（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练6.2.4 向量的数量积（精练）（解析版）

6.2.4向量的数量积（精练）一、单选题1．已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】根据向量乘积的几何意义则表示与在上投影数量的乘积，同理表示与在上投影数量的乘积，画图为：在的投影都为，但是所以充分性不成立.若，则成立,即必要性成立，所以B正确.故选：B．2．已知，，，则等于（

）A．12 B．28 C． D．【答案】C【详解】，故.故选：C3．已知向量，满足，且，则，夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意，在向量，中，，解得：∴故选：C.4．已知向量，满足，且与的夹角为，则（

）A．6 B．8 C．10 D．14【答案】B【详解】由，且与的夹角为，所以.故选：B.5．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一，在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点（如图2），若点P在的中点，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【详解】如图，因为点P在的中点，取的中点为，则有，则.故选:D.6．已知中，，设点M，N满足，，若，则（

）A．2 B．3 C．2或3 D．或3【答案】D【详解】,,所以,即解得：或.故选：D7．已知，，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，所以.因为，所以故在上的投影向量为故选：B8．在平面四边形中，，，，，.若，则（

）A．2 B． C．4 D．6【答案】D【详解】因为，③③式同乘以，得：，即，即①.③式同乘以，得：，即，即②.①②联立解得：，所以.故选：D二、多选题9．在单位圆中，是圆上的动点（可重合），则下列结论一定成立的有（

）A．B．在上的投影向量可能为C．D．若，则【答案】BC【详解】对选项A，，故A错误.对选项B，在上的投影向量为，若，则，即所成角为.所以当所成角为时，在上的投影向量为，故B正确.对选项C，，因为是单位圆上的动点（可重合），所以，所以，故C正确.对选项D，因为，所以，所以，故D错误.故选：BC10．把一条线段分为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值是无理数，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比､黄金分割不仅仅体现在诸如绘画､雕塑､音乐､建筑等艺术领域，而且在管理､工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在中，点为线段的黄金分割点，点为的中点，点为线段上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（

）A．B．C．在上的投影向量为D．的取值范围是【答案】BCD【详解】如图，，则有，，故A错，B对；由于为中点，故，，故，在上的投影向量为，故C对；，明显可见，当时，取最小值，当与重合时有最大值，故，可得D对；故选：BCD三、填空题11．在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为____________.【答案】【详解】解:由题知在方向上的数量投影是-2,,,,即,记,则,若求的最小值即求的最小值,过点作的垂线交于点,此时最小,如图所示:,故答案为:12．下列结论中正确的有________．①“与共线”是“存在实数使”的必要非充分条件②；③或；④；⑤，其中；⑥若，则为钝角；【答案】①⑤【详解】对于①，当时，与共线，不存在实数使，反之，存在实数使，则与共线，因此“与共线”是“存在实数使”的必要非充分条件，①正确；对于②，当时，，而为非零向量，，②不正确；对于③，当时，，此时均为非零向量，③不正确；对于④，是与共线的向量，是与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等，④不正确；对于⑤，由平面向量数量积的运算律知，，成立，⑤正确；对于⑥，当时，，因此当时，可能为，⑥不正确，所以结论中正确的有①⑤.故答案为：①⑤四、解答题13．已知，，．(1)求；(2)求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以，即，即，又，所以（2）14．如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点．(1)若是线段的中点，，求的值；(2)若，，求解.【答案】(1)；(2)4.【详解】（1）因为点在边上，且，所以，因为是线段的中点，所以，因为，不共线，所以，所以；（2）由题意可得，，因为，所以，所以，所以，因为，，所以，得，所以.B能力提升15．如图，在中，为线段上的一个动点（不含端点），且满足.(1)若，用向量表示；(2)若，且，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以，当时，.（2）由（1）可知，所以因为，，所以，因为，所以，所以，即的取值范围为.16．设两个向量满足，.(1)若，求的夹角；(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由，得,又,所以，所以，又因为,所以的夹角为；（2）解：由已知得，则，因为向量与的夹角为钝角,所以,解得，设,则,无解,故两个向量的夹角不可能为,所以向量与的夹角为钝角时,的取值范围为.C综合素养17．已知向量，，且，且，(1)若与夹角，求；(2)记，是否存在实数，使，对任意恒成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)1(2)存在，【详解】（1）∵，∴，∴，即，得.（2）由（1）中，且对恒成立，则有：，令，由函数的单调性可知：，即，解得，即.18．已知向量，满足，，．(1)求向量和的夹角；(2)设向量，，是否存在