广东省江门市蓬江区第九中学2024-2025学年九年级上学期数学期中卷（含答案）

第第页广东省江门市蓬江区第九中学2024-2025学年九年级上学期数学期中卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定3．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+94．若关于x的一元二次方程(m−2)x2+2x+A．2 B．−2 C．±2 D．±45．如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）A．40° B．30° C．20° D．15°6．关于抛物线y=(x−1)A．抛物线开口向上 B．对称轴为直线x=1C．顶点坐标是(1,−2) D．当x>1时，y随x的增大而减小7．将抛物线y=3A．y=3(xC．y=3(x8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560(1+x)C．560(1−2x)9．如图所示，已知⊙O的内接正四边形ABCD，则∠AEB的度数是（）A．45° B．60° C．60°或120° D．135°10．在同一直角坐标系中，一次函数y=−ax+b与二次函数y=axA． B．C． D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出红球的概率是.12．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是．13．方程(x-1)2=2514．将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若AB=2，将三角板绕原点O逆时针旋转60°，则点A的对应点A'的坐标为15．抛物线y=ax2的图象经过点A(3,−3)，这个函数的解析式为16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2经过平移后得到抛物线三、解答题（一）（本大题共3题，每题6分，共18分）17．解方程：（1）x2（2）xx−318．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A2,−4（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A（2）在（1）的条件下，求点B到B219．如图，圆形油槽装入油后，油深CD为16cm，油面宽度AB为48四、解答题（二）（本大题共6题，共54分）20．如图，花圃基地要用一段长为40米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．（1）若矩形ABCD的面积为182平方米，求矩形的边AB的长．（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．（1）若∠B=28°，求∠ACD的度数；（2）若D是AB的中点，AB=2，求阴影部分的面积；22．某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了促进情售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可以售出2件，设每件商品降价x元，据此规律，请回答：（1）降价后，每件商品盈利______元，日销售______件．（用含x的代数式表示）（2）在上述条件不变的情况下，要更大程度地让利顾客，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？23．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA．（1）求证：EA与⊙O相切；（2）若CE=3，CF=2，求⊙O的半径．24．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG（1）判断线段DE、（2）连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．25．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上运动到什么位置时，满足S△PAB（3）点Q是直线BC下方抛物线上一点，当Q运动到什么位置，△BCQ的面积最大，求出面积的最大值和此时点Q的坐标．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故答案为：A．

【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．2．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意可得：⊙O的半径为r=5，点P到圆心O的距离为d=3∵3.∴d<r，∴点P在⊙O故答案为：C.

【分析】根据⊙O的半径r和点P到圆心的距离d的大小关系判定．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d>r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内3．【答案】D【解析】【解答】解：x2﹣6x﹣4=0，移项，得x2﹣6x=4，配方，得（x﹣3）2=4+9．故选：D．【分析】根据配方法，可得方程的解．4．【答案】B【解析】【解答】解：把x=0代入(m−2)xm2解得：m=±2，∵方程(m−2)x2+2x+m2∴m≠2，∴m=−2．故答案为：B．

【分析】由题意，把x=0代入关于x的方程(m−2)x5．【答案】C【解析】【解答】解：如图：连接OC、BD，∵在⊙O中，∠AOB=40°，∴∠ADB=12∵AB=AC，∴∠AOC=∠ADB=20°．故答案为：C．【分析】连接OC、OD，根据∠AOB=40°，可得∠ADB＝20°，然后再根据AB=AC，可得∠AOC=∠ADB=20°，即可求解．6．【答案】D【解析】【解答】解：∵抛物线y=(x−1)∴顶点坐标是(1,−2)，对称轴是直线x=1，根据a=1>0，得出开口向上，当x>1时，y随x的增大而增大，∴A、B、C说法正确；D说法错误；故答案为：D．【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是(1,−2)，对称轴是直线x=1，根据a=1>0，得出开口向上，当x>1时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项.7．【答案】B【解析】【解答】解：将抛物线y=3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为y=3（x+1）2+2.

故答案为：B

【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax28．【答案】D【解析】【解答】解：设每次降价的百分率为x，则560故答案为：D.

