2021北京重点校高一（上）期中数学试卷试题汇编：指数函数与对数函数1

1/12021北京重点校高一（上）期中数学汇编指数函数与对数函数1一、单选题1．（2021·北京八中高一期中）已知函数，在下列说法中正确的是（

）A．是函数的一个零点 B．函数只有两个零点C．函数在上至少有一个零点 D．函数在上没有零点2．（2021·北京八中高一期中）的值为（

）A．2 B． C． D．3．（2021·北京八中高一期中）给定函数①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数的序号是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④4．（2021·北京八中高一期中）设，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．5．（2021·北京四中高一期中）在下面四个等式运算中，正确的是（

）A． B． C． D．6．（2021·北京·人大附中高一期中）在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（

）A． B． C． D．7．（2021·北京市十一学校高一期中）已知定义在上的函数，其中表示不超过的最大整数，，给出下列四种说法：①，使得是一个增函数；②，使得是一个奇函数；③，使得在区间上有唯一零点.其中，正确的说法个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．38．（2021·北京市十一学校高一期中）已知函数、、、的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．9．（2021·北京市十一学校高一期中）已知函数，则“函数在上有零点”是“”的（

）条件A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．即不充分也不必要二、填空题10．（2021·北京师大附中高一期中）已知函数，下面有四个结论：①当时，在上单调递减；②若函数恰有2个零点，则的取值范围是；③若函数无最小值，则的取值范围是；④若方程有三个实数根，其中，则不存在实数，使得．其中所有正确结论的序号是___________．11．（2021·北京师大附中高一期中）求值：________．12．（2021·北京市十一学校高一期中）已知函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是___________.13．（2021·北京市十一学校高一期中）下列函数中，值域为R且为奇函数的有_____________.①

②

③

④

⑤14．（2021·北京四中高一期中）计算：_____________．15．（2021·北京四中高一期中）对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．16．（2021·北京市十一学校高一期中）已知在十一食堂，一碗面的成本为5元，售价为元，每天可以卖出碗，经过长期研究发现，二者之间存在函数关系，若要在食堂卖面的利润最高，则一碗面的售价应该定为________.17．（2021·北京市十一学校高一期中）已知方程的两根为和，则________.18．（2021·北京市十一学校高一期中）已知，函数的零点在区间中，则的值是______.19．（2021·北京·清华附中高一期中）已知，若函数恰有一个零点，则实数的取值范围是_________．三、双空题20．（2021·北京师大附中高一期中）已知函数则____；若，则_____．21．（2021·北京八中高一期中）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似的表示.已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为___________吨时，可以获得最大利润是___________万元.22．（2021·北京市十一学校高一期中）已知函数.（1）若时，集合恰有三个元素，则实数k的取值范围是______；（2）若集合恰有两个元素，则实数a的取值范围是____________.四、解答题23．（2021·北京师大附中高一期中）如果函数f(x)的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有f(x＋a)＝f(－x)成立，则称此函数f(x)具有“性质P(a)”．(1)若函数f(x)＝x2－2x具有“P(a)性质”，求实数a的值；(2)已知函数f(x)具有“P(0)性质”，且当x≤0时，f(x)＝(x－m)2，若方程f(x)＝在区间［－2，2］上恰有四个实数根，求实数m的取值范围；(3)已知f(x)＝|x－m2|－m2．①若函数f(x)具有“性质P(2)”，求实数m的值；②若定义域为R的函数g(x)具有“P(0)性质”，且当x≥0时，g(x)＝f(x)，请问是否存在实数m，使得对于任意x∈(－1，+∞)，g(x＋2)＞g(x)．若存在，直接写出实数m的取值范围；若不存在，直接写不存在实数m．(不需说明理由)24．（2021·北京师大附中高一期中）设．(1)当时，求的解集；(2)求函数的零点．25．（2021·北京八中高一期中）已知函数.(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并予以证明；(3)求使成立的x的取值范围.26．（2021·北京市第十三中学高一期中）已知函数，其中．(1)当时，求函数的零点；(2)当时，解关于x的不等式；(3)如果对任意实数x恒成立，证明：．27．（2021·北京·北师大二附中高一期中）已知函数，.(1)若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.28．（2021·北京市十一学校高一期中）对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数，②当时，的取值范围，则称是该函数的“k阶和谐区间”.(1)证明：是函数的一个“3阶和谐区间”；(2)求证：函数不存在“2阶和谐区间”；(3)已知函数存在“1阶和谐区间，当a变化时，求出的最大值.29．（2021·北京市十一学校高一期中）已知定义在上的奇函数.(1)求的值；(2)用单调性的定义证明的单调性；(3)若对于，不等式恒成立，求的取值范围.30．（2021·北京市十一学校高一期中）某市出租车收费标准为：起步价13元（即实际行驶里程不超过3公里，按13元收费）.此时计费里程与实际行驶里程相等，且规定计费里程不为零.实际行驶里程超过3公里后，超过3公里的部分，按每公里2.3元收费，其中不足1公里的部分按照1公里计算，此时计费里程为实际里程向上取整，例如，实际行驶里程4.6公里，则计费里程为5公里，设出租车收费总价为y（单位：元）实际行驶里程（单位：公里），计费里程为（单位：公里）.(1)建立出租车收费总价与计费里程的函数关系式；(2)若出租车实际行驶里程为6公里，则乘客需要付多少钱？(3)若乘客实际付费超过20元但不超过40元，求的取值范围.

