（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.5.2 直线与平面平行 （精练）（解析版）

8.5.2直线与平面平行（精练）一、单选题1．如果直线平面，那么直线与平面内的（

）A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交【答案】D【详解】由线面平行定义知：直线与平面无交点，直线与平面内的任意一条直线不相交.故选：D.2．设，，为不同的直线，，，为不同的平面，则下列结论中正确的有（

）①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，则．A．①③ B．②④ C．②③ D．②【答案】A【详解】由平行的传递性知①正确；若，，可能平行，也可能相交或异面，②错误；由线面平行的性质知③正确；若，，则或，④错误.故选：A.3．在空间四边形中，分别在上，且满足，则直线与平面的位置关系是（

）A．平面 B．平面C．与平面相交 D．以上都有可能【答案】A【详解】∵∴又∵，.∴平面.故选：A4．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（

）①平面PBC

②平面PCD

③平面PDA④平面PBAA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】对于①，平面，故①错误；对于②，由于为的中点，为的中点，则，平面，平面，则平面，故②正确；对于③，由于，平面，平面，则平面，故③正确；对于④，由于平面，故④错误．故选：B5．若，是空间中两条不相交的直线，则过且平行于的平面（

）A．有且仅有一个 B．有一个或无数个 C．至多有一个 D．有无数个【答案】B【详解】∵，是空间中两条不相交的直线，∴，只可能平行或者异面．当，平行时，则过直线且平行于直线的平面有无数个；当，异面时，如图，在上取一点O，过O作，则,确定平面，∴，此时过直线且平行于直线的平面有且只有一个．故选：B．6．如图，在正方形中，M，N分别是，的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是（

）．A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定【答案】B【详解】连接交于，连接，而M，N分别是，的中点，所以，即，且，即，则为平行四边形，故，由面，面，则面.故选：B7．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，有下列四个结论：①与是异面直线；②，，相交于一点；③；④平面．其中所有正确结论的编号是（

）A．①④ B．②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【详解】对于①，因为，，所以，又，所以与是相交直线，则①不正确；对于②，设，面面，面面，所以平面，平面，又面面，所以，，相交于一点，②正确；对于③，令，连接，因为，分别是，的中点，所以，，则为平行四边形，所以，而，所以③不正确；对于④，因为平面，平面，所以平面，④正确．综上所述，②④正确，故选：B．8．如图，在棱长为的正方体中，M､N､P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则下列选项中错误的是（

）A．存在点Q，使B､N､P､Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBNC．三棱锥P-MBN的体积为 D．经过C､M､B､N四点的球的表面积为.【答案】C【详解】如图，在正方体中，连接，，因为N，P分别是，的中点，所以，又因为，所以，所以，B，N，P四点共面，即当Q与重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；连接PQ，，当Q是的中点时，因为，，所以，因为平面BMN，平面BMN，所以平面BMN，故选项B正确；连接，，，，由与平行且相等（都与平行且相等）得是平行四边形，，又分别是正方形的边的中点，则，所以，所以，故选项C错误；分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球，设所求外接球的直径为2R，则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径，即，所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故选项D正确.故选：C二、多选题9．如图，长方体被平面BCFE截成两个几何体，其中E，F分别在和上，且，则以下结论正确的是（

）A． B．平面C．几何体为棱台 D．几何体为棱柱【答案】ABD【详解】由及，得，则A正确；由，平面，平面，得平面，则B正确；以两个平行的平面和为底面，其余四面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则C错误（由于延长后不交于一点，则几何体不为棱台）；以两个平行的平面和为底面，其余三面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都平行，符合棱柱的定义，则D正确，故选：ABD10．在底面边长为2、高为4的正四棱柱中，为棱上一点，且分别为线段上的动点，为底面的中心，为线段的中点，则下列命题正确的是（

