专题01 集合与常用逻辑用语（期中复习讲义）（原卷版）高一数学上学期人教A版

3/3专题01集合与常用逻辑用语（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律1.1元素与集合的关系（属于∈、不属于∉）能正确判断给定元素与集合的关系，并能根据关系求解参数。基础题，常与集合的互异性结合考查。1.2集合的表示法（列举法、描述法）能根据问题情境选择合适的方法表示集合，并能进行两种表示法的相互转化。易错点在描述法中对代表元素及其公共属性的准确理解。1.3集合的特性（确定性、互异性、无序性）能利用互异性检验集合表示的正确性，并求解相关参数。小题中常设陷阱，如忽略互异性导致多解。1.4集合间的关系（子集、真子集、相等）能判断两集合间的关系，会求一个集合的所有子集和真子集个数。易忽略空集是任何集合的子集，是分类讨论的常见漏解原因。1.5集合的运算（交集、并集、补集）能进行简单的混合运算，并能利用数轴或Venn图解决与不等式、定义域相关的集合运算问题。高频考点，数轴法求参是常见题型和难点。1.6充分条件与必要条件的判断能通过“定义法”、“集合法”等多种方法准确判断条件的类型。核心易错点，常将“谁是条件”混淆，命题趋势是结合其他知识构成复合命题。1.7全称量词与存在量词命题的否定能正确书写含有一个量词的命题的否定，并判断其真假。易错点是否定时只改量词而不否定结论知识点01元素与集合集合的概念一般地，我们把指定的某些对象的全体称为，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的，通常用小写字母a，b，c，…表示.集合与元素的关系一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素a集合A，记作，如果元素a在不集合中A中，就说元素a集合A，记作.3．集合的分类含有有限个元素的集合叫作，含有无限个元素的集合叫作，不含任何元素的集合叫作，记作.4．元素与集合（1）集合中元素的特性：、、.（2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.（3）常用数集及其记法：数集非负整数集（或自然数集）正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N*或（N＋）ZQRC知识点02集合的基本关系文字语言符号语言基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素_____真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集空集空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的且必记结论：（1）若集合A中含有n个元素，则有____个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑_____的情况，否则会造成漏解.知识点03集合的交集、并集、补集运算文字语言符号语言图形语言记法并集由所有属于集合A集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}

交集由所有属于集合A集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}

补集由全集U中集合A的所有元素组成的集合{x|x∈U，且x∉A}

知识点04集合的运算性质1．交集的性质：①A∩BA；②A∩BB；③A∩A＝；

④A∩＝；⑤A∩BB∩A.2．并集的性质：①A∪BA；②A∪BB；③A∪A＝；④A∪＝；⑤A∪BB∪A.3．补集的性质：①∁U(∁UA)＝；②∁UU＝；③∁U＝；④A∩(∁UA)＝；⑤A∪(∁UA)＝；⑥∁U(A∩B)＝(∁UA)(∁UB)；⑦∁U(A∪B)＝(∁UA)(∁UB)．知识点05德摩根公式知识点06容斥定理之集合中元素个数知识点07命题的概念（1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断的叫做命题．（2）分类：判断为的语句是真命题，判断为的语句是假命题．（3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中，称为命题的条件，称为命题的结论．知识点08充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的定义一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。由可推出，记作，并且说是的______，是的______。如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。2．充分性和必要性的关系在“若，则”中，若：，则是的充分条件，是的必要条件若：，则是的充分条件，是的必要条件也就是说：在“若，则”中，条件结论，________；结论条件，_______3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的条件p⇒q且qpp是q的条件pq且q⇒pp是q的条件p⇔qp是q的条件pq且qp知识点09集合中的包含关系在判断条件关系中的应用设命题对应集合，命题对应集合若，即，是的充分条件（充分性成立）若，即，是的必要条件（必要性成立）若，即，，是的___________若，即，，是的_________若，即，，是的______________知识点10全称量词与存在量词1．全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做.全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为.（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做.存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为.2．全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p:∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：．全称量词命题的否定是存在量词命题．（2）存在量词命题的否定对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题p:∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：．存在量词命题的否定是全称量词命题．（3）在书写这两种命题的否定时，相应地变为全称量词，全称量词变为．题型一元素与集合的关系解｜题｜技｜巧（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．注意：结合互异性解题【典例1】（24-25高一上·重庆渝北·期中）设集合，，则（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数.【变式2】）已知集合，若，则（

）A． B．C． D．不属于M，Q，P中的任意一个题型二集合间的基本关系解｜题｜技｜巧（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性.【典例1】（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·云南·期中）设集合，，，则（

）A． B．C． D．【典例3】（24-25高一上·广东广州·期中）设集合，若，则满足条件的的集合为【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）满足的集合的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【变式2】（24-25高一上·安徽宿州·期中）设集合，，则集合，的关系是（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）集合，集合.若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．题型三集合间的基本运算【典例1】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围.【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）全集，，，，则下列判断正确的有（

）A．B．或C．若，则或D．若，则或【变式2】（24-25高一上·北京丰台·期中）已知集合，．(1)若，求，；(2)若，求实数的取值范围．题型四Venn图及容斥原理的应用【典例1】（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（

）A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．的不同真子集个数为8【变式2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有人．题型五集合新定义【典例1】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）（多选）定义集合A与B的运算：，.已知，，则（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·安徽·期中）对于非空的有限整数集，定义，．(1)若集合，求和．(2)已知，为非空的有限整数集，且．（ⅰ）若，求集合；（ⅱ）证明：．【变式1】（24-25高一上·浙江·期中）（多选）已知非空集合，若对，都有，成立，则称集合是封闭集.下列说法中正确的是（

）A．集合是封闭集B．若集合是封闭集，则也是封闭集C．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集D．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集【变式2】（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知集合，若对任意的整数和中至少有一个是集合的元素，则称集合具有性质.(1)判断集合是否具有性质，并说明理由.(2)若集合具有性质，证明：，且.(3)当时，若集合具有性质，且，求集合.题型六判断充分条件与必要条件及其参数求解解｜题｜技｜巧直接法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可．（2）集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断．【典例1】（24-25高一上·贵州·期中）设，则“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【典例2】（24-25高一上·广东肇庆·期中）设，已知集合，.(1)①当时，求；②当时，求实数m的范围；(2)设p：；q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围.【变式1】子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为．(1)求集合；(2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围.题型七全称量词命题与存在量词命题（习题跨章节）【典例1】命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【典例2】已知命题，，命题，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【变式1】已知命题，命题.(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围.【变式2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合.(1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围；(2)若恒成立，求实数的取值范围.期中基础通关练（测试时间：10分钟）一、单选题1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．82．（23-24高一上·四川达州·期中）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．二、多选题5．（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知集合，则下列符号语言表述正确的是（

）A． B． C． D．6．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（

）A． B． C． D．三、填空题7．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是．8．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为.期中重难突破练（测试时间：20分钟）一、单选题9．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．10．（24-25高一上·江西上饶·期中）已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题11．（24-25高一上·福建福州·期中）全集，，，，则下列判断正确的有（

）A．B．或C．若，则或D．若，则或12．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（）A．若且，则B．若且，则C．若且，则D．存在，使得三、填空题13．（24-25高一