2025-2026学年湖南省永州市东安县天成学校高三上学期开学考试数学试题

2025-2026学年湖南省永州市东安县天成学校高三上学期开学考试数学试题一、单选题(★★)1.已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）

A．B．C．D．(★)2.命题“”的否定为（）

A．B．C．D．(★★)3.下列函数中，在区间上单调递增的是（）

A．B．C．D．(★★)4.当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）

A．B．C．D．(★★★)5.函数在下列区间上单调递增的是（）

A．B．C．D．(★★)6.的内角的对边分别为，若边上的高为，则（）

A．B．C．D．(★★)7.若函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为（）

A．B．C．D．(★★★)8.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（）

A．B．C．D．二、多选题(★★★)9.某地区高三男生的“50米跑”测试成绩(单位：s)服从正态分布，且．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个成绩，其中成绩在间的个数记为，则（）

A．B．C．D．(★★★)10.为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）

A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移C．向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变(★★★★★)11.已知正方体棱长为2，P为空间中一点．下列论述正确的是（）

A．若，则异面直线BP与所成角的余弦值为B．若，三棱锥的体积为定值C．若，有且仅有一个点P，使得平面D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是三、填空题(★★)12.若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．(★)13.记数列的前项和为，若，则使得取得最小值时的值为________.(★★★★)14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________，体积为__________.四、解答题(★★★)15.已知锐角的内角的对边分别为，且．(1)求；(2)若，角的平分线交于点，，求的面积．(★★★)16.如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值.(★★★)17.已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，弦被点平分.(1)求直线的方程；(2)求的面积.(★★★)18.为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：

序号i12345678910成绩/分38414451545658647480记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算.(1)求；(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