专题02全等三角形（期中复习讲义）

专题02全等三角形（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律定义与命题掌握定义与命题的概念一般出现在小题中全等图形能够根据全等图形的概念归纳出全等图形的性质一般出现在小题中全等三角形重点掌握全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边、对应角表示一般出现在简单题中，注意全等三角形的表示和写全等符号时点的对应关系全等三角形的性质掌握全等三角形边、角的对应相等关系，同时掌握对应中线、角平分线和高线的关系一般出现在小题中，在大题考查时常与其他知识点一起全等三角形的判定熟练掌握全等三角形的基本判定方法，能灵活选用判定方法证明三角形全等所有题型均会考查，容易忽略全等的条件HL证明三角形全等掌握“直角边、斜边”的判定方法证明直角三角形全等一般出现在简单题中尺规作图掌握尺规作图的基本技巧与方法一般出现在解答题中知识点01定义与命题定义1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义如“两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是“一元一次方程”的定义命题判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．注意：1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项.2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论，真假命题1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题2.说明假命题的方法：要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例.原命题与逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.注意：(1)互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。(2)逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。知识点02全等图形全等图形的概念能够完全重合的图形叫做全等图形，简称全等形.1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是全等图形；2.图形是否全等与它们所在的位置无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是全等图形.全等图形的性质全等图形的性质：①形状相同，②大小相等.1.全等图形的对应边和对应角都是相等关系；2.全等图形的周长和面积一定相等，但周长或面积相等的图形不一定是全等图形.3.判断两个物体是否为全等图形的方法：（1）将这两个图形叠放在一起，看是否能够完全重合；（2）观察这两个图形的大小和形状是否完全相同.几何变换与全等图形一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，也就是说，平移、翻折、旋转前后的图形全等.1.一个图形经过平移、旋转或翻折等变换后，所得到的图形一定与原图形全等.2.两个全等的图形经过平移、旋转或翻折等变换后一定可以与原图形重合.知识点03全等三角形的概念及表示1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.4.确定全等三角形对应关系的方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）.知识点04全等三角形的性质1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.2.其它性质：（1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形.全等变换在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换.常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示：知识点05全等三角形的判定边角边两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”.1.只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等；2.在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”.角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”.边边边三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”.斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”.知识点06尺规作图1、作一条线段等于已知线段已知线段a求作线段0A，使OA等于a作法1）任作一条射线OP；2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA即为所求依据圆上的点到圆心的距离等于半径.2、作一个角等于已知角已知∠AOB求作∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB作法1）作射线O'A'；2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点D；3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E；4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F；5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求.依据1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.3、作已知角的角平分线已知∠AOB求作射线OP，使∠AOP=∠BOP作法1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N；2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；3）作射线OP，射线OP即为所求.依据1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.4、过一点作已知直线的垂线已知直线AB和AB上的一点M求作AB的垂线，使它经过点M作法作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线.已知直线AB和AB外一点M求作AB的垂线，使它经过点M作法1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁；2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D；3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E；4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线.依据1）等腰三角形“三线合一”；2）两点确定一条直线.5、作线段的垂直平分线已知线段AB求作线段AB的垂直平分线作法1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线.依据1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；2）两点确定一条直线.尺规作图的关键:1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；3)切记作图中一定要保留作图痕迹；4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.题型一命题解｜题｜技｜巧1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项.2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论，1．下列语句属于命题的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题考查的是命题的含义与判断，根据命题的含义逐一分析判断即可．【详解】解：①两点之间线段最短是命题；②不许大声喧哗不是命题；③连接P，Q两点不是命题；④花儿在春天开放是命题；⑤不相交的两条直线叫做平行线是命题；故选：B2．下列语句不是命题的是（

