专题01 集合及其运算20大题型65题（期中专项训练）（解析版）高一数学上学期人教A版

2/24专题01集合及其运算题型1判断元素能否构成集合题型11判断两个集合是否相等题型2判断元素与集合的关系题型12根据两个集合相等求参数（常考点）题型3利用集合元素的互异性求参数（重点）题型13空集及其应用（重点）题型4求集合中元素的个数题型14交集的运算（重点）题型5根据集合中元素的个数求参数题型15并集的运算（重点）题型6判断集合的子集（真子集）的个数（常考点）题型16补集的运算（重点）题型7子集（真子集）的个数的应用（难点）题型17交并补的混合运算（重点）题型8求子集（真子集）（重点）题型18Venn图（重点）题型9判断两个集合的包含关系（重点）题型19容斥原理及其应用题型10根据集合的包含关系求参数（重点）题型20集合新定义（难点）题型一判断元素能否构成集合（共3小题）1．（24-25高一上·湖北·期中）下列各组对象不能构成集合的是（

）A．中国古代四大发明 B．所有无理数C．2024年高考数学难题 D．小于的正整数【答案】C【分析】根据题意利用集合中元素具有确定性的性质，对选项逐一判断可得结论.【详解】对于A，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即A能构成集合；对于B，所有无理数定义明确，即B能构成集合;对于C，2024年高考数学难题定义不明确不具有确定性，不符合集合的定义，即C构不成集合；对于D，小于的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即D能构成集合.故选：C2．（24-25高一上·广西南宁·期中）下列对象能组成集合的是（

）A．非常接近0的数 B．身高很高的人C．绝对值为5的数 D．著名的数学家【答案】C【分析】借助集合中元素的性质逐项判定即可得.【详解】A、B、D选项都违背了集合中元素的确定性，故A、B、D错误；对C：绝对值为5的数有5或，符合集合的概念，故C正确.故选：C.3．（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（

）A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数【答案】C【分析】根据集合中的元素满足的特征即可求解.【详解】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误，对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误，对于C，的根为，故集合为，C正确，对于D,无限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误，故选：C题型二判断元素与集合的关系（共3小题）4．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果.【详解】易知为有理数，可得，即A正确；易知，即B错误；而0不是正整数，所以，即C错误；显然不是整数，即，可得D错误；故选：A5．（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】逐个验证即可.【详解】对于A：满足，对于B:，错误；对于C:，错误；对于D:，错误；故选：A6．（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可.【详解】对于命题①，，所以命题①错误，对于命题②，，所以命题②错误，对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误，对于命题④，因为，所以命题④正确，对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确，故选：C.题型三利用集合元素的互异性求参数（共3小题）7．（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据集合的互异性，即可求解.【详解】由集合的互异性可知，，或，或，得，或，或，故选：C8．（24-25高一上·山东威海·期中）已知集合，若，则.【答案】14【分析】根据元素与集合的关系得解.【详解】因为，，所以当时，，,不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，，符合题意.故答案为：149．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数.【答案】【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值.【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；若，则，此时，符合要求；若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；综上所述，.故答案为：.题型四求集合中元素的个数（共3小题）10．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可.【详解】由题意，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，由集合中元素满足互异性，所以.故选：B.11．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设集合，则中元素的个数为【答案】4【分析】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果.【详解】将满足的整数对列举出来，有（0,0）,（1,0）,（1,1）,（0,1），共4个.故答案为：412．（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为.【答案】4【分析】由集合的描述法可得结果.【详解】由题意得，所以的元素个数为4.故答案为：4.题型五根据集合中元素的个数求参数（共3小题）13．（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为．【答案】【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】当时，，符合题意.当时，.综上所述，的取值范围是.故答案为：14．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为．【答案】【分析】根据题意分情况讨论即可求得结果，当时，满足题意；时，只需让判别式等于零即可.【详解】当时，解得，满足题意；当时，此时，解得，所以的值构成的集合为，故答案为：.15．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合．(1)若，求的值；(2)若中只有一个元素，求的取值范围；(3)若中至多有一个元素，求的取值范围．【答案】(1)(2)或时，(3)或【分析】（1）将代入方程中即可求解，（2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案．【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故（2）当时，原方程变为，此时，符合题意；当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意．故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素．（3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素，由（1）知当时只有一个元素，当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集；，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素．中最多有一个元素，或题型六判断集合的子集（真子集）的个数（共3小题）16．（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据集合之间的关系直接得出结果.【详解】集合A可以是，共3个.故选：B.17．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数.【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为.故选：D.18．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案.【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个.故选：B.题型七子集（真子集）的个数的应用（共2小题）19．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则．【答案】或或【分析】首先根据，求出参数的值；然后再根据子集的概念求解集合即可【详解】由于，所以或，解得：或；当时，不满足元素的互异性，故舍去；当时，满足题意.又因为集合是集合的子集且有两个元素，所以或或.故答案为：或或.20．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为.【答案】【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可.【详解】由题意可知：方程有且仅有一解，等价于有一个不等于3的实数解，1.当时，解为，满足题意；2.当时，只有一解时，则，解得，若，则，解得，符合题意；3.当时，且有两解但3是方程的解，故，解得；综上所述，实数取值集合为.故答案为：.题型八求子集（真子集）（共3小题）21．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据子集关系分析求解即可.【详解】因为，则，所以.故选：D.22．（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（