参考答案1．C【分析】求出函数的零点，根据函数零点的概念依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，函数的零点不是坐标，故错误；对于B选项，，故得，即函数有三个零点，故错误；对于C、D选项，，故函数在上至少有一个零点，故C正确，D错误；故选：C2．A【分析】根据对数运算性质运算求解即可得答案.【详解】解：根据对数的运算得故选：A3．B【分析】根据指对幂函数的性质依次判断即可得答案.【详解】解：对于①，在上单调递增；对于②，在上单调递减；对于③，时，在上单调递减；对于④，在上单调递增；故在区间上单调递减的函数的序号是②③故选：B4．D【分析】根据指数函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】根据指数函数的单调性性质可知，函数在R上为单调增函数由题知，，选项D正确.故选：D.5．B【分析】根据指数幂的运算法则依次计算判断得到答案.【详解】，A错误；，B正确；，C错误；，D错误.故选：B.6．C【分析】由第一次所取的区间是，取该区间的中点，可得第二次所取的区间，利用同样的方法得到第三次所取的区间.【详解】因为第一次所取的区间是，所以第二次所取的区间可能是，则第三次所取的区间可能是，故选：C7．B【分析】举反例和，，得到①②错误，计算满足有唯一零点，得到答案.【详解】①，，故①错误；②若，使得是一个奇函数，则，，，，故假设不成立，②错误；③当时，，当时，，当时，满足在区间上有唯一零点，③正确.故选：B.8．B【分析】如图，作出直线得到，即得解.【详解】如图，作出直线得到，所以.故选：B9．C【分析】结合充分、必要条件的判断方法来确定正确选项.【详解】依题意，若函数在上有零点，不等式组无解，所以，即.若，根据零点存在性定理可知：函数在上有零点.所以“函数在上有零点”是“”的充要条件.故选：C10．①②④【分析】①结合二次函数的单调性判断即可；②将函数恰有2个零点，转化为在上有两个零点，进而根据二次函数的零点问题即可判断；③求出分段函数在各段的值域，分析即可求出结果；④结合二次函数的对称性以及不等式的性质即可判断．【详解】①当时，，因为函数的对称为，且开口向上，所以在上单调递减，故①正确；②因为时，，故在无零点，因此若函数恰有2个零点，即在上有两个零点，因此，即，则的取值范围是，故②正确；③因为时，，故在上的值域为，若函数无最小值，则需满足在上的最小值大于0，若，即，此时在上单调递减，所以，符合题意；若，即，此时在上单调递减，在上单调递增，所以，即，因此，综上所述的取值范围是，故③错误；④假设存在方程有三个实数根，其中，则有，则，当且仅当时，等号成立，而，即，则不存在实数，使得，故④正确．故答案为：①②④.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．11．【分析】结合指数幂的运算化简整理即可求出结果.【详解】，故答案为：.12．【分析】由题意可知，原问题等价于在区间上有解，利用分离参数法可知在区间上有解，再根据函数的单调性即可求出函数在区间上的值域，由此即可求出结果.【详解】函数在区间上有零点，即在区间上有解，所以在区间上有解，即在区间上有解，令，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，所以，即.故答案为：.13．②③⑤【分析】根据奇偶函数的定义及常见函数的性质即得.【详解】对于①，为偶函数，故①错误；对于②，为奇函数且值域为R，故②正确；对于③，为奇函数且值域为R，故③正确；对于④，为非奇非偶函数，故④错误；对于⑤，为奇函数且值域为R，故⑤正确.故答案为：②③⑤.14．【分析】根据指数幂的运算即可算出答案.【详解】故答案为：15．【分析】根据定义运算法则化简，画出的图像，结合图像可求出c的取值范围【详解】因为，所以由图可知，当或时，函数与的图象有两个公共点，的取值范围是.故答案为：16．##【分析】设食堂卖面的利润为S，有，根据二次函数的性质可求得答案.【详解】解：设食堂卖面的利润为S，则，当时，S取得最大值，故答案为：.17．【分析】由题得，化简再代入韦达定理即得解.【详解】由题得，所以.故答案为：18．【分析】先判断出函数在R上单调递增，又由，，可得出存在唯一的零点在区间中，由此可得答案.【详解】解：因为函数在R上单调递增，又，，所以函数存在唯一的零点在区间中，又函数的零点在区间中，所以，故答案为：.19．【分析】分析可知为方程的一根，利用参变量分离法可知直线与函数的图象无交点，数形结合可求得实数的取值范围.【详解】，故为方程的一根，当时，由可得，令，当时，，由题意可知，直线与函数的图象无公共点，如下图所示：由图可知，当或或时，直线与函数的图象无公共点.因此，实数的取值范围是.故答案为：.20．