）A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线【答案】B【分析】本题主要考查了命题的概念，掌握其概念：判断一件事情的语句叫做命题，是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可．【详解】A、是命题，故不合题意；B、作直线AB垂直于直线CD是描述了一种作图的过程，不是命题，故符合题意；C、是命题，故不合题意；D、是命题，故不合题意；故选：B．3．下列语句中，属于定义的是，是命题的是．（请填写序号）【答案】②⑥/⑥②①②⑤⑥【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决．②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题；③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题；④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题；⑤对顶角不相等；不是定义，是命题；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题；属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥；故答案为：②⑥；①②⑤⑥．【答案】①②③⑤【分析】本题考查命题的判断，根据命题的定义，对某一事件作出判断的语句叫做命题，逐一进行判断即可．【详解】解：植物生长都需要水，是命题，故①符合题意；负数大于正数，是命题，故②符合题意；零既不是正数，也不是负数，是命题，故③符合题意；故答案为：①②③⑤．5．下列句子是命题吗？若是，指出它的条件与结论，并判断它是否为真命题．（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？（2）垂线段最短，对吗？（3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．（4）同旁内角互补．【答案】（1）（2）不是命题，其余2个都是命题；（3）的条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，真命题；（4）的条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，假命题【分析】此题考查了命题的定义和真假命题，根据命题的定义和真假命题的定义进行判断，并写出命题的题设和结论．【详解】解：（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？不是命题；（2）垂线段最短，对吗？不是命题；（3）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．是命题，条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，真命题（4）同旁内角互补．是命题，条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，假命题；题型二证明6．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题：从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由．【答案】见解析【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可．【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题，①②⇒③，②③⇒①，①③⇒②，条件：_______，结论：_______．（填序号）证明：【答案】见解析，证明见解析【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可．当条件是①③，结论是②时：当条件是②③，结论是①时：(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析(2)都是真命题，推理见解析【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案；（2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可【详解】（1）解：一共能组成三个命题：（2）解：都是真命题，理由如下：∵DE//BC，理由如下：∵DE//BC，∴∠B+∠C=180°∠BAC，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠1+∠2=180°∠BAC，∴∠B+∠C=∠1+∠2，∴∠B=∠1，∴DE//BC．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是，结论是(只要填写序号)，并说明理由．【答案】(1)①②；③；理由见解析(2)【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下：故答案为：①②；③．【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键．（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可；（2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假．故能组成3个命题．【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．题型三互逆定理解｜题｜技｜巧1、互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。2、逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。11．下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】本题考查了命题与定理，逆定理，熟练掌握逆命题与逆定理的区别是解题的关键．分别写出其逆命题，然后判断对错，即可得出答案．【详解】解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题，故①有逆定理，符合题意；②全等三角形的对应边相等的逆命题是：三边分别相等的两个三角形全等，是真命题，故②有逆定理，符合题意；③同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故③有逆定理，符合题意；故选：D．12．下列说法不正确的是（

）C．命题的逆命题不一定是正确的 D．每个定理都有逆定理【答案】D【分析】本题考查命题与定理、三角形内角和定理，根据逆命题的定义、三角形内角和定理、真假命题的定义、互为逆命题的两个命题的真假没有关系进行判断即可．【详解】解：A、任何命题都有逆命题，故不符合题意；C、命题的逆命题不一定是正确的，故不符合题意；D、定理的逆命题不一定是真命题，因此每个定理不一定都有逆定理，故符合题意；故选：D．13．按要求解答下列各小题．(1)请写出以下命题的逆命题：①相等的角是内错角；(2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理．(2)不是【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念．（1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可；（2）根据逆定理的性质求解即可．【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等．（2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题，故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理．14．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三角形的两边之和大于第三边．【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补(2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论；（2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论．【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补；（2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形．【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理．15．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理．(1)等腰三角形的两个底角相等．(2)内错角相等，两直线平行．(3)对顶角相等．【答案】(1)有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形(2)有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等(3)没有逆定理【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案．【详解】（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理；（2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理；（3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题，故定理“对顶角相等”没有逆定理．【点睛】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键．题型四图形的全等解｜题｜技｜巧1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是全等图形；2.图形是否全等与它们所在的位置无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是全等图形.16．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了全等图形的定义，掌握全等图形为形状相同、大小相同的图形是解题的关键．利用全等图形的概念即可解答．【详解】解：A．两个图形形状相同，大小不同，不是全等图形，不符合题意；B．两个图形的形状和大小都不同，不是全等图形，不符合题意；C．两个图形形状相同，大小不同，不是全等图形，不符合题意；D．两个图形能完全重合，符合题意．故选：D．17．如图所示的是一个网球场地，在A，，，，，六个图形中，其中全等图形有（

）A．对 B．对 C．对 D．对【答案】C【分析】本题考查的是全等图形的识别．熟练掌握全等图形的特征，是解题的关键．由全等图形的定义，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，分析即得答案．【详解】观察图形，根据全等的知识可知：图中A与，与，与能够重合，是全等形．共对． 故选：C．18．下列说法错误的是（

