2025-2026学年上海市某校高三上学期9月模拟考试数学试题

2025-2026学年上海市某校高三上学期9月模拟考试数学试题一、填空题(★)1.已知集合A表示直线上的点的集合，且，则a的值为______．(★★)2.已知复数（为虚数单位），则满足的复数的虚部为__________.(★★)3.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是____________．(★★)4.5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有______种情况.(★★)5.在的展开式中，的系数是__________.(★★)6.已知双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为__________.(★★)7.已知，若不等式对恒成立，则的最小正值为__________.(★★★)8.已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为________．(★★★)9.已知锐角满足，则的最小值为__________.(★★★★)10.如图，在中，，点在以为直径的半圆（外）内及边界上运动，若，记的最大值与最小值分别为，则__________.(★★★)11.已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为__________.(★★★★★)12.对于一个有穷正整数数列，设其各项为，，...，，各项和为，集合中元素的个数为，对所有满足的数列，则的最大值为_________.二、单选题(★★★)13.已知函数，则“，”是“在上的最小值为2”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(★★)14.若，则下列不等式正确的是（）

A．B．C．D．(★★★★)15.已知等差数列的公差，等比数列的公比，且，.设为的前项和（），则下列结论中正确的是（）

A．存在唯一的公比，使得B．存在，使得恒成立C．若，当时，恒成立D．当时，恒成立(★★★★)16.如图，有一正三棱锥，已知它的底面边长为2，高为（点到平面的距离），保持在平面上，且三棱锥绕转动.若存在某个时刻，三棱锥在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（）

A．B．C．D．三、解答题(★★)17.如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面,为的中点.(1)求证：平面；(2)若，求直线与平面所成的角.(★★)18.自《健康中国2030"规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列.某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长（单位：小时），作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有48人．(1)求；(2)根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数；（结果保留2位小数）(3)公司计划选择1人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于4小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率．(★★★)19.2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道.记，三条轨道的总长度为米.(1)将表示成的函数，并写出的取值范围；(2)求三条轨道的总长度的最小值.(★★★★)20.已知点在抛物线：上，点为的焦点，且．过点的直线与及圆依次相交于点，如图．(1)求抛物线的方程及点的坐标；(2)求的值；(3)过两点分别作的切线，，且与相交于点，已知三角形外接