4

-2【分析】空1：根据分段函数的定义域，先求，再求；空2：根据分段函数的定义域，分，两种情况讨论求解.【详解】答题空1：，.答题空2：，时，，（舍）或；时，，（舍）.综上，.故答案为：4；-2.21．

210

1660【分析】利用收入减去总成本表示出年利润，通过配方求出二次函数的对称轴，因开口向下，对称轴处取得最大值.【详解】解:设可获得的总利润为万元，则∵在上是单调递增函数，上是单调递减函数∴当时，.∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.故答案为：210；1660.22．

####

####【分析】（1）作出此时函数的图象，数形结合分析即得解；（2）通过数形结合分析得到必须包含，必须包含点，即得解.【详解】（1）时，，函数的图象如图所示，集合恰有三个元素，所以实数k的取值范围是；（2）对于函数，满足的只有；对于函数，满足的只有；又，如图所示，要使集合恰有两个元素，所以必须包含，必须包含点，所以.故答案为：；.23．(1)a＝2(2)－≤m＜0(3)①m＝±1；②存在；－1＜m＜1【分析】（1）由(x＋a)2－2(x＋a)＝(－x)2＋2x恒成立可求得的值；（2）函数f(x)具有“P(0)性质”，由函数为偶函数，由偶函数对称性，可得f(x)＝在区间［－2，0)上恰有两个实根，由此可求得范围；（3）①根据“性质P(2)”，由恒等式知识求解；②是偶函数，作出函数图象，利用图象平移可得不等关系，从而得参数范围．(1)因为f(x)＝x2－2x具有“P(a)性质”，所以(x＋a)2－2(x＋a)＝(－x)2＋2x恒成立，整理得，(2a－4)x＋a2－2a＝0，因为等式恒成立，所以，解得a＝2；(2)因为函数y＝f(x)具有“P(0)性质”，所以f(x)＝f(－x)恒成立，∴y＝f(x)是偶函数．①当m≥0时，函数f(x)在(－∞，0］上单调递减，在［0，＋∞)上单调递增，所以方程f(x)＝在区间［－2，2］上至多有两个实数根，不符合题意；②当m＜0时，函数f(x)在(－∞，m］上单调递减，在［m，0］上单调递增，又方程f(x)＝在区间［－2，2］上恰有四个实根，所以f(x)＝在区间［－2，0)上恰有两个实根，所以，所以－≤m＜0；综上，实数m的取值范围为－≤m＜0；(3)①因为函数f(x)具有“性质P(2)”，所以f(x＋2)＝f(－x)恒成立，即|x＋2－m2|－m2=|－x－m2|－m2，|x＋2－m2|=|－x－m2|，两边平方后整理得：(4m2－4)x＋4m2－4＝0，(4m2－4)(x＋1)＝0，所以4m2－4＝0，即m＝±1；②具有性质，则是偶函数，若，，显然满足题意，若，，其图象如图所示，把其图象向左平移2个单位，得的图象，要使得时，恒成立，则点必须移到点左侧，所以，．综上，的范围是．24．(1).(2)答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）将代入解析式后解不等式即可.（2）分三种情况分别进行讨论求函数零点.(1)时，，即的解集为(2)当时，，，的零点为；或，，的零点为；当，即时，无零点；当，即或时，的零点为和．25．(1)(2)奇函数，证明见解析；(3)【分析】（1）根据对数函数的真数大于0建立关系式可求出函数的定义域；（2）结合函数的奇偶性的定义，即可求解；（3）由，得到，进而根据对数函数单调性解不等式即可得答案.(1)解：由题意，函数，使函数有意义，必须有，解得，所以函数的定义域是，(2)解：函数的定义域是，所以定义域关于原点对称，所以所以函数是奇函数.(3)解：使,即，所以，所以

，

解得x的取值范围是；所以不等式成立的x的取值范围是26．(1)1和-4(2)具体见解析(3)具体见解析【分析】（1）解出对应方程的根即可得到答案；（2）先因式分解，进而讨论a的范围，最后得到答案；（3）将不等式化简，进而通过判别式法求得答案.(1)由题意，，令或，即函数的零点为：1和-4.(2)由题意，，若，不等式的解集为：；若，不等式的解集为：；若，不等式的解集为：.(3)由题意，对任意实数x恒成立，则恒成立，故.27．(1)(2)【分析】（1）分析可知，为方程的一解，利用参变量分离法得出方程在时无解，数形结合可得出实数的取值范围；（2）分、两种情况讨论，在时不等式恒成立，在时，由参变量分离法得出，求出函数的值域，由此可得出实数的取值范围.(1)解：由题意可得，即为方程的一解，所以，方程在时无解，当时，由得，，所以，直线与函数在上的图象无交点，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数在上的图象无交点，因此，实数的取值范围是.(2)解：当时，，合乎题意；当时，由可得，令，则，当时，，当时，.故，所以，.综上所述，实数的取值范围是.28．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)【分析】（1）直接利用定义证明即可；（2）假设存在函数存在“2阶和谐区间”，进而推出是方程的同号的相异实数根，再结合方程无实数根即可得矛盾，进而证明；（3）根据题意得是方程的同号的相异实数根，再结合根的分布得或，进而，再结合二次函数即可求得最