）A．能够完全重合的两个图形叫全等形 B．面积相等的两个图形是全等形C．全等形是形状、大小相同的图形 D．平移、旋转前后的图形是全等形【答案】B【分析】此题主要考查了全等图形的定义，正确利用全等图形的性质与定义分析是解题关键．根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形，判断即可．【详解】解：A、能够完全重合的两个图形是全等形，正确，不合题意；B、面积相等的两个图形不一定是全等形，故此选项错误，符合题意；C、全等形是形状、大小相同的图形，正确，不合题意；D、平移、旋转前后的图形是全等形，正确，不合题意；故选：B．19．对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有个．【答案】1【分析】本题考查了全等形的概念，熟练掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对各项进行验证可得答案．【详解】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等；②面积相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等；③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等，④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确．所以只有1个正确，故答案为：1．【答案】(1)全等(2)，(3)【分析】本题考查了全等图形与旋转的性质，熟练掌握全等图形的性质以及旋转的性质是解题的关键；（1）根据全等图形的定义，进行判断，即可求解．（2）根据旋转的性质可得旋转中心为对应点连线的垂直平分线上，根据图形的特点求得旋转中心与旋转角，即可求解；【详解】（1）解：由于对应边相等，对应角相等，故答案为：全等．故答案为：，．题型五全等三角形的概念解｜题｜技｜巧1、全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；2、全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；3、有公共边的，公共边是对应边；4、有公共角的，公共角是对应角；5、有对顶角的，对顶角一定是对应角；6、两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）.21．下列说法正确的是（

）A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形周长一定相等C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只有三边长都相等的两个三角形全等（或满足其他全等条件），据此可判断A、C、D，根据全等三角形对应边相等即可判断B．B、全等的两个三角形周长一定相等，原说法正确，符合题意；C、任意两个三角形可能全等，原说法错误，不符合题意；D、只有边长相等的等边三角形才全等，原说法错误，不符合题意；故选：B．22．如图全等的两个三角形是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】A∴①②两个三角形全等，故符合题意；B项：选取②③时，三角形③中距离为3的长度与三角形②中距离为3的长度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形②③不全等，故不符合题意；C项：选取②④时，三角形④中度数为的角度与三角形②中度数为的角度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形②④不全等，故不符合题意；D项：选取①④时，三角形④中度数为的角度与三角形①中度数为的角度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形①④不全等，故不符合题意；故选：A．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可．【详解】解：由图可知，与是对顶角，∴与是对应角，又与是对应边，∴与是对应边，故答案为：，．【答案】3【分析】本题主要考查了三角形全等的定义，根据题意画出图形，得出答案即可．故答案为：3．【答案】见详解【分析】本题考查了网格作图，根据题干要求，逐个作图，即可作答．【详解】解：∵要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等，∴如下图所示：题型六全等三角形的性质解｜题｜技｜巧1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.2.其它性质：（1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形.A．2 B．3 C．5 D．7【答案】A∵四个点，，，在同一直线上，故选：A．【答案】105【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直接利用全等三角形的性质得出答案．故答案为：【答案】80【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决本题的关键．故答案为：80．【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质．(1)分别写出与相等的角，与相等的线段：(2)5【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解题的关键．（1）根据全等三角形对应边相等，对应角相等即可得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到的长，再由线段的和差关系可得答案．题型七全等三角形的动点问题解｜题｜技｜巧解决全等三角形的动点问题，关键要抓对应点，然后再分情况讨论；A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的性质．解得；故选：C．【答案】1或7∴；故答案为：或．【答案】或或【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题．【详解】解：假设运动的时间为，故答案为：或或．【答案】2或4【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键．分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，

②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，

故答案为：2或4．（2）分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解；（3）根据题意可得点A和点D为对应点，设点Q的运动速度为，然后分类讨论：∴点A和点D为对应点，设点Q的运动速度为，【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．题型八SSS证明三角形全等解｜题｜技｜巧三边分别相等的两个三角形全等；【答案】A故选：A．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【详解】解：如图所示：故选：B．【答案】3【分析】利用判定两三角形全等，认真观察图形可得答案．本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．【详解】解：如图，

故答案为：3．【答案】故答案为：．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．题型九全等的性质与SSS综合A． B． C． D．【答案】B故选B．A． B． C． D．【答案】D故选：D．【答案】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．故答案为：．

【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．（2）利用三角形内角和定理求出的度数，再利用全等三角形的性质求解即可．【答案】(1)见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用．题型十用SAS证明三角形全等解｜题｜技｜巧两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；【答案】见解析【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键：【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查全等三角形的判定，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．（2）利用线段的和差求解即可．【答案】(1)见解析(2)(2)试说明与的关系？并说明理由．【答案】(1)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识．题型十一全等的性质与SAS综合

【答案】【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件．(2)与有怎样的位置关系？证明你的结论．【答案】(1)证明见解析本题考查全等三角形的判定与性质，垂线的定义，三角形内角和定理．【答案】(1)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是：55．【问题情境】【探索应用】【拓展提升】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：（1）如图，连接，题型十二用ASA（AAS）证明三角形全等解｜题｜技｜巧两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；【答案】证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定．【答案】(1)SSS(2)正确，见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等，再利用全等三角形的性质得出线段相等．【详解】（1）SSS（2）正确