）A．126 B．128 C．130 D．132【答案】B【分析】根据子集概念分析即可求解.【详解】，集合的所有子集有：，，1，3，5，7分别在子集中各出现8次，.故选：B．23．（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集.【答案】答案见解析【分析】借助子集的概念与真子集的概念逐项列出即可得.【详解】的子集有：、、、、、、、；的真子集有：、、、、、、.题型九判断两个集合的包含关系（共3小题）24．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．=【答案】A【分析】根据集合中的元素满足的约束即可求解.【详解】由，可知：集合是由所有的奇数构成的集合，而集合中的元素是的倍数，故，故选：A.25．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（多选）已知集合，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】求出集合，利用元素与集合、集合与集合的关系判断可得出合适的选项.【详解】因为，所以，，，，，选项ACD正确，B错.故选：ACD.26．（24-25高一上·江苏南京·期中）（多选）设集合，，，，则下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】分别求出集合，再利用集合之间的关系判断即可.【详解】由题意得，，，，我们先化简集合，集合可化为，所以，故A正确，而点在直线上，则成立，故C正确，因为是数集，是点集，二者一定无交集，故成立，故D正确，因为是数集，是点集，二者一定无交集，故不成立，故B错误.故选：ACD题型十根据集合的包含关系求参数（共3小题）27．（24-25高一上·广东·期中）（多选）已知集合，，且是的真子集，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】化简集合，分和两种情况讨论即可求.【详解】由题意得，因为是的真子集，当时，，得；当时，，得，故的取值范围为.故选：AD28．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是.【答案】【分析】计算集合，再分别求和时，的值即可.【详解】由题意，，又，若，则，满足题意；若，则，所以或.故答案为：.29．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围.【详解】因为，，，所以，所以，所以的取值范围为.题型十一判断两个集合是否相等（共3小题）30．（24-25高一上·福建·期中）集合，，的关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可.【详解】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合，集合表示所有被除余的数所构成的集合，所以，集合表示所有被除余的数所构成的集合，任取，则，，所以，，又，，所以，综上，故选：A31．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论.【详解】任取，则，，所以，所以，任取，则，，所以，所以，所以，任取，则，，所以，所以，又，，所以，所以，故选：C.32．（24-25高一上·广东阳江·期中）（多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ABC【分析】由两集合相等定义可判断集合是否相同.【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确；B选项，均为点集，但包含的元素不同，则两集合不同，故B正确；C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确；D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误.故选：ABC题型十二根据两个集合相等求参数（共3小题）33．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互异性即可求得结果.【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得舍去，所以解得，所以，故选：A34．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则.【答案】【分析】根据题意利用集合中元素的互异性分类讨论即可求得结果.【详解】依题意可知，由于可知，此时，所以，解得或(舍去)即.故答案为：35．（24-25高一上·安徽·期中）若，则．【答案】【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解．【详解】由题意可得，则，即，则，解得或，若，则违背集合元素的互异性，舍去；若，则有，符合要求；综上所述，，则．故答案为：．题型十三空集及其应用（共3小题）36．（23-24高一上·贵州黔东南·期中）（多选）下列关系式正确的为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可.【详解】因为，故A错误；是指元素为0的集合，所以，故B正确；是指元素为的集合，所以，故C正确；是任何集合的子集，所以，故D正确．故选：BCD．37．（24-25高一上·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为.【答案】②④⑥【分析】根据空集的定义逐项判断即可.【详解】①集合中含有一个元素，故不是空集；②因为，，故是空集；③集合中含有一个元素，故不是空集；④是空集；⑤集合中含有一个元素，故不是空集；⑥因为方程没有实数解，故是空集；故答案为：②④⑥.38．（24-25高一上·上海·期中）若，则m的取值范围为．【答案】【分析】利用空集的定义，结合一元二次不等式的解集情况，分类列式求出范围.【详解】当时，不成立，，符合题意，；当时，由，得，解得，所以m的取值范围为.故答案为：题型十四交集的运算（共5小题）39．（24-25高一上·海南儋州·期中）设，，且，则实数的取值范围为（

