专题03 二次函数、一元二次不等式与其他常见不等式的解法及应用（期中复习讲义）（解析版）高一数学上学期人教A版

3/3专题03二次函数、一元二次不等式与其他常见不等式的解法及应用（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律3.1二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、单调性）能根据解析式快速画出草图，并分析其在给定区间上的最值。所有二次问题的基础，必须熟练掌握。3.2一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）能利用韦达定理解决与两根相关的对称式求值问题。常与函数、不等式综合考查。3.3解一元二次不等式（不含参）能熟练运用“化正→求根→画图→写解集”的步骤求解。必考技能，解集的规范书写是易错点。3.4解含参数的一元二次不等式能根据二次项系数、判别式Δ、根的大小进行分类讨论。期中压轴题常见考点，对分类讨论思想要求高。3.5解分式不等式能通过移项、通分化为商的形式，再利用符号法则转化为整式不等式组求解。易错点是直接去分母或忘记分母不为零的限制。3.6不等式的恒成立与有解问题能准确将“恒成立”与“有解”问题转化为函数最值问题，并求解参数范围。期中压轴题核心题型。易错点是混淆“恒成立”（求最值）与“有解”（求最值）的转化逻辑3.7一元二次不等式的实际应用能解决与利润、面积、升降趋势相关的实际问题。体现数学应用价值，是命题方向知识点01二次函数及其性质一元二次函数y=ax（1）函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是−b2a,4ac−（2）当a>0时，抛物线开口向上．在区间−∞,−b2a上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间−b2a,+∞上，函数值y随自变量x当a<0时，抛物线开口向下．在区间−∞,−b2a上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间−b2a,+∞上，函数值y随自变量x知识点02解一元二次不等式判别式ΔΔΔΔ二次函数y=ax一元二次方程ax有两个相异实根x1，x2（有两个相等实根x没有实根一元二次不等式axx|x<x1或x|x≠−R一元二次不等式axx|x∅∅写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件．（1）x∈R，ax2+bx+c>0a≠0恒成立的充要条件是a>0且（2）x∈R，ax2+bx+c≥0a≠0恒成立的充要条件是a>0且（3）x∈R，ax2+bx+c<0a≠0恒成立的充要条件是a<0且（4）x∈R，ax2+bx+c≤0a≠0恒成立的充要条件是a<0且知识点03解分式不等式①②③④知识点04解根式、高次不等式根式不等式可平方求解，高次不等式可用数轴穿根法求解.知识点05解指对数不等式（跨章节）指对数不等式结合单调性求解，特别注意底数对于函数单调性的影响及对数的真数大于0.题型一解不含参的一元二次不等式【典例1】解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】利用一元二次不等式的解法来求解即可.【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是．（2）不等式可化为，∴不等式的解集是．（3）不等式可化为，∴不等式的解集是．（4）不等式可化为，∴不等式的解集是或．【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】（1）由，得，解得，所以不等式的解集为；（2）由，得，即，解得或，所以不等式的解集为.【变式2】（24-25高一上·新疆·期中）解下列不等式：(1)(2)【答案】(1)或；(2).【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可．（2）利用一元二次不等式的解法求解即可．【详解】（1）方程的解为，，不等式可化为，∴或所以的解集为：或.（2）方程的解为，，∵不等式可化为，∴所以的解集为：.题型二一元二次不等式的解求参数问题【典例1】（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解.【详解】因为关于x的不等式的解集为，所以的两个根为1，2，所以由韦达定理有，解得，所以不等式，即不等式或.故选：A.【变式1】（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（

）A． B．不等式的解集为C． D．函数在上单调递增【答案】ACD【分析】利用三个二次的关系，将条件转化成方程的根的情况，判断的符号，利用韦达定理得到的数量关系，再根据选项一一判断或求解不等式即得.【详解】对于A，由题意，方程有两根为和2，且，故A正确；由韦达定理，即.对于B，由，即解得或，故B错误；对于C，因，且，故，故C正确；对于D，，因，故该函数在上单调递增，故D正确.故选：ACD.【变式2】（24-25高一上·湖南怀化·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集是，则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．不等式的解集是或【答案】AB【分析】A由解的形式可确定a的符号；B由不等式的解可确定方程的解，即可判断选项正误；C由不等式解集可判断符号；D由B结合韦达定理可得a与b，c间关系，即可判断选项正误.【详解】对于A，因，不等式解集为两根之间型，则，故A正确；对于B，由题的解为或，则，故B正确；对于C，因关于x的不等式的解集是，则当时，，故C错误；对于D，由B，结合韦达定理，，则，则的解集是或，故D错误.故选：AB题型三解分式不等式【典例1】（24-25高一上·广东茂名·期中）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用将分式不等式转化成整式不等式求解.【详解】，解得或∴不等式的解集为.故选：A.【变式1】（24-25高一上·吉林延边·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解分式不等式及绝对值不等式，根据解集的关系及充分、必要条件的定义计算即可.【详解】由，解之得或，记不等式的解对应集合，由或，解之得或，记不等式的解对应集合，显然A是B的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式化简集合，再根据并集运算即可求解.【详解】，，所以.故选:A.题型四解根式、高次不等式【典例1】关于的不等式的解集为.【答案】【分析】利用不等式的等价变形可得，再利用数轴标根法可求得不等式的解集.【详解】由，可得，所以方程的根为，由数轴标根法可得.故答案为：.【变式1】（24-25高一上·贵州·期中）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解根式不等式求集合，再由交运算求集合.【详解】由题设，又，所以.