2022届江西省九校高三上学期期中联考数学（理）试题

2022届江西省九校高三上学期期中联考数学（理）试题一、选择题1．已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则∁UA∩A．{－1} B．{0，1}C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}【答案】C【分析】由交集与补集的定义即可求解.【详解】解：因为集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，所以，又全集U＝{－1，0，1，2，3}，所以∁U故选：C.2．设，则z的共轭复数的虚部为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先对复数化简，从而可求出其共轭复数，进而可求出其虚部【详解】因为，所以，所以的虚部为，故选：C3．已知函数，则（）A． B．-1 C．0 D．1【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】，.故选：D4．函数的图像在点处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用导数的几何意求解即可【详解】由，得，所以切线的斜率为，因为，所以所求的切线方程为，即，故选：C5．已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数函数和指数函数的性质，即可求解．【详解】，，，．故选：B6．若函数在是增函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数在是增函数，结合二次函数的图象与性质即可得解.【详解】∵函数在是增函数∴，即∴的取值范围是故选：B.7．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（）A． B．0 C．7 D．【答案】D【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.【详解】解:令得,故定点为,所以由三角函数定义得，所以故选：D8．命题，使得成立．若是假命题，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由是假命题，则命题的否定为为真命题，写出命题的否定，利用分离参数的方法求解即可．【详解】命题，使得成立．若是假命题则命题的否定为：，成立，为真命题．所以在上恒成立，由，当且仅当时取得等号．所以故选：A9．如图所示，在△ABC中，，，若，，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的加法、减法、数乘，利用基底表示所求向量即可.【详解】因为，所以，故选：B10．函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（）A．最小正周期为 B．图象的一条对称轴为直线C．图象的一个对称中心坐标为 D．在区间上单调递增【答案】D【分析】先由图象判断，即，代入得到，即可得，再由平移得到，利用正弦型函数的图象和性质依次判断，即得解【详解】由图象可知，，，所以，所以，所以，则，，又，所以，所以，因为将图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，所以，的最小正周期为，故A错误；由，故B错误；由，故C错误；由，，得的单调增区间为，．当时，的单调增区间为，此时，故D正确．故选：D.11．设函数是奇函数的导函数，时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，，根据已知条件可得当时，单调递减，且，根据单调性和奇偶性可得时，；当时，，再分情况讨论即可求解.【详解】令，，则对于恒成立，所以当时，单调递减，又因为，所以当时，；此时，所以；当时，，此时，所以；又因为是奇函数，所以时，；当时，；因为，所以当时，，解得；①当时，，解得；②综合①②得成立的的取值范围为，故选：A.12．已知函数．若的最小值为，且对任意的恒成立，则实数m的取值围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质得到，对任意的恒成立，即求的最大值.【详解】∵函数的对称轴方程为，∴，令，当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴，又对任意的恒成立，即，∴.故选：C二、填空题13．___________.【答案】【分析】利用诱导公式，二倍角公式可进行化简.【详解】，又，于是.故答案为：14．已知△ABC中，，，点是线段的中点，则CM→·CA→=【答案】172【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，结合已知条件求出和，然后利用数量积的坐标表示即可求解.【详解】以△ABC底边的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图：由已知条件和图可知，，，，故，又因为点是线段的中点，所以，所以，从而，故答案为：.15．设两个向量和＝，其中为实数.若，则的取值范围是________.【答案】【分析】由可得，且，整理得，结合三角函数和二次函数性质求出范围，即可得范围，同时将代换成关于表达式，即可求解.【详解】∵2＝，，∴，且，∴，即，又∵，，∴，∴－2≤4m2－9m＋4≤2，解得≤m≤2，∴，又∵λ＝2m－2，∴，∴，∴的取值范围是.故答案为：.16．在△ABC中，角所对的边分别为，且，当取最大值时，___________.【答案】【分析】根据题意及余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式，化简整理，可得，根据两角差的正切公式，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得，所以，所以整理得，即，，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以取得最大值，所以当取最大值时，.故答案为：三、解答题17．若平面向量､满足，.（1）若.求与的夹角；（2）若，求的坐标.【答案】（1）；（2）或.【分析】(1)根据向量的模的性质化简，由此可求与的夹角；(2)设，根据向量共线的坐标表示和向量的模的坐标表示列方程求的坐标.【详解】解：（1）由可知，由可得，即，解得.设与的夹角为，则，又，.（2）设，则，，，所以，解得.又，.②由①､②，解得或，所以的坐标为或.18．已知命题实数x满足，命题实数x满足.（1）当时，若为假，为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）当时，分别求得命题对应的解集为，，根据为假，为真，得到一真一假，分类讨论，即可求解；（2）分别求得命题对应的集合，，结合p是q的必要不充分条件，得到，分类讨论，即可求解.【详解】（1）当时，不等式的解集为，由的解集为，因为为假，为真，所以一真一假，当p真q假时，；当p假q真时，或，综上可知，实数x的取值范围是或.（2）由，解得，所以命题p对应的集合为，命题q对应的集合为，因为p是q的必要不充分条件，所以，当时，可得，解得；当时，，解得，综上可知，实数a的取值范围为.19．已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；（2）将代入可求出，结合的范围，求出，因为，由两角和的余弦公式求出结果.【详解】．（1）函数的最小正周期．（2）由，得，即．由，得，∴，∴．20．在△ABC中，所对的边分别为，向量，且.（1）求角A的大小；（2）若△ABC外接圆的半径为2，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）有向量垂直的坐标表示可得，应用正弦定理的边角关系及三角形内角的性质求得，即可求A的大小；（2）法一：由正弦定理可得，，再利用三角形的面积公式求△ABC面积关于角B的三角函数式，结合三角形内角性质及正弦函数的性质求面积最大值；法二：应用正余弦定理及基本不等式可得，注意等号成立条件，再由三角形面积公式求△ABC面积的最大值.【详解】（1）依题意得：，则，∴，又，∴，，故.（2）法一：由正弦定理得，，∴△ABC面积由得：，则，∴，故，即时，.法二：由正弦定理得：，由余弦定理得：，∴，当且仅当时取等号，∴，.21．已知函数．（I）若是的极值点，求的单调区间；（II）求a的范围，使得恒成立．【答案】（I）的单调增区间为，减区间为；（II）【分析】（I）根据题意得出，求出a，进而由求得增区间，由求得减区间；（II）根据题意将问题转化为时恒成立，设，求出，分类讨论参数a，得到，即可得到a的范围.【详解】（I）函数的定义域为，，因为是的极值点，所以，解得a=3，当a=3时，，令，得或；令，得，所以函数的单调增区间为；单调减区间为.（II）要使得恒成立，即时恒成立，设，则，当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，故，得；当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，；此时，不合题意；当时，在上单调递增，此时，不合题意；当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，，此时，不合题意；综上所述：时，恒成立.22．已知函数．（1）讨论的单调性．（2）设，若恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）单调性见解析；（2）．【分析】（1）求得，分和两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调性；（2）当时，根据，构造函数，求得，令，利用导数求得单调性，结合，即可求解.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，且，（ⅰ）当时，，则在上单调递增；（ⅱ）当时，令得到，当时，单调递增，当时，单调递减；综上可得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由，令，则，故，证明：时符合题意，当时，，以下证明：，构造函数，则．令，则，令，可得；令，可得，于是在上递减，在上递增，于是，可得当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，故，综上可知，实数a的取值范围．【点睛】对于利用导数