【答案】(1)见解析(2)2【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质．答：的长是．题型十三全等的性质与ASA（AAS）综合(2)求的长．【答案】(1)见解析【分析】此题考查全等三角形的性质和判定，正确记忆相关知识点是解题关键．（2）利用全等三角形的性质，线段的和差关系直接代值求解即可．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．故答案为：．(2)12【分析】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．∵是的中点，【答案】（1）；（2）见解析；（3）成立，证明见解析；（4）【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，中线的定义，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．∵是边上的中线，题型十四用HL证明三角形全等【答案】故答案是：．【点睛】本题主要考查直角三角形的全等的判定和性质，掌握直角三角形判定全等的条件是解题的关键．67．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝．

【答案】3【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论．【详解】解：如图，连接AD．

在Rt△ADF和Rt△ADC中，∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），∴DF＝DC，∵BD＝5，BC＝4，∴CD＝DF＝5﹣4＝1，∵EF＝BC＝4，∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，进行解答，即可．【详解】（1）解：证明如下：∵点是线段的中点，（2）解：证明如下：【答案】(1)见解析

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的三边关系等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．（2）连接BF，与（1）的证明过程一样，即可得到答案；（3）连接BF，与（1）的证明过程一样，得到CF=EF，AC=DE，即可得到结论成立．证明：如图，连接．证明：如图②，连接BF，证明：如图③，连接BF，与（1）同理，则有CF=EF，AC=DE，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段的数量关系，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题，注意运用数形结合的思想进行解题．题型十五灵活选用判定方法证全等【答案】D【详解】根据全等三角形的判定定理，对选项逐个验证即可．故选D．A．只有甲 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理求解即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．丙：由能判断两个三角形全等，故不符合题意；故选：A．（2）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是．【分析】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法需要用到的条件是解题的关键．【答案】(1)②或③或④，证明见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的几种证明方法是解题的关键．【详解】（1）解：选择②或③或④故答案为：②或③或④；【答案】选①，理由见解析【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等；分别添加三个条件中的1个，结合全等三角形的判定方法逐一分析即可.【详解】解：选①，理由如下：选②不能得到结论，选③：理由如下：题型十六结合尺规作图的全等三角形问题对这两种画法的描述中正确的是（）B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长【答案】A【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项B、D，结合全等三角形的判定方法可判定选项A、D．故选：A．77．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】B故选：B．

【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可．

∵点B到射线的距离为d，①如图，

②如图，

③如图，

【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键．

【答案】6/六【分析】根据全等三角形的判定分别求出以为公共边的三角形，以为公共边的三角形，以为公共边的三角形的个数，相加即可．【详解】解：如图所示，以为公共边不可以画出三角形和原三角形全等；所以共有6个三角形和原三角形全等，故答案为：6．

【点睛】本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)6【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确借助网格得出互相垂直的线段是解题关键．（3）直接利用三角形的面积公式计算可得．题型十七全等三角形的模型问题81．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法，【答案】举例:见解析；应用：见解析．【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS等）是解题的关键．【问题初探】【类比探究】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形．如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，83．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】【变式与应用】【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【拓展与延伸】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键．（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型．（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：85．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．(2)（1）中的结论成立，理由见解析(3)证明见解析【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质；如图1所示：（2）解：（1）中的结论成立，证明如下：如图2所示：∴点是的中点．题型十八全等三角形的综合(1)请判断与之间的数量关系，并加以证明．(2)成立，理由见解析【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．（2）如图，令交于点O，【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．89．问题情境实际应用拓展延伸【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．（2）延长交于点E，延长与，它们的延长线相交于点F，题型十九三角形的尺规作图解｜题｜技｜巧1、先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2、读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；3、切记作图中一定要保留作图痕迹；4、无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.90．作图与计算．【答案】(1)见解析(2)或【分析】本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，角的计算，掌握分类讨论思想是解题的关键．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：分两种情况讨论：题设：_____，结论：_____．（填序号）证明：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了作平行线，平行线的性质与判定；（2）任选一个作为题设，另一个作为结论，根据平行线的性质与判定证明即可；【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）题设：①，结论：②．题设：②，结论：①．(1)画出表示点到的距离的线段和表示到的距离的线段．(3)射线与的位置关系为__________，理由是__________；【答案】(1)见解析(2)见解析(3)平行；同位角相等，两直线平行【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、平行线的判定，点到直线的距离，熟练掌握尺规作图和平行线的判定是解题关键．（2）根据作一个角等于已知角的尺规作图即可得；（3）根据平行线的判定即可得．（3）解：射线与的位置关系为平行，理由是同位角相等，两直线平行，故答案为：平行；同位角相等，两直线平行．（2）以点为圆心，以的长为半径在射线上画弧，交于点B；【答案】AaB【分析】本题主要考查了尺规作三角形，（2）以点A为圆心，以a的长为半径在射线上画弧，交于点B；【答案】(1)画图见解析(2)理由见解析【分析】本题