专题03 二次函数、一元二次不等式与其他常见不等式的解法及应用（期中复习讲义）（原卷版）高一数学上学期人教A版

3/3专题03二次函数、一元二次不等式与其他常见不等式的解法及应用（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律3.1二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、单调性）能根据解析式快速画出草图，并分析其在给定区间上的最值。所有二次问题的基础，必须熟练掌握。3.2一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）能利用韦达定理解决与两根相关的对称式求值问题。常与函数、不等式综合考查。3.3解一元二次不等式（不含参）能熟练运用“化正→求根→画图→写解集”的步骤求解。必考技能，解集的规范书写是易错点。3.4解含参数的一元二次不等式能根据二次项系数、判别式Δ、根的大小进行分类讨论。期中压轴题常见考点，对分类讨论思想要求高。3.5解分式不等式能通过移项、通分化为商的形式，再利用符号法则转化为整式不等式组求解。易错点是直接去分母或忘记分母不为零的限制。3.6不等式的恒成立与有解问题能准确将“恒成立”与“有解”问题转化为函数最值问题，并求解参数范围。期中压轴题核心题型。易错点是混淆“恒成立”（求最值）与“有解”（求最值）的转化逻辑3.7一元二次不等式的实际应用能解决与利润、面积、升降趋势相关的实际问题。体现数学应用价值，是命题方向知识点01二次函数及其性质一元二次函数y=ax（1）函数y=ax2+bx+c的图象是一条，顶点坐标是（2）当a>0时，抛物线开口向上．在区间−∞,−b2a上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间−b2a,+∞上，函数值当a<0时，抛物线开口向下．在区间−∞,−b2a上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间−b2a,+∞上，函数值知识点02解一元二次不等式判别式ΔΔΔΔ二次函数y=ax一元二次方程ax有两个相异实根x1，x2（有两个相等实根x没有实根一元二次不等式axx|x≠−一元二次不等式ax写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件．（1）x∈R，ax（2）x∈R，ax2+bx+c≥0（3）x∈R，ax（4）x∈R，ax知识点03解分式不等式①②③④知识点04解根式、高次不等式根式不等式可平方求解，高次不等式可用数轴穿根法求解.知识点05解指对数不等式（跨章节）指对数不等式结合单调性求解，特别注意底数对于函数单调性的影响及对数的真数大于0.题型一解不含参的一元二次不等式【典例1】解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式(1)(2)【变式2】（24-25高一上·新疆·期中）解下列不等式：(1)(2)题型二一元二次不等式的解求参数问题【典例1】（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（

）A． B．不等式的解集为C． D．函数在上单调递增【变式2】（24-25高一上·湖南怀化·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集是，则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．不等式的解集是或题型三解分式不等式【典例1】（24-25高一上·广东茂名·期中）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高一上·吉林延边·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）若集合，，则（

）A． B． C． D．题型四解根式、高次不等式【典例1】关于的不等式的解集为.【变式1】（24-25高一上·贵州·期中）设集合，，则（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知，则的取值范围为（

）A． B．C． D．题型五解含参的一元二次不等式【典例1】（24-25高一上·福建南平·期中）设.(1)若，求不等式的解集；(2)解关于的不等式.【变式1】解关于的不等式.【变式2】（24-25高一上·山东淄博·期中）（1）求关于的不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．题型六一元二次不等式在区间上的恒成立与有解问题【典例1】（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高一上·湖南长沙·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型七一元二次方程根的分布问题【典例1】（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．【变式1】（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（）A．或 B．C． D．或【变式2】方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型八实际应用【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.(1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；(2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？(3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？【变式1】（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【变式2】（24-25高一上·上海·期中）现要在阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：m）为x.

(1)已知阁楼屋顶为高2m，底边长5m的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）.（i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围；（ii）规定：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？(2)一般认为，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由.期中基础通关练（测试时间：15分钟）一、单选题1．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或2．（24-25高一上·海南儋州·期中）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）不等式的解集为，则不等式的解集为（

）．A． B．C． D．4．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题5．（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（）A． B．C． D．不等式的解集为三、填空题6．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为.四、解答题7．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)若函数的图象与x轴交于，两点，求的最小值.8．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）解关于的不等式.(1)；(2)；(3).2.（2024七年级上·重庆期中）期中重难突破练（测试时间：30分钟）一、单选题9．（24-25高一上·江西赣州·期中）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．410．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．11．（24-25高一上·江苏徐州·期中）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题12．（24-25高一上·四川成都·期中）如图所示，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中不正确的是（

）A．B．C．时的解集为或D．方程有且仅有一个实数解三、解答题13．（24-25高一上·福建南平·期中）设.(1)若，求不等式的解集；(2)解关于的不等式.14．（24-25高一上·上海·期中）设函数.(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值；(2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；(3)解关于的不等式：.15．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数.(1)当时，解关于的不等式；(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.16．（24-25高一上·河南南阳·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？(2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能