贵州省2025-2026学年高二上学期9月四校联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省2025-2026学年高二上学期9月四校联考数学试题一、单选题（共40分）1.在正方体中，与向量相等的向量有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有.故选：A.2.已知空间向量，，若，则的值为（）A. B. C.4 D.6【答案】C【解析】若，则．因为，，所以，解得．故选：C．3.点到直线的距离为（）A. B.2 C. D.1【答案】D【解析】由题点到直线的距离为.故选：D.4.如图，在长方体中，是的中点.则向量在平面上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为平面，平面，所以向量在平面上的投影向量为，故选：A.5.过点且与直线斜率相等直线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得．故选：A．6.如图，三棱锥中，，，，且，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示：.故选：B.7.已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（）.A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】因为向量共面，所以存在实数使得，即所以，解得，.故选：C．8.如图，已知三棱锥的每条棱长都为2，则（）A. B. C.2 D.0【答案】D【解析】故选：D.二、多选题（共18分）9.已知向量，则下列运算结果正确是（）A.B.C.D.的单位向量是【答案】ABC【解析】由可得，，故AB正确，，故C正确，的单位向量是，故D错误；故选：ABC.10.给出下列结论，其中说法正确的是（）A.若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率B.若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量C.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角【答案】ABC【解析】对于A，因是直线的一个方向向量，则直线斜率为，即A正确；对于B，因直线的斜率是，若设直线的方向向量为，则有，不妨取，则得，即是该直线的一个方向向量，故B正确；对于C，根据直线的倾斜角定义可知，任一条直线都有倾斜角，而当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故C正确；对于D，因直线的倾斜角的正切值为直线的斜率，根据正切函数的性质可知，当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故D错误.故选：ABC.11.已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AD【解析】若，则，故，即，化简得.故选项正确，选项错误.若，则，故存在实数使得，即，化简得.故选项错误，选项正确.故选：.三、填空题（共15分）12.已知，则______.【答案】【解析】由空间向量模长计算公式得：.故答案为：13.已知直线过两点，且，则直线的斜率为__________．【答案】；【解析】因为直线过，所以，因为，所以，故答案为：.14.平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为_____．【答案】【解析】因为，，，所以点到平面的距离.故答案为：.四、解答题（共77分）15.如图，在棱长为2的正方体中，O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向.（1）建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标；（2）求向量的坐标；（3）求向量与的夹角.解：（1）因为正方体的棱长为，为坐标原点，则的坐标为，点在轴上，则，点的坐标为.（2）由（1）可知，，，则.（3）因为，，则，且，则，，，则，且，所以，即向量与的夹角为.16.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．（1）斜率是3，且经过点；（2）斜率为4，在轴上的截距为；（3）经过两点；（4）在x轴、y轴上的截距分别是，．解：（1）直线斜率是3，且经过点，则直线方程为，化为一般式方程为；（2）直线斜率为4，在轴上的截距为，则直线方程为，化为一般式方程为；（3）直线经过两点，则直线方程为，化为一般式方程是为；（4）直线在x轴、y轴上的截距分别是，，则直线方程为，化为一般式方程为.17.如图，在棱长为的正方体中，为的中点.，分别在棱，上，，.（1）求线段的长；（2）求异面直线与所成角的余弦值.解：（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，即线段的长为.（2），，，，所以，，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为．18.如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．（1）求平面的一个法向量；（2）求直线与平面所成的线面角的正弦值.解：（1）如图可得，，，.，，设面的法向量为，则，即，取，则，所以平面的一个法向量为.（2），，设面的法向量为，则，即，取，则，设直线与平面所成的线面角为，又则，所以直线与平面所成的线面角的正弦值为.19.已知是正四棱柱.（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：由题意