶为12的循环群，则G的子群个数是________。3.在群G中，若a和b的阶分别为3和4，则ab的阶数为________（假设ab=ba）。4.设G是群，H是G的子群，|G|=30，|H|=5，则G中包含H的陪集个数为________。5.群Z₁₀（模10的整数加法群）的单位元是________。三、计算题（每题6分，共18分）1.在群S₃（三阶对称群）中，求元素(123)的阶数，并写出该元素的所有幂。2.设G是群，a∈G且a⁵=e。证明a²=e。3.设G是群，H是G的子群，|G|=24，|H|=6。证明G中存在一个子群K，使得|K|=12。四、证明题（每题7分，共21分）1.设G是群，a∈G。证明a的阶数等于a的所有正整数幂构成的子群的阶数。2.设G是群，H是G的子群。证明H是G的正规子群当且仅当对于任意g∈G和h∈H，都有ghg⁻¹∈H。3.设f:G→G'是群G到群G'的同态，K是G'的正规子群。证明f⁻¹(K)是G的正规子群。试卷答案一、选择题1.(A)2.(C)3.(C)4.(A)5.(B)二、填空题1.22.63.44.65.0三、计算题1.解：(123)⁵=(123)(123)(123)(123)(123)=e，所以(123)的阶数为5。其所有幂为：(123)⁰=e，(123)¹=(123)，(123)²=(132)，(123)³=(231)，(123)⁴=(312)，(123)⁵=e。2.证明：由a⁵=e，可得a⁴a=e。两边同时乘以a⁻¹，得a³=e。两边同时乘以a，得a⁴=e。再由a²a²=e，结合a⁴=e，可得a²=e。3.证明：由拉格朗日定理，G的子群阶数必须整除|G|。|G|/|H|=24/6=4。G中存在子群K，其阶数为4。设K的阶数为4，则K的指数为24/4=6。由于H是G的子群，且|H|=6，|K|=4，|H|和|K|互素，根据Sylow定理的推论，K与H没有公共元素（除单位元外）。设G中单位元为e，则K={e,a,a²,a³}，H={e,b,b²,b³,b⁴,b⁵}。考虑子群K∪H={e,a,a²,a³,b,b²,b³,b⁴,b⁵}，其阶数为9。由于9不整除24，所以K∪H不是G的子群。考虑K∩H={e}。考虑K×H，其元素为所有(k,h)其中k∈K,h∈H。|K×H|=4*6=24。由于K×H中每个元素的阶数等于其各分量的阶数的最小公倍数，且K中元素阶数为1或4，H中元素阶数为1或6，所以K×H中元素阶数只可能为1,2,3,4,6,12。因此K×H不是群。考虑另一个子群K'，其阶数为12。例如，如果G是Z₁₂（模12的整数加法群），H是2Z₁₂（偶数整数加法群），K'=3Z₁₂（3的倍数整数加法群），则|K'|=12。因此，存在子群K'，使得|K'|=12。四、证明题1.证明：设a的阶数为n，则n是最小的正整数使得aⁿ=e。令S={a,a²,...,aⁿ⁻¹}，则S中元素个数小于等于n。由于aⁿ=e，且a的阶数n是最小的正整数满足此条件，所以S中没有重复元素，且S中所有元素都是a的不同幂。因此，S中元素个数等于n。所以S是G的一个子群，且|S|=n。根据子群定义，S={e,a,a²,...,aⁿ⁻¹}。所以a的阶数等于S的阶数。2.证明：必要性：若H是G的正规子群，则对于任意g∈G和h∈H，都有ghg⁻¹∈H。即f(ghg⁻¹)=f(g)f(h)f(g)⁻¹∈K。所以f⁻¹(K)是G的子群。充分性：若f⁻¹(K)是G的子群，则对于任意g∈G和h∈H（h∈H意味着f(h)∈K），有f(g)f(h)f(g)⁻¹∈f⁻¹(K)。由于f是同态，所以f(g)f(h)f(g)⁻¹=f(ghg⁻¹)。因此f(ghg⁻¹)∈f⁻¹(K)。即ghg⁻¹∈K。所以H是G的正规子群。3.证明：首先证明f⁻¹(K)是G的子群。取e∈G，f(e)=e'∈K，所以e∈f⁻¹(K)。因此f⁻¹(K)非空。取任意a,b∈f⁻¹(K)，则f(a),f(b)∈K。由于K是G'的子群，所以f(a)f(b)∈K。因此f(ab)∈K。所以ab∈f⁻¹(K)。因此f⁻¹(K)是