专题02 等式与不等式性质、基本不等式（期中复习讲义）（解析版）高一数学上学期人教A版

3/3专题02等式与不等式性质、基本不等式（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律2.1不等式的基本性质（对称性、传递性、可加/乘性）能依据性质进行简单的数值比较和不等式推导。基础题，乘负变号是必考点。2.2基本不等式的形式与推导能准确写出基本不等式，理解其几何意义。理解性考点，是应用的基础。2.3“一正二定三相等”的运用条件能准确判断给定问题是否满足基本不等式的使用条件。高频易错点，是解题的第一步，常被忽略。2.4直接利用基本不等式求最值能对符合“积定”或“和定”条件的表达式直接应用公式求最值。最基础的考查方式。2.5“配凑法”应用基本不等式能通过拆项、添项、凑系数等技巧，将表达式转化为可用基本不等式的形式。期中解答题核心考法，是能力的区分点。2.6换元法（化繁为简）当表达式复杂时，能通过代换简化问题，转化为基本不等式模型。重要技巧，常用于含根式条件最值问题。2.7“1”的代换法（条件等式）当已知条件能巧妙地运用或变形“1”，可将目标式乘以“1”进行计算。高频题型，技巧性强，是高分的关键。2.8分式型最值问题能处理形如(二次式)/(一次式)”或(一次式)/(二次式)”的函数，通过分离常数、换元或基本不等式求最值。常见中档题，分离常数是常用技巧。2.9二次使用基本不等式（连续放缩）能判断在什么情况下需要两次或多次使用基本不等式，并保证每次放缩的等号能同时成立。难度最高的题型之一，常用于证明或求复杂式子的最值，对逻辑严谨性要求高。2.10恒成立问题中求参数范围（综合应用）对于恒成立的问题，能将其转化为求目标式的最小值或最大值，从而确定参数a的范围。期中压轴题常见模式，综合性强，易错点在于混淆“≥最大值”与“≤最小值”的逻辑关系。2.11基本不等式在实际问题（如面积、成本最优化）中的应用能根据实际问题建立函数模型，并利用基本不等式求解最值。命题趋势偏向应用，考查数学建模能力知识点01等式的性质性质1如果，那么_____；性质2如果，，那么____；性质3如果，那么；性质4如果，那么；性质5如果，，那么____；知识点02比较两个实数大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：；；另外，若，则有；；.知识点03不等式的性质性质别名性质内容1对称性a>b⇔b＜a2传递性a>b,b>c⇒a＞c3可加性a>b⇔a+c＞b+c推论1：a+b>c⇔a>c−b；推论2：a>b,c>d⇒a+c>b+d4可乘性a>b,c>0⇒ac＞bca>b,c<0⇒ac<bc；推论3：a>b>0,c>d>0⇒ac>bd；推论4：a>b>0⇒an＞bn（n∈N推论5：a>b>0⇒5取倒数a>b,ab>0⇒1a＜1知识点04基本不等式如果a≥0,b≥0，那么a+b2≥ab（当且仅当说明：①对于非负数a,b，我们把a+b2称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数②我们把不等式ab≤a+b③“当且仅当a=b时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当a=b时，有ab=a+b2；另一方面当ab=④结构特点：和式与积式的关系.知识点05利用基本不等式求最值①已知x，y是正数，如果积xy等于定值P，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值2P②已知x，y是正数，如果和x+y等于定值S，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值．S2知识点06几个重要不等式（1）a2+b2≥2ab（a变形式：ab≤a2+b22（（2）基本不等式：ab≤a+b2（a>0，b>0变形式：a+b≥2ab（a>0，b>0），ab≤a+b22（a，（3）a2+b2+c2≥ab+bc+ca（（4）若ab>0，则ba+ab≥2知识点07基本不等式链拓展.m>n时，知识点08权方和不等式的二维形式若则当且仅当时取等.(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)知识点09糖水不等式定理若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜;知识点10糖水不等式的倒数形式:设,则有:题型一由已知条件判断所给不等式是否正确解｜题｜技｜巧直接法：依据不等式基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性等），结合已知条件直接推导判断。（2）特殊值法：选取满足已知条件的特殊数值代入不等式，验证是否成立。（3）作差（商）法：对不等式两边作差（商），结合已知条件判断差（商）的正负，进而确定不等式是否成立（作商法需注意正负），部分复杂式子判断可用此思路延伸。【典例1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由不等式的性质逐项分析得解.【详解】由不等式性质，，故A错误，由，故B错误；由，故C正确；由，故D错误.故选：C【典例2】（24-25高一上·山东潍坊·期中）（多选）已知实数，，，则（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【分析】利用不等式的性质，逐个验证各选项的条件下结论是否成立.【详解】对于A，时，满足，此时，A选项错误；对于B，时，有，又，所以，B选项正确；对于C，且，则，即，C选项正确；对于D，，则，所以，D选项错误.故选：BC.【变式1】（24-25高一上·湖北黄冈·期中）下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】举例说明判断AD；利用不等式的性质推理判断BC.【详解】对于A，取，得，A错误；对于B，由，得，而，则，B正确；对于C，由，得，C错误；对于D，取，满足，而，D错误.故选：B【变式2】（24-25高一上·河北唐山·期中）（多选）已知，则下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】举反例可判断ABD；利用不等式的性质可判断C.