年中考数学压轴题专题讲义11因动点产生的等腰三角形问题

1.1因动点产生的等腰三角形问题我们先回顾两个画图问题：1.已知线段AB=5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?2.已知线段AB=6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?已知腰长画等腰三角形，用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C。已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外。在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类。如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB三种情况。解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题既好又快。几何法一般分三步：分类、画图、计算。哪些题目适合用几何法呢?如果△ABC的∠①如图1，如果AB=AC，直接列方程；②如图2，如果BA=BC,那么12AC=代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验。如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长(的平方)就可以罗列出来。例12025年山西省中考第23题问题情境如图1，在△ABC纸片中，AB>BC,,点D在边AB上,AD>BD。沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△猜想证明(1)判断四边形.BDB'E的形状，并说明理由；拓展延伸(2)如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点.A'落在射线DB'上，且折痕与边AC交于点F，然后展平。连接A'E交边AC于点G，连接A'F。①若AD=2BD,判断DE与A'E的位置关系，并说明理由；②若∠C=90∘动感体验请打开几何画板文件“25山西24”，可以体验到，四边形BDB'E是菱形，△A'DE的中线B'E等于A'D的一半。点击屏幕左下方的按钮“第(2)题②”，拖动点D在AB上运动，可以体验到，Rt△A'FH的形状不变，设A'F=5m,FH=3m,,观察△A'FG,当.FG=FA'=5m时,HG=2m;当A'G=A'F=5m时,HG=3m。思路点拨1.第(1)题证明四边形BDB'E的四条边都相等比较简便。2.第(2)题①先证明△A'DE的中线B'E等于A'D的一半,再由△A'DE的内角和就可以证明∠A'ED=90°。3.第(2)题②设A'D与AC交于点H,那么△A'FH的三边比为3:4:5。设.A'F=5m,A'H=4m,FH=3m。进而可以用m表示线段AH、AD的长。4.分两种情况讨论以A'F为腰的等腰三角形A'FG，就可以用m表示GH的长。5.设BD=BE=n,那么EC=9n,由A'H∥EC,根据对应线段成比例,就可以用n表示CG的长。6.分两种情况根据AB=15,AC=12列关于m、n的方程组。满分解答(1)四边形BDB'E是菱形。说理如下:如图3,已知△BDE≌△B'DE,所以BD已知DB'∥BC,所以∠2=∠3。等量代换,得∠1=∠3。所以BD=BE。等量代换，得四边形BDB'E的四条边都相等。所以四边形BDB'E是菱形。(2)①如图4,已证四边形BDB'E是菱形,所以∠5=∠2。已知△ADF≌△A'DF,所以AD=A'D。已知AD=2BD,B'D=BD,等量代换,得.A'D=2B'D。所以点B'是线段A'D的中点。又因为B'D=B'E,等量代换，得B'A'=B'E。所以∠6=∠4。于是在△A'DE中,根据内角和,可得∠5+∠2+∠6+∠4=180°。所以∠5+∠6=90°。所以DE⊥A'E。②A'F=5或165考点延伸第(2)题②可以这样思考:如图5,设A'D与AC交于点H。在Rt△ABC中,AB=15,BC=9,所以AC因为Rt△A'FH的形状不变,设.A'F=5m,FH=3m,A'H=4m。所以AF=A'F=5m。。所以AH=8m。所以AD=10m。设BD=BE=n,那么AB=10m+n=15,EC=9n。分两种情况讨论以A'F为腰的等腰三角形A'FG。(i)如图5,当.FG=FA'=5m时,HG=2m。由HA'∥EC,得A'HEC=HGCG所以AC解方程组{10(ii)如图6,当.A'F=A'G=5m时,FH=HG=3m。由A'HEC=HGCG所以AC解方程组{10m+n=15,11m例22025年烟台市中考第24题如图1，抛物线y=a(1)求抛物线的表达式；(2)设点D的横坐标为t。①用含t的代数式表示线段DE的长度；②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接OE，将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的最小值。动感体验请打开几何画板文件“25烟台24”，拖动点E在线段CB上运动，观察△CDE点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”，拖动点E在线段CB上运动，可以体验到，当AG⟂思路点拨1.第(1)题设抛物线的交点式比较简便。2.第(2)题先罗列△CDE的边长EC、ED及夹角∠CED的余弦值，再分三种情况讨论等腰三角形CDE。3.第(3)题将线段CB及点E一起绕点O顺时针旋转90满分解答(1)因为抛物线与x轴交于A(2,0)、B(6,0)两点,设交点式为y=a(x+2)(x6)。根据常数项相等，得12a=3。解得a=−14(2)①由C(0,3)、B(6,0),得直线CB的表达式为y所以D所以DE②在△CDE中,CE=(i)如图2,当EC=ED时,5解得t=6−25,(ii)如图3,当DE=DC时,12EC=解得t=1,或t=0(舍去)。此时D(iii)如图4,当CE=CD时,12ED=5(3)AG长度的最小值等于2考点延伸第(3)题可以这样思考：已知点A是定点，求AG的最小值，那么动点G的轨迹是什么呢?如图5，线段OG与OE垂直且相等，点E在线段CB上，将线段CB绕点O顺时针旋转90根据“垂线段最短”，可知当AG⟂如图6，换个角度思考，将点A绕点O逆时针旋转90当HE⟂在Rt△HCE中，CH=5,sin∠还可以这样思考：AG的最小值就是点H到直线CB的距离。例32025年黑龙江省龙东地区中考第28题如图1，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，tan∠COA=3,OA的长是一元二次方程.x2−3x(1)求点P的坐标;(2)连接MN、PM,求△PMN(3)当t=3时，在对角线OB上是否存在一点E，使得△MNE是含3动感体验请打开几何画板文件“25龙东28",，拖动点M由点O向点A运动，可以体验到，在点N与点P相遇前，S随t变化的函数图象是开口向下的抛物线的一部分；在点N经过点P以后，图象是开口向上的抛物线的一部分。点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”，可以体验到，含30思路点拨1.含60°角的菱形的较长的对角线等于边长的3倍。也就是说，M、N两点同时出发，同时到达终点。2.第(2)题用含t的式子表示PN分两种情况：点N与点P相遇前、相遇后。3.第(3)题中t=3的几何意义是M、Q两点重合，N与菱形对角线的交点重合。此时NM是Rt△NOA斜边上的中线,∠MON=∠MNO=30°。满分解答(1)解方程x2−3由tan∠COA在Rt△COQ中,OC=6,∠COQ=60°,所以OQ=3。在Rt△POQ中,∠POQ=30°,所以.PQ所以P(3,3)。(2)如图2,作MH⊥OB于点H,那么MH由OB=6①如图2,点N到达点P前,PN所以S==−②如图3,点N经过点P后,PN所以S(3)点E的坐标是(0,0),9−33233考点延伸第(3)题