（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练7.3.1 复数的三角表示式 精讲（解析版）

7.3.1复数的三角表示式(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:复数三角形式的判断和变形题型2：复数的辐角的主值题型3：复数的代数形式转为三角形式题型4：复数三角形式化为代数形式三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值（1）复数的三角形式一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.注意：复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连”（2）复数的俯角任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作，即.知识点2：复数代数形式和三角形式的互化复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.复数的代数形式化三角形式的步骤:①先求复数的模；②决定辐角所在的象限；③根据象限求出辐角(常取它的主值)；④写出复数的三角形式．知识点3：三角形式下复数的相等两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．二、重点题型分类研究题型1:复数三角形式的判断和变形典型例题例题1．复数化成三角形式，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：设复数的模为，则，，所以复数的三角形式为．故选：A.例题2．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)是三角形式．(2)不是三角形式，(3)不是三角形式，z3＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．(1)解：符合三角形式的结构特征，是三角形式．(2)解：由“加号连”知，不是三角形式．，模，.复数对应的点在第三象限，所以取，所以；(3)解：由“模非负”知，不是三角形式．复平面上的点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．所以z3＝－2(cosθ＋isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．同类题型演练1．若，则的三角形式为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，辐角主值为，则其三角形式为.故选：C.2．下列各式中已表示成三角形式的复数是（

）.A． B．C． D．【答案】B【详解】复数的三角表示为：，其中，B选项满足.故选：B.题型2：复数的辐角的主值典型例题例题1．已知复数，若复数满足，则复数的辐角主值为___________.【答案】##【详解】解：因为，，所以，所以复数z的辐角主值为.故答案为：.例题2．若，，，则______.【答案】【详解】∵z1·z2·z3＝(1－2i)(1＋i)(－1＋3i)＝(3－i)(－1＋3i)＝10i，∴argz1＋argz2＋argz3＝＋2kπ，k∈Z.∵argz1∈，argz2∈，argz3∈，∴argz1＋argz2＋argz3∈.∴argz1＋argz2＋argz3＝.故答案为：例题3．求复数的模与辐角．【详解】，，故．由此可知，这个复数的模为2，辐角为．例题4．已知.(1)当为何值时，取得最大值，并求此最大值；(2)若，求(用表示).【答案】(1)当时，取最大值为2，(2).(1)由复数模的定义可得：，显然当时最大，即，最大值为；(2)设，实部为，虚部为，，∴当即时，，此时复数z对应的点在第四象限，，，当即，，此时复数z对应的点在第一象限（或x轴的非负半轴上），，∴，∴；综上，当时，最大，最大值为，.同类题型演练1．若复数（为虚数单位），则___________.【答案】【详解】因为复数，其实部和虚部分别为，且在第二象限故幅角的正切值，由于，则，故答案为：2．已知，则的辐角主值为________．【答案】【详解】，的辐角主值为.故答案为：.3．复数的辐角主值为________.【答案】【详解】因为,所以所以,所以复数z的辐角主值为.故答案为：4．把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.【答案】,【详解】由复数乘法的几何意义得,又的辐角主值为题型3：复数的代数形式转为三角形式典型例题例题1．复数的三角形式为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：复数在复平面内所对应的点为位于第四象限，则，，所以，即所以．故选：D例题2．复数的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：故选：C.例题3．复数的三角形式为___________．【答案】【详解】.故答案为：.例题4．把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．(1)6；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，图见详解(2)，图见详解(3)，图见详解(4)，图见详解【详解】（1）设复数的模为，辐角主值为．6对应的向量如下图中，∵，，，又，∴，∴．（2）设复数的模为，辐角主值为．对应的向量如下图中，∵，，，又，∴，∴．（3）设复数的模为，辐角主值为．对应的向量如下图中，∵，，，又，∴，∴．（4）设复数的模为，辐角主值为．对应的向量如下图中，∵，，，又，∴，∴．同类题型演练1．若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】复数的模为1，辐角为，所以复数的三角形式为.故选：A2．已知的三角形式为，则的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题知，的三角形式是，结合诱导公式知，，故选：B3．以下不是复数的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】解：，所以B正确，而，故C正确.故选：AD4．将下列复数化为三角形式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)（1）（2）（3）（4）.题型4：复数三角形式化为代数形式典型例题例题1．设(其中为虚数单位)，则的共轭复数是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为所以所以的共轭复数是，故选：C例题2．分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．（1）4；（2）2【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【详解】（1）复数4模r＝4，辐角的主值为θ＝..（2），复数的模为2，辐角的主值为θ＝，.同类题型演练1．已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（

）A． B．C．－i D．＋i【答案】D【详解】故选:D.2．将复数z＝化为代数形式为________．【答案】1－i【详解】z＝．故答案为：1－i3．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【答案】【详解】与所得向量对应的复数为=.三、高考（模拟）题体验1．棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】解：由己知得，复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．2．（多选）已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】因为单位向量分别对应复数，设复数，，因为，所以，即，所以，故选：AD.3．（多选）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家