）A． B．或C．或 D．【答案】A【详解】根据交集的结果直接求出参数的取值范围.【分析】因为，且，所以.故选：A.40．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由交集结果得出集合间的包含关系，由包含关系可得的不等关系，从而得的范围.【详解】由题意，在，中，，∴解得.故选：C.41．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）若，，则集合中元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由交集的定义即可求解.【详解】因为，，所以，所以集合中元素的个数为.故选：.42．（24-25高一上·福建福州·期中）集合（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由交集的定义可求解.【详解】因为，，所以.故选：43．（24-25高一上·福建三明·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据条件，利用集合的运算，即可求解.【分析】因为，，所以，故选：B题型十五并集的运算（共5小题）44．（24-25高一上·河南开封·期中）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先解不等式化简集合，再求集合的交集与并集，结合选项可得答案.【详解】因为集合，所以.故选：A.45．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合并集运算即可求解.【详解】,则.故选：.46．（24-25高一上·甘肃临夏·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再由并集的定义求解即可.【详解】因为，，则.故选：D.47．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用等价于，列式求解即可；（2）利用，等价于，列式求解即可.【详解】（1），，因为，所以，所以解得，故实数的取值范围为；（2），，因为，所以，当时，，解得，满足题意；当时，解集为，综上，实数的取值范围为.48．（24-25高一上·广东深圳·期中）设集合，集合．(1)若，求和；(2)，求实数a的取值范围．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）先求出集合B，再根据交集和并集的定义计算即可；（2）由题设得，分和两种情况分析计算即可得解.【详解】（1）若，则，所以，.（2）因为，所以，当时，满足，此时；当时，要使，则.综上，实数a的取值范围为.题型十六补集的运算（共3小题）49．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知全集，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】一元二次方程化简集合，再利用补集的定义进行求解即可.【详解】全集，则故选：A.50．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知全集，集合，，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）利用交集的定义求解即可；（2）求得，利用并集的定义即可求解；（3）求得，利用交集的定义可得求解．【详解】（1）因为，所以.（2）因为，，所以或，所以或.（3）因为，，因为或，所以.51．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知集合，，求，，，.【答案】或，或，，或或.【分析】由题意，利用集合交并补的运算，可得答案.【详解】由，，则，，或，或，所以或，或，或，或或.题型十七交并补的混合运算（共3小题）52．（24-25高一上·安徽滁州·期中）设全集，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出全集，利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】因为全集，，，则，，所以，.故选：B.53．（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）全集，，，，则下列判断正确的有（

）A．B．或C．若，则或D．若，则或【答案】AD【分析】由已知可得集合，根据并集的定义即可判断；先求解，再根据补集的运算即可判断；由已知分和两种情况分别列不等式求解即可判断；先求解，再分和两种情况分别列不等式求解即可判断.【详解】因为，所以，所以，故正确；因为，所以或，故错误；因为，当时，所以，即，当时，所以或，解得或，综上，的取值范围是或，故错误；因为，所以或，因为，当时，所以，即，当时，所以或，解得或，综上，的取值范围是或，故正确.故选：.54．（24-25高一上·天津南开·期中）已知全集为，集合或，.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)或；(2).【分析】（1）先求出当时的集合，再根据补集和并集定义即可计算求解.（2）先由题意求得，接着求出，再分和两种情况讨论即可求解.【详解】（1）若，则，所以或，又集合或，所以或.（2）因为，所以，因为，，所以当时符合题意，此时，即；当时，要使，则，解得，综上所述，实数的取值范围为.题型十八Venn图（共3小题）55．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】由题可知图中阴影部分表示，结合集合的交运算、并运算求解即可.【详解】由题意知，，，所以图中阴影部分表示或.故选：A.56．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（

）A．图形I表示的集合为B．图形Ⅲ表示的集合为C．图形Ⅴ表示的集合为D．图形Ⅷ表示的集合为【答案】D【分析】由集合的交并补运算即可得出答案.【详解】图形I表示的集合为；图形Ⅱ表示的集合为；图形Ⅲ表示的集合为；图形Ⅳ表示的集合为；图形Ⅴ表示的集合为；图形Ⅵ表示的集合为；图形Ⅶ表示的集合为；图形Ⅷ表示的集合为．故选：D.57．（24-25高一上·福建泉州·期中）（多选）设全集为，集合，如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据集合的交并补和维恩图的关系即可得到答案.【详解】对A，由图知，故A正确；对B，由图知不是的子集，故B错误；对C，由图知，故C正确；对D，由图知，故D正确.故选：ACD.题型十九容斥原理及其应用（共3小题）58．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（

）人A．16 B．18 C．20 D．24【答案】C【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C，则，，得即，得，所以只参加一个社团的人数共有.故选：C59．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（

）A．16人 B．18人 C．20人 D．24人【答案】A【分析】根据集合的容斥原理即可求解.【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为；集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为；则，则.故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人.故选：A.60．（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（

）A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人【答案】BC【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案.【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学，则，，，又，，所以，所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人．故选：BC题型二十集合新定义（共5小题）61．（24-25高一上·山西·期中）（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（

）A．若，，则是一个戴德金分割B．若，，则是一个戴德金分割C．若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割D．若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割【答案】BCD【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误.【详解】对于A，因为，故A错误；对于B，，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，故B正确；对于C，设，，此时有最大元素1，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故C正确；对于D，如B选项，此时没有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故D正确.故选：BCD.62．（24-25高一上·广东·期中）设，为非空实数集，定义，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】分别利用题中的概念判断每一个选项即可；【详解】选项A，由题可知，，故正确；选项B,,所以，同理所以，故选项B正确；选项C，，故当集合中没有元素时，选项C错误；选项D，由题可知，但是可能为空集，所以选D错误；故选：AB63．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合.(1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合；(2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例；(3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但.【答案】(1)证明见解析(2)不一定，举例见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明；（2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断；（3）根据闭集合定义、真子集及集合并