2021北京重点校高一（下）期末数学试卷试题汇编：空间点、直线、平面之间的位置关系

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空间点、直线、平面之间的位置关系一、单选题1．（2021·北京二中高一期末）已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面,下列命题中正确的是A．，，则B．a，，，，则C．，，则D．当，且时，若∥，则∥2．（2021·北京·人大附中高一期末）如图，E是正方体棱的中点，F是棱上的动点，下列命题中：①在平面内总存在与平面BEF平行的直线；②直线和直线EB为异面直线；③四面体EBFC的体积为定值.其中正确命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2021·北京·101中学高一期末）已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．（2021·北京师大附中高一期末）如图，四边形是正方形，平面，且，则直线与直线所成角的大小是（）A． B． C． D．5．（2021·北京师大附中高一期末）如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则下列结论一定成立的是（）A．四边形是矩形 B．四边形是正方形C． D．平面平面6．（2021·北京·汇文中学高一期末）已知三条直线，，满足：与平行，与异面，则与（）A．一定异面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交7．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：①如果，，，，那么；②如果，，那么；③如果，，，那么；④如果，，那么.其中正确命题的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）“点在直线上，在平面内”可表示为（）A．， B．，C．， D．，二、双空题9．（2021·北京·汇文中学高一期末）如图，若正方体的棱长为1，则异面直线AC与所成的角的大小是__________；直线和底面ABCD所成的角的大小是__________．三、填空题

10．（2021·北京师大附中高一期末）如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则下列说法正确的是__________.①线段的最大值是②③与一定异面④三棱锥的体积为定值11．（2021·北京师大附中高一期末）已知，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：①；②；③；④.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______.12．（2021·北京·汇文中学高一期末）已知，是不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，给出下列命题：①若，，则；②且，则；③若，，则.所有正确命题的序号为______.13．（2021·北京·人大附中高一期末）已知，是两个不同的平面，l，m是两不同的直线，，下列四个命题：①//l⊥m；②⊥l//m；③l⊥m//；④l//m⊥.其中正确的命题是_________.（写出所有正确命题的序号）

参考答案1．C【详解】中，可能在面上，错误；中，，可能都平行于、相交的直线，错误；中，正确；中，直线和直线可能异面，错误．故选．2．C【分析】由已知可得平面与平面相交，只要在平面内做交线的平行线，即可判断①；举反例当与重合时，可判断②；到平面距离为定值，且面积为定值，即可判断③.【详解】F是棱上的动点，所以平面与平面相交，设交线为，在平面做交线的平行线，平面，可得平面，所以①正确；若与重合，此时与相交，所以②不正确；到平面距离为定值为定值，所以四面体EBFC的体积为定值，所以③正确.故选：C.3．B【分析】由面面垂直的判定定理可判定A正确；根据，则直线和平行或异面，可判定B错误的；根据线面垂直的性质，可判定C正确；根据面面垂直的性质定理，可判定D正确.【详解】由题意，是两个不同的平面，是两条不同的直线，因为，，所以，又，所以.故选项A正确；因为，所以直线和平行或异面.故选项B错误；因为，，所以，又，所以.故选项C正确；因为，所以由面面垂直的性质定理，可得.故选项D正确.故选：B.4．B【分析】先利用将所求角转化为，再说明为等腰直角三角形，可得.【详解】因为四边形是正方形，所以，故直线与直线所成角为.因为平面，平面，所以.又，所以.故选：B.5．A【分析】充分利用中点的特征，通过证明，，来得到四边形是矩形，从而确定选项A正确，选项B错误.选项C、D可利用反证法.【详解】在长方形中，因为点，分别为，的中点，所以，.在长方体中，有平面，又，所以平面，又平面，所以.在长方形中，同理可得，.所以，，又，所以四边形是矩形.故选项A正确，选项B错误.若，则由知，，又点，分别为，的中点，所以，所以.由图知和为相交直线，矛盾.故假设不成立，故选项C错误.由图知，和为相交直线，所以平面与平面不会平行，故选项D错误.故选：A.6．C【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线的定义即可得出ABD错误，再利用反证法结合平行公理即可得到与不可能平行.【详解】如图所示：与可能异面，也可能相交，不可能平行．用反证法证明一定不平行，假设，又，则，这与已知与异面矛盾，所以假设不成立，故与不可能平行.故选：C.【点睛】熟练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线定义是解题的关键，考查学生的数形结合思想，属于基础题．7．A【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质判断各项的正误，即可知正确命题的个数.【详解】①如果，，，，仅当，相交时，否则，不一定平行，错误；②如果，，则或，错误；③如果，，，则或，为异面直线，错误；④如果，，则或，为异面直线，错误；故选：A8．B【分析】根据点与线，线与面的关系书写即可.【详解】解：因为点在直线上，在平面内。所以符号语言为：，故选：B9．.【分析】①通过平行关系，直线与直线所成角即直线与直线所成角，解三角形即可得解；②根据线面角定义，通过垂直关系找出线面角即可.【详解】作图：连接交于，连接①在正方体中，，易得为等边三角形，由与平行且相等，则四边形为平行四边形，，直线与直线所成角即直线与直线所成角，所以所成角为；②正方体中，平面，所以就是直线和平面所成的角由于，，是等腰直角三角形，所以，所以直线和底面ABCD所成的角的大小.故答案为：①；②.【点睛】此题考查求异面直线所成的角和直线与平面所成角，通过平行线求异面直线夹角，通过垂直关系根据定义找出线面角即可求解.10．①④【分析】过点作出与平面平行的平面，找出其与面的交线，从而确定点在线段上.选项①中线段的最大值可直接得到为；选项②通过建系求向量数量积来说明与平面不垂直，从而不一定成立；选项③通过构造平面来确定位置关系；选项④通过证明平面，来说明三棱锥即的体积为定值.【详解】如图，延长至，使得，则有取的中点，连接，则有，连接并延长交于点，则点为的中点.因为，平面，平面所以平面.同理可得平面.又，在平面内，且相交于点，所以平面平面.故点在线段上.由图知，，故选项①正确；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，.，，.因为，所以与不垂直，而点在线段上，所以条件不一定成立，故选项②错误；如图，连接，，，则有，且，故四边形为梯形，与为相交直线，故选项③错误；因为点，分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面.故线段上的点到平面的距离都相等.又点在线段上，所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项④正确.故答案为：①④.【点睛】立体几何问题中与动点相关问题，可以从一下几点考虑：(1)先作辅助线，找出动点所在的线段或轨迹.(2)判断与动点相关的条件是否成立常需结合动点所在的线段或轨迹，利用线线、线面、面面位置关系求解，或线线、线面、面面位置关系的判定或性质求解，或建立空间直角坐标系利用向量法求解.11．①③④②（或②③④①）【分析】，，，由面面垂直的性质定理得；，，，由面面垂直的判定定理得．【详解】∵，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同的直线，若①，③，则.又∵④，∴②.即①③④②.若②，③，则.又∵④，∴①.即②③④①.故答案为：①③④②（或②③④①）【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，属于中档题．12．①③【分析】对于①，由面面垂直的判定定理得；对于②，或；对于③，由线面垂直的性质得.【详解】解：由，是不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，知：对于①，若，，则由面面垂直的判定定理得，故①正确；对于②，若且，则或，②错误；对于③，若，，则由线面垂直的性质得，