故选：C【变式2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将不等式化简得，将分式不等式转化成整式不等式即可解.【详解】由，得，所以，所以，即，解得或，故的取值范围为．故选：D．题型五解含参的一元二次不等式【典例1】（24-25高一上·福建南平·期中）设.(1)若，求不等式的解集；(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集；（2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集.【详解】（1）若，则由，解得，所以不等式的解集为.（2）不等式，即，当时，，解得；当时，则，解原不等式可得；当时，，解原不等式可得或；当时，原不等式即为，即恒成立；当时，，解原不等式可得或.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.【变式1】解关于的不等式.【答案】答案见解析【分析】由题意可知，可化为，再对进行分类讨论，比较根的大小，即可得答案.【详解】由题意可知，可化为（1）当时，不等式化为，解得，（2）当时，不等式化为，解得，（3）当时，不等式化为，解得或，（4）当时，不等式化为，解得，（5）当时，不等式化为，解得或，综上所述，时，不等式的解集为时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为;【变式2】（24-25高一上·山东淄博·期中）（1）求关于的不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】（1）令，先求出方程的根，然后分、、三种情况讨论不等式解的情况即可；（2）先考虑是否符合题意，再考虑时，二次函数开口向下，与轴有一个或者没有交点，从而得到方程组，解方程组即可.【详解】令，，整理有，解得或，当，即时，不等式的解集为或，当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为或；综上所述：时，不等式的解集为或，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为或.（2）当时，解得，若，原式化为，满足题意，若，原式化为，不合题意；当时，由题意得，解得，所以，综上所述，实数的取值范围为：.题型六一元二次不等式在区间上的恒成立与有解问题【典例1】（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知可知，要一元二次不等式对一切实数恒成立，则，解不等式组可得答案【详解】由已知可知，所以要一元二次不等式对一切实数恒成立，则，即，解得，所以的取值范围为.故选：A【变式1】（24-25高一上·湖南长沙·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分离参数，结合对勾函数单调性可求得参数范围.【详解】因为不等式对一切恒成立，所以在区间上恒成立，由对勾函数性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，，当时，，所以，故，故选：D.【变式2】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最值，可得答案.【详解】由题，，，即，即在上有解，设，则，，易知函数在上单调递增，在上单调递减，，则，所以.故选：B.题型七一元二次方程根的分布问题【典例1】（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解．【详解】设，则由题意可知，即，解得，故实数的取值范围是.故选：C．【变式1】（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（）A．或 B．C． D．或【答案】B【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围.【详解】设关于x的方程的两个根分别为,则由根与系数的关系，知所以由题意知，即，解得.故选：B【变式2】方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，由二次函数根的分布性质有，，，求得的取值范围.【详解】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内，另一根在区间（3，4）内，只需，即，解不等式组可得，即的取值范围为，故选：C.【点睛】本题考查了二次函数根的分布性质，属于中档题.题型八实际应用【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.(1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；(2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？(3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？【答案】(1)(2)单价定为元时利润最大，最大利润为元(3)【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案.（2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价.（3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值.【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点，所以，解得，所以，由解得.所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是.（2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售，则，则利润，其开口向下，对称轴为，所以当时，利润取得最大值为，所以当单价为元时，取得最大利润为元.（3）由（2）得利润，又该商品每天获得的利润不低于1280元，则，整理得，即，解得，销售量是减函数，所以当时，销售量最小，且最小值为件.【变式1】（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【答案】(1)40元；(2)至少应达到10.2万件，每件定价30元.【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值；（2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.【详解】（1）设每件定价为t元，依题意得，则，解得，所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元（2）依题意，时，不等式有解，等价于时，有解，因为（当且仅当时等号成立），所以，此时该商品的每件定价为30元，当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．【变式2】（24-25高一上·上海·期中）现要在阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：m）为x.

