初中数学浙教版九年级上册14二次函数的应用举一反三

1.4二次函数的应用xixix

快速定位题型题型目录TOC\o"13"\h\z\u【题型1】用二次函数解决固定型抛物线问题 7【题型2】用二次函数解决运动型抛物线问题 12【题型3】用二次函数解决商品利润问题 16【题型4】用二次函数解决面积问题 22【题型5】用二次函数解决增长率问题 26xixix

夯实必备知识新知梳理【知识点1】抛物线与x轴的交点求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b24ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b24ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b24ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y=a（xx1）（xx2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．1.（2024秋•清远校级期末）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（）x1034y0585A．图象的开口向下B．有最小值8C．图象与x轴的一个交点是（5，0）D．图象的对称轴是x=【答案】C【分析】由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质即可得出结果．【解答】解：设y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），{a−b+c=0∴{a=1∴y=x24x5，=（x5）（x+1）=（x2）29，∴函数的图象开口向上，顶点为（2，9），图象与x轴的交点分别为（1，0）和（5，0），∴对称轴是x=2，函数有最小值9，∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意．故选：C．【知识点2】图象法求一元二次方程的近似根利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．1.（2024•梅州模拟）已知关于x的方程x2+1=kA．k＜0B．k＞0C．k≤0D．k≥0【答案】B【分析】首先由x2+1=kx，可得：k=x3+x,然后由关于x的方程【解答】解：∵x2∴k=x3+x,∵关于x的方程x2∴x＞0，∴k＞0．故选：B．【知识点3】二次函数与不等式（组）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．1.（2024•市中区校级一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A．1＜x＜5B．x＞5C．x＜1且x＞5D．x＜1或x＞5【答案】A【分析】先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．【解答】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（5，0），所以，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），所以，不等式ax2+bx+c＞0的解集是1＜x＜5．故选：A．2.（2024秋•兴化市期中）直线y=x+1与抛物线y=x2+1的图象如图所示，若一次函数的值大于二次函数的值，则x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞1C．0＜x＜1D．x＜0或x＞1【答案】C【分析】根据图象，如果一次函数的值大于二次函数的值，一次函数图象必须在二次函数图象上方，即可得出答案．【解答】解：由图象可知，当0＜x＜1时，一次函数图象在二次函数图象上方，即一次函数的值大于二次函数的值．故选：C．【知识点4】根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．1.（2024秋•巧家县校级月考）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件，已知商品的进价为每件30元，设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y=15x2+210x+1800B．y=（50x）（90+15x）30xC．y=15x2210x+1800D．y=（20x）（9015x）【答案】A【分析】当每件降价x元时，每件的销售利润为（50x30）元，每星期可卖出（90+15x）件，利用每星期售出商品的利润=每件的销售利润×每星期的销售量，即可列出y与x的函数关系式．【解答】解：当每件降价x元时，每件的销售利润为（50x30）元，每星期可卖出（90+15x）件，根据题意得：y=（50x30）（90+15x），即y=15x2+210x+1800．故选：A．【知识点5】二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．1.（2024•温江区模拟）某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为（）A．13米B．14米C．15米D．16米【答案】C【分析】以AB所在直线为x轴、CD所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为y=ax2+16，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当x=5时y的值即可．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线表达式为y=ax2+16，由题意可知，B的坐标为（20，0），∴400a+16=0，∴a=125∴y=125x2+16∴当x=5时，y=15．∴与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米，故选：C．2.（2024秋•淮阴区期中）一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度h（m）和下落时间t（s）大致有如下关系：h=5t2+20，那么小球经过（）秒落到地面．A．1秒B．2秒C．3秒D．4秒【答案】B【分析】小球落到地面，即h的值为0，代入函数解析式求得t的值即可解决问题．【解答】解：把h=0代入函数解析式h=5t2+20得，5t2+20=0，解得t1=2，t2=2（不合题意，舍去）；故2秒钟后小球落到地面．故选：B．【知识点6】二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．【题型1】用二次函数解决固定型抛物线问题【典型例题】某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为(

)A.B.池底所在抛物线的解析式为C.池塘最深处到水面的距离为3.2mD.若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的【答案】C【解析】设解析式为，抛物线上点，，，带入抛物线解析式中得，解得，解析式为．选项A中，，故选项A错误；选项B中，解析式为，故选项B错误；选项C中，池塘水深最深处为点，水面，，所以水深最深处为点P到水面的距离为3.2米，故选项C正确；选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于轴对称可知，抛物线上点横坐标，带入解析式算得，即到水面距离为米，而最深处到水面的距离为3.2米，减少为原来的．故选项D错误．故选C．【举一反三1】“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（

