2021北京重点校高一（上）期中数学试卷试题汇编：奇偶性2

1/12021北京重点校高一（上）期中数学汇编奇偶性2一、单选题1．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是A． B． C． D．2．（2021·北京·清华附中高一期中）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A． B．C． D．3．（2021·北京·人大附中高一期中）若是偶函数，且、都有，若，则不等式的解集为（）A．或 B．或C．或 D．4．（2021·北京师大附中高一期中）已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2-2，则f（x）<0的解集是A．（-1，0） B．（0，1） C．（-1，1） D．（-∞，-1）（1，+∞）5．（2021·北京·人大附中高一期中）函数，则下列结论中错误的是（）A．的图象关于点对称B．在其定义域上单调递增C．的值域为D．函数有且只有一个零点6．（2021·北京·人大附中高一期中）已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则（）A． B． C． D．7．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A． B． C． D．8．（2021·北京市第十三中学高一期中）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A． B．C． D．二、填空题9．（2021·北京市十一学校高一期中）已知函数，若，则______．10．（2021·北京市十一学校高一期中）已知定义在上的函数满足条件，且函数是奇函数，给出以下四个命题：①函数是周期函数；②函数的图象关于点，对称；③函数是偶函数；④函数在上是单调函数.在上述四个命题中，正确命题的序号是___________（写出所有正确命题的序号）11．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知定义在上的偶函数在上单调，且，，给出下列四个结论：①在上单调递减；②存在，使得；③不等式的解集为；④关于的方程的解集中所有元素之和为.其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题12．（2021·北京·人大附中高一期中）已知二次函数.（1）若是偶函数，求m的值；（2）函数在区间上的最小值记为，求的最大值；（3）若函数在上是单调增函数，求实数m的取值范围.13．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.14．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；（3）在（2）成立的条件下，解不等式.15．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）函数为定义在上的奇函数，已知当时，.（1）当时，求的解析式；（2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明；（3）若，求的取值范围.

参考答案1．C【分析】先根据偶函数的定义域关于原点对称求出，再根据偶函数的对称性和题设给的的增减性解题即可【详解】是定义在上的偶函数，，解得，的定义域为又，当时，在单调递减，再由偶函数的对称性可知，解得答案选C【点睛】本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式，易错点为解题过程中忽略所有括号中的取值都必须在定义域内2．D【分析】题目考察奇偶性和单调性的结合，观察四个选项可以发现，只要比较的大小即可，其中不在区间内，要用偶函数的性质转化为，然后根据单调性比较大小【详解】因为函数是偶函数，所以，因为在上是增函数，且，所以，即故选：D3．D【分析】分析出偶函数在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集.【详解】、都有，不妨设，则，故函数在上为增函数，因为函数为偶函数，故，由可得，可得，解得.因此，不等式的解集为.故选：D.4．C【详解】由函数为偶函数可得，∵时，

设，则，，，

当时，有，故选C.点睛：本题主要考查了偶函数的定义及利用偶函数的性质求解函数的解析式，不等式的解法，属于知识的综合应用；根据函数的奇偶性可求出函数在整个定义域上的解析式，解分段函数的不等式可得最后结果.5．A【分析】根据的图象上的点关于对称的点不在的图象上，可知A不正确；利用的奇偶性以及在上的单调性，可知在其定义域上单调递增，故B正确；求出函数的值域，可知C正确；求出函数的零点，可知D正确.【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，的图象关于原点对称，在的图象上取点，它关于对称的点不在的图象上，故A不正确；当时，为增函数，又为奇函数，且，所以在其定义域上单调递增，故B正确；当时，，又为奇函数，所以当时，，又，所以的值域为，故C正确；令，得，得，所以函数有且只有一个零点，故D正确.故选：A6．D【分析】根已知条件求出的周期，根据周期性以及奇函数，结合已知条件即可求解.【详解】因为满足，所以，所以是周期为的函数，当时，，所以，又因为是奇函数，，故选：D.7．D【分析】根据函数解析式直接判断函数的奇偶性和单调性可得解.【详解】函数不是奇函数，故A不正确；函数是奇函数，但不是增函数，故B不正确；函数是奇函数，但不是增函数，故C不正确；的图象如图：所以函数是奇函数且是增函数.故选：D8．A【分析】根据图形可得，再根据偶函数可判断.【详解】由图可得当时，单调递减，，是定义在上的偶函数，，.故选：A.9．【分析】根据题意，令，从而得到，得到为奇函数，整理得到，将代入求得的值.【详解】设，则，即为奇函数，故，即，即.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题，解题方法如下：（1）构造奇函数；（2）利用奇函数的性质得到，进而求得，得到结果.10．①②③【分析】由可得，由此可得函数为周期函数，①对，④错，由函数是奇函数确定函数的对称中心，判断②，根据偶函数的定义判断③.【详解】解：对于①：函数是周期函数且其周期为3.①对对于②：是奇函数其图象关于原点对称又函数的图象是由向左平移个单位长度得到.函数的图象关于点，对称，故②对.对于③：由②知，对于任意的，都有，用换，可得：对于任意的都成立.令，则，函数是偶函数，③对.对于④：偶函数的图象关于轴对称，在上不是单调函数，④不对.故答案为：①②③.11．①③④【分析】由函数的奇偶性与单调性可判断①②③，令，则有，从而可求出，进而求出，即可判断④【详解】因为定义在上的偶函数在上单调，且，，因为，所以在上单调递增，所以在上单调递减，故①正确；因为偶函数在上单调递增，所以时，，故②错误；偶函数在上单调递增，，，由可得，所以，解得或，故③正确；令，则，可化为，解得或，即或，所以或，解得或或或，关于的方程的解集中所有元素之和为，故④正确.故答案为：①③④12．（1）；（2）最大值为0；（3）或.【分析】（1）利用偶函数的定义直接求解；（2）根据对称轴与定义区间位置关系，分类求解最小值，按分段函数形式写的解析式，作出分段函数的解析式，数形结合求最值即可；（3）先转化：在上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，再根据对称轴以及单调性列方程组，解得实数m的取值范围.【详解】（1）是偶函数，，即，解得：（2），二次函数对称轴为，开口向上①若，即，此时函数在区间上单调递增，所以最小值.②若，即，此时当时，函数最小，最小值.③若，即，此时函数在区间上单调递减，所以最小值.综上，作出分段函数的图像如下，由图可知，的最大值为0.（3）要使函数在上是单调增函数，则在上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，或，即或，解得或.所以实数m的取值范围是：或.【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.13．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用函数奇函数的性质求的值；（2）利用函数是奇函数，求的解析式，即得函数的解析式；（3）利用函数是奇函数，变形为，再利用函数的单调性，解抽象不等式，利用不等式恒成立，求参数的取值范围.【详解】解：（1）因为定义域为的函数是奇函数，所以.（2）因为当时，，所以，又因为函数是奇函数，所以，所以，综上，（3）由，得，因为是奇函数，所以，又在上是减函数，所以，即对任意恒成立，令，则，由，解得，故实数的取值范围为.14．（1）奇函数，证明见解析；（2）单调增函数，证明见解析；（3）.【分析】（1）先求函数的定义域，再判断与的关系，即可得到答案；（2）任取，作差判断与的大小关系；（3）利用（1）（2）结论将原不等式，利用单调性即可得到答案；【详解】（1）函数为奇函数.证明如下：∵定义域为R又∴为奇函数（2）函数在为单调增函数.证明如下：任取，则∵，∴，∴即故在上为增函数（3）由（1）､（2）可得，则解得：所以原不等式的解集为15．（1）；（2）在上的单调递增，证明