【详解】对于A，当，，时，，故A错误；对于B，当，，时，，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，当，，时，，故D错误．故选：ABD.题型二由不等式关系，求解不等式范围解｜题｜技｜巧（1）直接运算：依据不等式基本性质，对已知不等式变形求解即可．（2）线性组合：若求多个式子线性组合的范围，先将目标式表示为已知范围式子的线性组合，再利用不等式性质，分别求各组合部分范围后“同向可加”即可.【典例1】（24-25高一上·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可.【详解】因为，又，，所以，，所以，即的取值范围是.故选：A.【变式1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则下列结论错误的是（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．取值范围为【答案】D【分析】根据的取值范围，可得到以及的取值范围，然后相加相乘即可得解.【详解】对于A，因为，所以，即，所以的取值范围为，故A正确，不符合题意；对于B，因为，所以，因为，所以，即，所以的取值范围为，故B正确，不符合题意；对于C，因为，则，所以，则，所以的取值范围为，故C正确，不符合题意；对于D，因为，所以，则，因为，所以，则，所以取值范围为，故D错误，符合题意；故选：D.【变式2】（24-25高一上·浙江台州·期中）（多选）设x，y为实数，满足，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用不等式的性质逐项分析即可.【详解】A：因为，所以，即，故正确；B：因为，所以，即，故错误；C：因为，所以，所以，所以，故正确；D：因为，所以，所以，所以，故错误；故选：AC.题型三作差法比较式子大小关系【典例1】（24-25高一上·广西北海·期中）已知，则（填“”或“”）【答案】>【分析】作差法比较大小.【详解】，故.故答案为：>【变式1】（24-25高一上·福建莆田·期中），，，则有.（请填“”、“”、“”、“”、“”）【答案】【分析】利用作差法可得出、的大小关系.【详解】因为，故.故答案为：.【变式2】（24-25高一上·湖南郴州·期中）若a，b为正数，且，则（用符号>、<、≥、≤填空）.【答案】>【分析】作差法比较出大小.【详解】，因为a，b为正数，且，所以，所以.故答案为：>题型四糖水不等式及其应用（跨章节）【典例1】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意建立不等关系即可.【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为，则有.故选：C【变式1】克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用条件及不等式的性质逐项判断即得.【详解】对于A，由得，，故A正确；对于B，因为，故B错误；对于C，由题得，故C错误；对于D，由糖水不等式得，所以，故D错误.故选：A.【变式2】如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．(1)证明糖水不等式；(2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由作差法证明；（2）由糖水不等式变形证明．【详解】（1），因为，所以，所以，即．（2）因为是三角形的三边，所以，由（1）知，同理，所以，又，所以所以原不等式成立．题型五直接用基本不等式求和或积的最值解｜题｜技｜巧（1）定条件：确认“一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到，即存在实数使等号成立）”.（2）选公式：和定求积最大，用；积定求和最小，用.（3）代计算：代入定值，结合等号成立条件（验证是否满足“三相等”），算出最值.【典例1】（24-25高一上·四川德阳·期中）若实数，，且，则的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由基本不等式进行求解即可.【详解】，，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故选：C【典例2】（24-25高一上·浙江台州·期中）已知，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】结合指数幂的运算，由基本不等式即可求解.【详解】，当切仅当即时取等号.故选：A【变式1】（24-25高一上·安徽·阶段练习）设，，且，则xy的最大值是（

）A． B． C． D．100【答案】A【分析】运用基本不等式进行求解即可.【详解】因为x，，所以，即，所以，当且仅当且，即，时等号成立.故选：A【变式2】（24-25高一上·福建龙岩·期中）已知实数，则的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】将变形为，再利用基本不等式即可计算求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值是7.故选：B.题型六巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值（含权方和不等式的应用）解｜题｜技｜巧（1）找“1”或常数：观察条件，将已知等式变形出“1”或常数，用于构造可基本不等式形式。（2）乘“1”拼凑：用变形出的“1”或常数，将目标式与含“1”或常数的式子相乘展开，凑出能用基本不等式求解的式子。（3）验证等号：展开后用基本不等式求最值，同时验证等号成立条件，确保最值有效。【典例1】（24-25高一上·广西·期中）已知实数满足，且，则的最小值为（

