2025-2026学年湖北省襄阳市第四中学高二上学期9月月考数学试卷

2025-2026学年湖北省襄阳市第四中学高二上学期9月月考数学试卷一、单选题(★★)1.复数的共轭复数为（）

A．B．C．D．(★)2.设，，，则与的夹角为（）

A．B．C．D．(★)3.已知随机事件和互斥，和对立，且，则（）

A．B．C．D．(★)4.在正方体中，异面直线与所成角的正弦值是（）

A．B．C．D．1(★★)5.已知直线和三个不重合的平面，则下列结论正确的是（）

A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则(★★)6.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）

A．平均数为3，中位数为2B．平均数为2，方差为2.4C．中位数为3，众数为2D．中位数为3，方差为2.8(★★★)7.若平面向量，，，两两的夹角相等，且，，，则（）

A．4B．8或C．10D．4或10(★★)8.向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（）

A．B．C．D．二、多选题(★★)9.在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（）

A．若为锐角三角形，则B．若，则为等腰三角形C．若，则D．若，则符合条件的有两个(★★★)10.下列说法中不正确的是（）

A．若事件两两独立，则B．从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件“至少有2个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件C．数据的第70百分位数是23.5D．若的平均数为2，方差为1，的平均数为6，方差为2，则的方差为5(★★★★★)11.已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（）

A．四面体的体积为定值B．存在点，使平面C．二面角的正切值为D．当为的中点时，四面体的外接球表面积为三、填空题(★★)12.在中，角所对的边分别为，，则______．(★)13.直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为______.(★★★)14.我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出以下体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，利用祖暅原理计算球的体积时，如图1，将同底等高的半球与圆柱放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，用任意一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.已知平面截半球所得截面是半径为1的圆，则平面截新几何体所得截面面积为___________.如图2是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以1为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为___________.四、解答题(★★★)15.某校举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成五组（，，，，），其中第二组的频数是第五组的频数的8倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题.(1)若根据这次成绩，年级准备淘汰的学生，仅留的学生进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(2)从样本数据在，，这三个组内的学生中，用按比例分配分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的2人来自不同组的概率.(★★★)16.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，假设.(1)设向量，若与共线，求实数的值；(2)是否存在实数，使得与向量垂直，若存在求出的值，若不存在请说明理由.(★★★★)17.在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组.(1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？(2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？(★★★★★)18.已知a，b，c为三个内角A，B，C的对边，且，线段边对应的高为，内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H．(1)求中高的长度；(2)若的角平分线交于E，求证；(3)欧拉线定理：设的重心，外心，垂心分别是G，O，H，则G，O，H三