（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练6.2.3 向量的数乘运算 精讲（原卷版）

6.2.3向量的数乘运算(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:几何图形中用已知向量表示未知向量题型2：向量共线的判定题型3：利用向量共线证明线线平行题型4：利用向量共线定理判断三点共线题型5：利用向量共线定理求参数三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：向量的数乘（1）向量数乘的定义一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：①②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.（2）向量数乘的几何意义对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍．实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义．（3）向量数乘的运算律实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则：①结合律：②第一分配律：③第二分配律：知识点2：向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有.知识点3：向量共线定理（1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.（2）向量共线定理的注意问题：①定理的运用过程中要特别注意．特别地，若，实数仍存在，但不唯一．②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系．③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可．二、重点题型分类研究题型1:几何图形中用已知向量表示未知向量典型例题例题1．如图，在正方形中，点是的中点，点满足，那么A． B．C． D．例题2．在中，，，，为的中点，则等于（

）A． B． C． D．例题3．（多选）在等边三角形中，与交于点,则下列结论中正确的是（

）A． B． C．D．同类题型演练1．如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点，则（

）A． B．C． D．2．在中，设，，又，，则（

）A． B． C． D．3．在中，P为AB上的一点，且，，则（

）A．， B．，C．， D．，题型2：向量共线的判定典型例题例题1．对于非零向量、，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例题2．已知、、均为非零向量，且，，则（

）A．与垂直 B．与同向 C．与反向 D．与反向同类题型演练1．已知，，求证：与共线．题型3：利用向量共线证明线线平行典型例题例题1．已知在四边形ABCD中，＝＋2，＝－4－，＝－5－3，求证：四边形为梯形．例题2．如图，已知四边形的两条对角线相交于点，.用平面向量证明四边形是平行四边形.同类题型演练1．在中，已知.用平面向量证明且.题型4：利用向量共线定理判断三点共线典型例题例题1．已知向量，不共线，若，，，则（

）A．，，三点共线 B．，，三点共线C．，，三点共线 D．，，三点共线例题2．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A． B． C． D．例题3．已知，为不共线的向量，且，，则（

）A．共线 B．共线 C．共线 D．共线同类题型演练1．已知，则下列结论中成立的是（

）A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线2．已知，则共线的三点为（

）A． B． C． D．题型5：利用向量共线定理求参数典型例题例题1．已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（

）A．2 B． C． D．例题2．已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（

）A． B．0 C．1 D．2例题3．设、是两个不共线的向量，已知，若、、三点共线，求的值为__________．例题4．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则＝_______同类题型演练1．已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数λ的值为（）A．1 B．C．1或 D．或2．已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（

）A． B．C． D．3．已知向量与不共线，且，．若A、B、C三点共线，则实数，满足的条件为(

)A． B． C． D．4．设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________.5．已知向量与不共线，且与共线，则___________．6．设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则k＝________.三、高考（模拟）题体验1．在中，点为边上一点，，若，则（

）A．3 B．2 C．1 D．2．已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（

）A．7 B．6 C．3 D．23．梯形中，，设，，则（

）A． B．C． D．4．设，为所在平面内