(1)已知阁楼屋顶为高2m，底边长5m的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）.（i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围；（ii）规定：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？(2)一般认为，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由.【答案】(1)（i）；（ii）当为米或米时，窗户面积最小，为平方米；(2)变好，理由见解析.【分析】（1）（i）应用表示出窗户面积，求解一元二次不等式即可；（ii）设地板面积为，则有，解不等式求窗户面积最小值并确定对应值即可；（2）设分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解.【详解】（1）（i）设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，所以，又矩形窗户面积，解得，故的取值范围为.（ii）设地板面积为，解不等式组，所以，即，解得，故窗户面积最小为，令，可得，解得或.故当为米或米时，窗户面积最小，为平方米.（2）设分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，则.因为，所以，即，所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了.期中基础通关练（测试时间：15分钟）一、单选题1．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由，可得，解得，所以不等式的解集为.故选：A.2．（24-25高一上·海南儋州·期中）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据判别式即可求解.【详解】不等式的解集为，则需满足，解得，故选：B3．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）不等式的解集为，则不等式的解集为（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果.【详解】依题意可知和3是方程的两个实数根，且；因此，解得；所以不等式可化为，即，解得或，即不等式的解集为故选：A4．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知可知，要一元二次不等式对一切实数恒成立，则，解不等式组可得答案【详解】由已知可知，所以要一元二次不等式对一切实数恒成立，则，即，解得，所以的取值范围为.故选：A二、多选题5．（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（）A． B．C． D．不等式的解集为【答案】BCD【分析】根据题设及图象有且，得，并结合一元二次不等式解法，判断各项正误.【详解】由题设及函数图象知：且，所以，则，，，A错，B、C对；，则，D对.故选：BCD三、填空题6．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为.【答案】【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案.【详解】由题意，在上有解，∴在上有解，即，其中，在中，，对称轴，∵，二次函数开口向上，∴函数在单调递减，在上单调递增，∴函数在上取最大值，，∴，故答案为：.四、解答题7．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)若函数的图象与x轴交于，两点，求的最小值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，即可求解；（2）利用韦达定理表示，再利用二次函数，即可求最值.【详解】（1）时，，解得或，原不等式的解集为或；（2）令，由得，故，，故，当时，取得最小值，最小值为.8．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）解关于的不等式.(1)；(2)；(3).【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析.【分析】（1）应用不含参的一元二次不等式解法求解集；（2）由分式不等式有，进而求解集；（3）由题设有，讨论大小求对应解集.【详解】（1），故解集为；（2），故解集为；（3），即，当，解集为；当，解集为；当，解集为.2.（2024七年级上·重庆期中）期中重难突破练（测试时间：30分钟）一、单选题9．（24-25高一上·江西赣州·期中）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．4【答案】B【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系求解.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以，，因为，所以，解得或1（舍去）.故选：B.10．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解．【详解】设，则由题意可知，即，解得，故实数的取值范围是.故选：C．11．（24-25高一上·江苏徐州·期中）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化简为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有3个整数解求出实数的取值范围.【详解】不等式可化为，当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；当时，原不等式等价于，其解集为，其解集中恰有3个整数解，所以，解得；当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；当时，原不等式等价于，其解集为，其解集中恰有3个整数解，所以，解得，综上所述，实数的取值范围是.故选：B.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍．二、多选题12．（24-25高一上·四川成都·期中）如图所示，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中不正确的是（

）A．B．C．时的解集为或D．方程有且仅有一个实数解【答案】BCD【分析】对于A，由对称轴可判断；对于B，由图象与轴交于，两点即可判断；对于C，由韦达定理得到，，代入即可解不等式；对于D，将函数式设成，取，由判别式判断.【详解】对于A，因为函数的对称轴为，所以，整理得.故A正确；对于B，因为二次函数图象与轴交于，两点，所以，故B错误；对于C，因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为，所以点的坐标为，所以和是方程的两根，所以，，所以，，所以可化为，由于，所以，解得.故C错误；对于D，由C可设，，当时，方程即为，所以，由于，此时方程有两个不等实数根，故D错误.故选：BCD三、解答题13．（24-25高一上·福建南平·期中）设.(1)若，求不等式的解集；(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集；（2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集.【详解】（1）若，则由，解得，所以不等式的解集为.（2）不等式，即，当时，，解得；当时，则，解原不等式可得；当时，，解原不等式可得或；当时，原不等式即为，即恒成立；当时，，解原不等式可得或.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.14．（24-25高一上·上海·期中）设函数.(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值；(2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；(3)解关于的不等式：.【答案】(1)2(2)：(3)答案见解析【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值；（2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集；（3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可.【详解】（1）由题意知，是方程的两个根，则，则.（2），则对于实数时恒成立，则，即，解得，∴则的取值范围为.（3）依题意，等价丁，当时，不等式可化为，解集为.当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为.当时，不等式化为，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为或；③当时，，不等式的解集为或；综上，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为.15．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数.(1)当时，解关于的不等式；(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可；（2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可.【详解】（1）由.得，所以，若，即，上式可化为：，解得；若，即，上式可化为：，解得；若，即，上式可化为：，因为，所以，所以，所以：或.综上可知：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.（2）不等式，即，所以，因为恒成立，所以：.问题转化为：存在，使得成立，所以，设，令，则，因为（当且仅当，即时取等号），所以，当且仅当时取等号.所以综上可知：的取值范围为.【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为