）米．A.11B.13C.22D.26【答案】D【解析】由题意知，抛物线经过点，代入解析式中：得到：，解得，∴抛物线的顶点坐标为，∴，∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米，故选：D．【举一反三2】随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多的下沉式立交桥.下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉武立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点．某下沉式立交桥的主路桥截面是抛物线形，如图以主路桥面最低点O为原点，以原点所在的水平直线为x轴建立平面直角坐标系．已知主路桥面跨径，主路桥面的最低点O到的距离为．由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象，在一次暴雨后，桥面有积水且积水跨径为，已知普通轿车的安全涉水深度大于，若一位普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径的长度不能超过

米．【答案】【解析】∵，主路桥面的最低点到的距离为，∴点A的坐标为，设抛物线的表达式为，把点代入，得，解得．∴抛物线的表达式为．令，则，解得：，，即：当普通轿车的安全涉水深度等于时，，，此时，∴要想普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径的长度不能超过米，故答案为：．【举一反三3】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加

．【答案】【解析】如图，建立直角坐标，可设这条抛物线为，把点代入，得，解得,∴，当时，，解得,∴水面下降时，水面宽度增加,故答案为：．【举一反三4】悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，如图2，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．(1)求主索抛物线的函数表达式；(2)距离点P水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？【答案】解：（1）由图可知，点C的坐标为．设该抛物线的函数表达式为．又点P坐标为，，

，∴主索抛物线的函数表达式为；（2）由题意，当时，，此时吊索的长度为．由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为．当时，，此时吊索的长度为．由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为．，∴四根吊索的总长度为.【题型2】用二次函数解决运动型抛物线问题【典型例题】一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为，下列说法正确的是（）

A.篮球出手时离地面的高度是B.篮圈中心的坐标是C.此抛物线的顶点坐标是D.此抛物线的解析式是【答案】D【解析】由图和题意可得，抛物线的顶点坐标为，故错误；设抛物线的函数解析式为，∵篮圈中心在抛物线上，将它的坐标代入上式，得，∴，∴，故正确；当时，，∴球出手处离地面，故错误；由图示知，篮圈中心的坐标是，故错误；∴说法正确的是，故选：．【举一反三1】如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为，抛物线经过，对称轴为直线，则设抛物线的解析式为：，代入，求得：，将值代入得到抛物线的解析式为：，令，则，则水管长为，故选C．【举一反三2】小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）

A.B.C.D.【答案】B【解析】选择图2中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式，由题意，得抛物线的顶点坐标为，设抛物线对应的函数关系式为6，将点代入，得，解得，∴抛物线对应的函数关系式为，当时，，∴点的纵坐标为；则的高度是，故选：B．【举一反三3】一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为

s．【答案】8【解析】由题意可得：，∵，∴此二次函数图象开口向下．∴当时，升到最高点．故答案为：．【举一反三4】大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图1，在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当两辆消防车喷射口位置的水平距高为m时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为

m．【答案】【解析】在中，当时，，∴，∵，∴，∴将代入，解得，∴，∴(m)．故答案为：.【举一反三5】图1所示是一个简易桶装水的取水装置，图2是其示意图．从出水口A处喷出的水流可抽象为抛物线，点C是水流与杯子底部的接触点．水流运动的高度与运动的水平距离近似满足函数关系式：．(1)求抛物线的解析式；（不必写x的取值范围）(2)为了取水便捷舒适，要将取水装置垫高，若垫高后点C离出水口的水平距离不得小于，求取水装置至少要垫高多少厘米？【答案】解：（1）由已知，把点、代入，得，解得．∴抛物线的解析式为；（2）设垫高，则垫高后的函数解析式为，把代入，得，解得，∴为了取水便捷舒适，取水装置至少要垫高．【题型3】用二次函数解决商品利润问题【典型例题】2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（

）A.250B.300C.200D.550【答案】D【解析】根据题意，得，∴，∴，∵，∴抛物线的开口向下，有最大值，又∵，∴当时，，故选：D.【举一反三1】某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件，已知商品的进价为每件30元，设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则与的函数关系式为（

）A.B.C.D.【答案】A【解析】设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，依题意得，故选：A．【举一反三2】某批发商销售一种成本是40元/副的防寒手套，当每副防寒手套的售价定为60元时，一天内可卖出100副．经调研得知，该防寒手套的单价每降低1元，每天的销量可增加10副．（1）当防寒手套的单价在定价的基础上降低2元时，每天的销售量为

副．（2）该批发商每天要获利2240元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，那么这种防寒手套的售价应降价