【分析】设每次降价的百分率为x，根据题意直接列出方程560(1−x)9．【答案】D【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、DO，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB=90°，D,O,B三点共线，∴∠ADB=1∵D,A,E,B四点共圆，点E在劣弧AB上，∴∠AEB=180°−∠ADB=135°，故答案为：D．【分析】连接OA、OB、OD，由ABCD为正四边形，得∠AOB=90°，再根据D,A,E,B四点共圆，∠AEB=180°−∠ADB，即可求解．10．【答案】D【解析】【解答】解：A．由抛物线的图象可知，a<0，−b>0，即a<0,b<0，由直线可知，−a>0，b>0，即B．由抛物线的图象可知，a<0，−b>0，即a<0,b<0，由直线可知，−a<0，b>0，即C．由抛物线的图象可知，a>0，-b<0，即a>0,b>0，由直线可知，−a<0，b<0，即D．由抛物线的图象可知，a>0，-b<0，即a>0,b>0，由直线可知，−a<0，b>0，即故答案为：D．

【分析】本题可先由一次函数y=−ax＋b图象得到字母系数a、b的正负，再与二次函数11．【答案】3【解析】【解答】解：根据题意得，摸出红球的概率=33+2=3故答案为：35【分析】直接利用概率公式计算即可.12．【答案】（-2，1）【解析】【解答】解：点（2，-1）关于原点对称的点的坐标是（-2，1）．

【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征求解即可。13．【答案】x1=6【解析】【解答】解：两边直接开平方得：x-1=±5，则x-1=5，x-1=-5，解得：x1=6，x2=-4，故答案为：x1=6，x2=-4．【分析】首先两边直接开平方可得x-1=±5，再解一元一次方程即可．14．【答案】0,2【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°∴OB=2AB=4，∴OA=OB2−AB2=2由旋转的性质可得∠A∴∠A∴点A'∴点A'的坐标为0,2故答案为：0,23【分析】根据题意可知△OAB为含有30°角的直角三角板且∠AOB=30°，据此由AB的值可得OB，OA，再由旋转可得∠A'OA=60°，O15．【答案】y=−【解析】【解答】解：把点A(3,−3)代入y=ax得−3=a×3解得a=−1∴该函数的解析式为y=−1故答案为：y=−13x2．

【分析】把点A(3,−3)代入二次函数16．【答案】4【解析】【解答】解：如图，

∵y=12∴平移后抛物线的顶点坐标为(2,−2)，对称轴为直线x=2，当x=2时，y=1∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，∴S阴影=12故答案为：4．【分析】先将抛物线的解析式配成顶点式，则可得抛物线y=117．【答案】（1）解：x2x2x−5x+1∴x−5=0或x+1=0，∴x1（2）解：xx−3xx−3x+1∴x−3=0或x+1=0，∴x1【解析】【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．（1）解：x2x2x−5x+1∴x−5=0或x+1=0，∴x1=5（2）解：xx−3xx−3x+1∴x−3=0或x+1=0，∴x1=318．【答案】（1）解：如图所示，△A2B（2）∵B4,−4，

∴OB=4−02+−4−02=42，

由旋转的性质可得【解析】【分析】（1）分别连接OA、OB、OC，再作OC2⊥OC、OB2⊥OB、OA2⊥OA，且长度两两相等，即可找到A、B、C对应点A2、B（2）由B点坐标可求出OB=42，根据逆时针旋转90°可得∠BO（1）解：如图所示，△A（2）解：∵B4,−4∴OB=4−0由旋转的性质可得OB∴点B到B2经过的路径长为90π×419．【答案】解：如图，连接OA，

，

则OC⊥AB，且点D为AB的中点，

∵油面宽度AB为48cm，

∴AD=12AB=24cm，

设OA=rcm，

∵油深CD为16cm，

∴OD=OC−CD=r−16cm，

∴OD2+AD2=AO【解析】【分析】连接OA，由垂径定理可得OC⊥AB，且点D为AB的中点，则AD=12AB=24cm，设OA=rcm，根据油深CD为16cm，则OD=OC−CD=r−1620．【答案】（1）解：BC长为x米，则AB长为40−x2米，

x(40−x2)=182，

解得：x1=14，x2=26（不符合题意，舍去）

∴AB（2）解：设矩形的面积为S平方米，BC长为x米，则

S=x(40−x2)

=−12(x2−40x+400−400)

=−12(x−20)2+200，

∵0<x≤16，且−【解析】【分析】（1）设矩形的BC长为x米，则AB长为40−x2米，再由面积为182平方米可得x(（2）设矩形的面积为S平方米，BC长为x米，AB长为40−x2（1）解：BC长为x米，则AB长为40−x2x(40−x解得：x1∴AB长为40−x2答：矩形的边AB的长为13米．（2）解：设矩形的面积为S平方米，BC长为x米，则S=x(=−=−1∵0<x≤16，且−1∴当x=16时，S有最大值，即当AB边的长应为12米时，面积最大值为192平方米．21．【答案】（1）解：连接CD，如图，