）A．6 B．7 C． D．【答案】D【分析】根据得，利用“1”的代换化简，结合基本不等式，即可得出答案.【详解】∵，∴，∴，当且仅当，即，时，等号成立.故选：D.【变式1】（24-25高一上·山东济宁·期中）已知，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4.故选：D【变式2】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，均为正实数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件化为，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为，均为正实数，，均为正实数，且，则，整理得：，因为，，所以，即，当且仅当时，即时，等号成立.故选：C题型七二次与二次（一次）的商式求最值【典例1】若，则的最小值为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】将解析式化简凑出积为常数，再由基本不等式求出函数的最小值．【详解】解：由题意得，，，∴，当且仅当时取等号，即，则函数的最小值是4，故选D．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，关键是对解析式化简凑出定值，注意三个条件的验证，属于基础题．【变式1】函数的最小值为．【答案】【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.【详解】由，又，所以，当且仅当，即时等号成立，所以原函数的最小值为.故答案为：【变式2】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题：(1)求的最大值.(2)求的最小值.(3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值；（2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值；（3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】（1）当时，，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，函数的最大值为.（2）当时，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为.（3）因为，且，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，因为恒成立，则，即，解得.因此，实数的取值范围是.题型八换元法求最值【典例1】已知，求的最大值.【答案】【详解】设，则，因此因，当且仅当，即时取等号，所以.故的最大值为.【典例2】已知正数a，b，c满足2a+b+3c=8，则a+b+2cb+c+1A．22 B．3+224 C．3【答案】D【详解】正数a，b，c满足2a+b+3c=8，故2a+c令a+c=m,b+c=n，故2m+n=8，m>0,n>0，a+b+2c=8−n4n当且仅当8mn=nm，即故a+b+2cb+c故选：D【变式1】已知正实数x,y满足x+y≤2且x−y>0，则2【答案】3+2【详解】设x+3y=mx−y=n，则2x+2y=m+n≤42当且仅当n2m=m4n且m+n=4，即故答案为：3+2【变式2】已知，，，则的最大值为．【答案】/【详解】令，，则，，，，，所以，所以，当且仅当，，即，时等号成立．故答案为：题型九两次应用基本不等式求最值【典例1】对任意的正实数a,b,c，满足b+c=1，则8ab2+a【答案】16【详解】任意的正实数a,b,c，满足b+c=1，8a=a⋅由于b,c为正实数，故由基本不等式得9bc当且仅当9bc=c所以a⋅≥28当且仅当8a+1=16综上，8ab2+a故答案为：16【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等【变式1】已知实数m，n满足m>2n>0，则m2+2【答案】8【详解】因为m>2n>0，所以m−2n>0，n∴m=≥4n≥2当且仅当8nm−2n=2所以m2故答案为：8.题型十条件等式变形求最值【典例1】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，，则的最小值为（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】D【分析】根据题设得到且，代入目标式并应用基本不等式求最小值，注意取值条件.【详解】由题设，又，，故，则，所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为8.故选：D【典例2】（24-25高一上·重庆·期中）若满足，则的最大值是，的最小值是.【答案】2【分析】将等式变形后运用基本不等式即可求得最值.【详解】因，由，可得，即得，当且仅当，即或时取等号，即当或时，的最大值是；因，，即得，当且仅当，即或时取等号，即当或时，的最小值是.故答案为：2；.【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为.【答案】35【分析】由，得到，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解.【详解】因为，且，所以，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值为35.故答案为：35【变式2】（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是.【答案】4【分析】设，得到，假设得到矛盾，即有，结合且，将目标式化为，最后应用基本不等式求最小值.【详解】设，则，即，若，则，而，仅当时等号成立，所以，显然与矛盾，所以，由上，由，即，则，所以，当且仅当时等号成立，所以，，即，时，目标式最小值为4.故答案为：4【点睛】关键点点睛：应用换元法，结合基本不等式得到，再由将目标式整理只为含的表达式为关键.题型十一利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围【典例1】（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解【详解】不等式恒成立，，且当且仅当，即时取等号，即解得故实数的取值范围是故选：C【变式1】已知，若恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】【分析】由基本不等式可得，所以，从而得解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号.又因为恒成立，所以，解得.