元．当每副防寒手套的定价为

元时，该批发商可获得最大利润．【答案】（1）120（2）6；55【解析】（1）∵该防寒手套的单价每降低1元，每天的销量可增加10副，∴当防寒手套的单价在定价的基础上降低2元时，每天销售量可增加（副）,∴每天的销量为：（副）,故答案为：120；（2）设这种防寒手套的售价应降价元，则每副防寒手套的销售利润为元，平均每天的销售量为副，依题意得，解得，．∵尽可能让利于顾客，赢得市场，∴每副防寒手套应降价6元．设利润为w，依据题意可知，．∵，当时，批发商可获得最大利润．即每副防寒手套的定价为55元．故答案为：6；55.【举一反三3】某超市购进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为

元（利润＝总销售额－总成本）．

【答案】800【解析】设日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，∵点，在该函数图象上，∴，解得，即日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，设每天的销售利润为w（元），则，∵，开口向下，∴当时，有最大值为800，即该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为800元，故答案为：800．【举一反三4】经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．(1)求出y与x的函数关系式.(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？(3)该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．【答案】解：（1）当时，；当时，；综上：当时，，当时，；（2）当时，，当时，y取得最大值；当时，对于，∵，∴当时，y取得最大值；∵，∴第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）当时，令，解得：（舍去），此时共有（天）每天的利润不低于4800元；当时，令，解得：，∵，∴当时，每天的利润不低于4800元，此时的天数为（天），∵，∴该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．【举一反三5】水果店购进某品种榴莲，榴莲的保质期为30天，平均每颗榴莲的售价为100元，由于榴莲需要冷藏保存，因此成本也会逐日增加，设第x天的销售量m颗，每颗榴莲的成本为y元．y与x的函数关系如图所示．m与x之间的关系如表：(1)求y与x的函数表达式．(2)若每天的销售利润为W元，求W与x的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？【答案】解：（1）设与的函数表达式为，把和分别代入得：，解得：，∴与的函数表达式为；（2）当时，，∵，∴随的增大而减小，∴当时，；当时，，∵不在范围内，当时，随的增大而减小，∴当时，；综上述，第天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是元．【题型4】用二次函数解决面积问题【典型例题】用一根长为的铁丝围成一个面积为的矩形，小亮说：“a的值可能是，小情说：“a的值可能是”，小强说：“a的值可能是”，小英说：“a的值可能是”，其中说法错误的是（

）A.小亮B.小倩C.小强D.小英【答案】D【解析】设矩形的一边为x，则另一边为，由题意可得，，∵，∴当时最大，，故选：D.【举一反三1】如图，用总长度为的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与平行，则矩形框架的最大面积为（

）

A.B.C.D.【答案】A【解析】为米，则，，当时，S取得最大值4；长方形框架的面积S最大为．故选：A.【举一反三2】九年级某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，如图所示，最佳方案是（

）A.方案1B.方案2C.方案3D.面积都一样【答案】C【解析】方案1：设米，则米，

则菜园面积，当时，此时菜园最大面积为8平方米；方案2：如图，，

∵，∴菜园面积为8平方米；方案3：半圆的半径为米，∴此时菜园最大面积（平方米）,∵，∴方案3的菜园面积最大，∴在三种方案中，最佳方案是方案3．故选：C．【举一反三3】用木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料，其中，要使窗框的面积最大，则的长为

m．【答案】6【解析】设的长为，则，∴，这窗框的面积，，，，，∴当时，窗框ABCD的面积最大值为，故答案为：6．【举一反三4】[综合与实践]数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．[知识背景]如图，校园中有两面直角围墙（两边足够长），墙角内的处有一棵古树与墙、的距离分别是15米和6米，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用28米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围、两边），设米．[方案设计]设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．[解决问题]思路：把矩形的面积S与边长（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．

(1)请用含有x的代数式表示的长：__________；(2)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大，最大面积为多少？【答案】解：（1）由题意，米，米，故答案为：；（2）．在点与，的距离分别是米和米，．．面积S与的函数解析式为：；，抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，S随的增大而增大．当时，S取到最大值，即当米时，花园面积S最大，最大为195平方米．【举一反三5】如图，一块周长为的矩形铁皮，如果在该铁皮的四个角上截去四个边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的长方体铁盒．

(1)要使铁盒的容积为，求矩形铁皮的长和宽；(2)要使铁盒的容积最大，矩形铁皮的长和宽应为多少？最大容积是多少？【答案】解：（1）设矩形铁皮的长为，则宽为，由图知，铁盒的长为，宽为，根据题意得