∵∠ACB=90°,∠B=28°，∴∠DAC=180°−90°−28°=62°，∵CD=CA，∴∠CDA=∠DAC=62°，∴∠ACD=180°−62°−62°=56°（2）解：∵D是AB的中点，且AB=2，∴CD=AD=BD=1∵CD=CA，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD=60°，∴阴影部分的面积为S=【解析】【分析】（1）连接CD，根据∠ACB=90°,∠B=28°，求出∠BAC，由CD=CA得到∠CDA=∠CAD，进而可得∠ACD；（2）由D是AB的中点，AB=2，可得CD=AD=BD=12AB，又由CD=CA，得到△ACD（1）解：连接CD，如图，∵∠ACB=90°,∠B=28°，∴∠DAC=180°−90°−28°=62°，∵CD=CA，∴∠CDA=∠DAC=62°，∴∠ACD=180°−62°−62°=56°，（2）∵D是AB的中点，且AB=2，∴CD=AD=BD=1∵CD=CA，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD=60°，∴阴影部分的面积为S=60×22．【答案】（1）50−x；30+2x（2）解：由题意得，50−x30+2x=2100，

整理得：x2−35x+300=0，

解得x=15或x=20，

∵要更大程度地让利顾客，

∴【解析】【解答】解：（1）设每件商品降价x元，则降价后每件商品盈利50−x元，日销售30+2x件，故答案为：50−x；30+2x；【分析】（1）设每件商品降价x元，则降价后每件商品盈利50−x元，根据每件商品每降价1元，商场平均每天可以售出2件再加上原来的每天销售的30件即可求出日销售量；（2）用单件利润乘以销售量得出利润，根据题意列出方程求解即可．（1）解：由题意得，降价后，每件商品盈利50−x元，日销售30+2x件，故答案为：50−x；30+2x；（2）解：由题意得，50−x30+2x整理得：x2解得x=15或x=20，∵要更大程度地让利顾客，∴x=20，答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元．23．【答案】（1）证明：如图，连接OC，∵EF是⊙O的切线，∴∠OCE=90°，∵D为AC的中点，OC=OA，∴OE⊥AC，则OE垂直平分AC，∴CE=AE，∵OC=OA，OE=OE，∴△OCE≌△OAESSS∴∠OAE=∠OCE=90°，∴EA与⊙O相切（2）解：∵CE=3，CF=2，∴EF=5，由（1）可知CE=AE=3，∠OAE=90°，∴AF=E设OA=OC=x，∵S∴1∴1解得x=3故⊙O的半径为3【解析】【分析】（1）连接OC，根据C为⊙O上一点，D为AC的中点可得OE⊥AC，再由D为AC的中点，OC=OA，可得OE⊥AC，CE=AE，证明△OCE≌△OAE，利用全等三角形的性质可得∠OAE=90°即可；（2）由CE=3，CF=2，得到EF=5，再由CE=AE=3，∠OAE=90°，可得AF=4，设OA=OC=x，再根据等面积法列12（1）证明：如图，连接OC，∵EF是⊙O的切线，∴∠OCE=90°，∵D为AC的中点，OC=OA，∴OE⊥AC，则OE垂直平分AC，∴CE=AE，∵OC=OA，OE=OE，∴△OCE≌△OAESSS∴∠OAE=∠OCE=90°，∴EA与⊙O相切；（2）解：∵CE=3，CF=2，∴EF=5，由（1）可知CE=AE=3，∠OAE=90°，∴AF=E设OA=OC=x，∵S∴1∴1解得x=3故⊙O的半径为3224．【答案】（1）结论：FG⊥ED．

理由如下：

∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，

∴∠DEB=∠ACB，

∵把△ABC沿射线平移至△FEG，

∴∠GFE=∠A，

∵∠ABC=90°，

∴∠A+∠ACB=90°，

∴∠DEB+∠GFE=90°，

∴∠FHE=90°，

∴FG⊥ED（2）根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，

∵CG∥EB，

∴∠BCG=∠CBE=90°，

∴∠BCG=∠GEF=∠CBE=90°，

∴四边形【解析】【分析】（1）根据题意可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再由∠ABC=90°，可知∠A+∠ACB=90°，进而可得∠DEB+∠GFE=90°，从而可知∠FHE=90°，据此可得出结论；（2）根据题意可得BE=CB，CG∥BE，可得∠BCG=∠CBE=90°，∠BCG=∠GEF=∠CBE=90°，从而可证明四边形CBEG是矩形，再结合（1）FG⊥ED．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，∴∠DEB=∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠DEB+∠GFE=90°，∴∠FHE=90°，∴FG⊥ED；（2）根据旋转和平移可得∠GEF=90°∵CG∥∴∠BCG=∠CBE=90°，∴∠BCG=∠GEF=∠CBE=90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB=BE，∴四边形CBEG是正方形．25．【答案】（1）解：把点A−1,