故答案为：【变式2】已知且恒成立，则实数的最大值是．【答案】【分析】不等式变形为，利用基本不等式求得右侧的最小值即可得结论．【详解】∵，∴，，，，，当且仅当时等号成立，所以，即的最大值是．故答案为：．题型十二基本不等式的应用【典例1】（24-25高一上·四川绵阳·期中）某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边．现欲建一个如图的内接矩形花园，点在斜边上（不包括端点），则花园的面积的最大值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式可求面积的最大值.【详解】设，则，因为，所以，解得，其中，所以花园的面积为，当且仅当即时等号成立，故花园的面积的最大值为，故选：B.【典例2】（24-25高一上·浙江温州·期中）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为．【答案】【分析】设阴影部分矩形的底边长为，则其高为，根据题意可得出矩形广告的总面积关于的函数关系式，结合基本不等式可求得的最小值.【详解】设阴影部分矩形的底边长为，则其高为，所以，矩形广告的总面积为，当且仅当时，即当时，取最小值.故答案为：.【变式1】（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为.【答案】【分析】设矩形菜园的长为，宽为，得到，得到围成的菜园的面积，结合基本不等式，即可求解.【详解】设矩形菜园的长为，宽为，可得，则围成的菜园的面积，当且仅当即时等号成立，所以围成菜园的最大面积为.故答案为：.【变式2】（24-25高一上·北京·期中）如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为P，两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.若，，则当时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是.

【答案】【分析】首先设，再根据条件，用表示用纸的用量，列式后再用基本不等式，即可求解.【详解】设，纸的用量为，则，所以，，当时，即，所以当时，最少的纸的用量为.故答案为：；期中基础通关练（测试时间：10分钟）一、单选题1．（24-25高一上·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可.【详解】对A，由，所以，错误；对B，由，，所以，正确；对C，由，所以，错误；对D，由，所以，错误.故选：B2．（24-25高一上·重庆·期中）已知：，；：，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】通过举特例及不等式性质可判断选项正误.【详解】当时，，，但，则由不能得到；当，时，，，则由可得到,故是的充分不必要条件.故选：A3．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（

）A．36 B．144 C．60 D．72【答案】D【分析】利用基本不等式求最值即可.【详解】设矩形菜园的宽为，长，则，且，.因为（当且仅当，时取“”）.故选：D4．（24-25高一上·福建南平·期中）已知、，且满足，那么的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为知、，且满足，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.5．（24-25高一上·河北邯郸·期中）若正数满足：，则当取最大值时的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根据基本不等式求解积的最值.【详解】根据基本不等式，解得，所以，所以，当且仅当时等号成立，此时的值为1.故选：C二、多选题6．（24-25高一上·贵州·期中）下列命题中，不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AB【分析】利用不等式的性质，推理判断ACD；举例说明判断B.【详解】对于A，由，得，A错误；对于B，取，满足，而，B错误；对于C，由，得，则，因此，C正确；对于D，由，得，而，则，D正确.故选：AB7．（24-25高一上·重庆·期中）已知，，且，则（

）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个选项判断正误即可．【详解】对于A，因为，，所以，又所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误；对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，，所以，当且仅当时取等号，故D正确.故选：BCD.三、解答题8．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知，．(1)求的取值范围；(2)若，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据不等式的性质直接求解即可；（2）由，结合基本不等式可求得结果.【详解】（1），，，，，即的取值范围为.（2），，，（当且仅当，即，时取等号），的最小值为.期中重难突破练（测试时间：20分钟）一、单选题9．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为，且，所以，（当且仅当即时取“”）.故选：C10．（24-25高一上·安徽·期中）已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，则，，且，所以，，当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.11．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．64 B．25 C．13 D．12【答案】B【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案．【详解】，，则，不等式恒成立，即恒成立，，当且仅当，即时等号成立，所以，即实数m