）A．与共面B．三棱锥的体积为C．的最小值为D．当时，过三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为【答案】ACD【详解】对于A，如图1，在中，因为为的中点，所以，所以与共面，所以A正确；对于B，由，因为到平面的距离为定值2，且的面积为1，所以三棱锥的体积为，所以B错误；对于C，如图2，展开平面，使点共面，过作，交与点，交与点，则此时最小，易求的最小值为，则C正确；对于D，如图3，取，连接，则，又，所以，所以共面，即过三点的正四棱柱的截面为，由，则是等腰梯形，且，所以平面截正四棱柱所得截面的周长为，所以D正确.故选:ACD.三、填空题11．如图，E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AC＝6，BD＝4，则当＝_____时，四边形EFGH为菱形．【答案】【详解】解：∵E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AC＝6，BD＝4，∴当＝＝＝时，EH∥BD∥FG，EF∥AC∥GH，且EH＝GF＝BD＝，EF＝GH＝＝，∴当＝时，四边形EFGH为菱形．故答案为：．12．正方体的棱长为1，E、F、G分别为的中点，有下述四个结论，其中正确的结论是___________.①点C与点B到平面的距离相等；②直线与平面平行；③平面截正方体所得的截面面积为；④直线与直线所成的角的余弦值为.【答案】①②③【详解】对于①：假设C与B到平面AEF的距离相等，即平面AEF将BC平分，则平面AEF必过BC的中点.由E是BC的中点，所以C与B到平面AEF的距离相等.故①正确对于②：如图所示.取的中点Q，连接、、QE.因为，且，所以四边形为平行四边形，所以∥AE.因为面AEF，面AEF，所以面AEF.同理可证：面AEF.因为，面，面，所以平面∥平面AEF.又因为平面，所以∥平面AEF.故②正确；对于③：连接，延长，AE交于点S.因为E，F分别为BC，C1C的中点，所以EF∥AD1，所以A、E、F、D1四点共面，所以截面即为梯形AEFD1.因为CF=CE，所以，即，所以FS=ES又D1F=AE，所以即，，所以等腰△的高，梯形的高为，所以梯形的面积为.故③正确对于④：因为，所以直线与直线EF所成的角即为所求.在三角形中，，由余弦定理得，.所以直线与直线EF所成的角的余弦值为.故④错误.故答案为：①②③四、解答题13．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，连接交于点，再连接,在中，为中点，为的中，所以,且平面，平面,所以平面.（2）因为该几何体为正方体，所以点到平面的距离等于，所以点到平面的距离等于，根据等体积法可知.14．在四棱台中，底面ABCD是正方形，且侧棱垂直于底面ABCD，，O，E分别是AC与的中点．(1)求证：平面．(2)求四面体的体积．【答案】(1)证明见解析；(2).（1）连接BD，易知：BD与AC交于点O且O是BD的中点，又E是的中点，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因为，，，所以平面，则，故四面体的体积为．15．如图，四棱锥中，，，点为上一点，为，且平面.(1)若平面与平面的交线为，求证：平面；(2)求证：.【详解】（1）∵，平面平面，∴平面.∵平面，平面平面，∴.∵平面平面，

∴平面.（2）连接，设，，连接，∵平面平面，平面平面，∴，∵，，所以，∴，∴点是的重心，∴点是的中点，∴，∴，∴.B能力提升16．如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上一动点.(1)试确定点位置，使得平面；(2)求点到平面距离的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）当在中点处时，平面.证明如下：取中点，连接，.因为是中点，所有且，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）设点到平面距离为.在中，，，在中，.又平面，，∴点到平面的的距离为..即，∴.取中点E，连接PE.，当点P为中点时，PE为异面直线与的公垂线段.∴.∴.所以，点到平面的距离的最大值为.17．在正方体中，为的中点，为棱上一点，平面交棱于点，交棱于点.(1)若，求；(2)若，求证：平面.【答案】(1)(2)证明见解析（1）连接，并延长，DA交于点Q，连接QE，则QE与AB的交点即为点F，如图，易得,，又，则，则.（2）设正方体棱长为a，，易得，则，故.延长，EH交于点S，连接，AC，如图，易得，则，则，又，则，化简得，则，故，则四边形MACH为平行四边形，则，平面ABCD，平面ABCD，则平面ABCD.C综合素养18．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，是线段上的动点．(1)若是线段中点时，证明：平面；(2)若直线与底面所成角的正弦值为，且三棱锥的体积为，请确定点的位置，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)E是线段PC上靠近点P的三等分点；理由见解析【详解】（1）连接交于，连接，∵底面是菱形，∴是中点，又∵是的中点，∴，且平面，平面，∴平面．（2）∵PA⊥底面ABCD，∴∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角，∴，∴，∴．又∵，∴，∵菱形中，，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥底面ABCD，且它们的交线是AB，在底面ABCD内，过点C作CF⊥AB，垂足为点F，则：CF⊥平面PAB，故点C到平面PAB的距离，令点E到平面PAB的距离,．又同一底面积下，高的比等于斜边的比，故是线段上靠近点的三等分点．19．如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使．(1)若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.(2)求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点到平面的距离.【答案】(1)存在，(2)三棱锥A­CDF的体积的最大值为3，此时点F到平面ACD的距离为（1）AD上存在一点P，使得CP平面ABEF，此时，理由如下：当时，，如图，过点P作MFD交AF于点M，连接ME，则，∵BE＝1，∴FD＝