2021北京重点校高一（下）期末数学试卷试题汇编：余弦定理

1/12021北京重点校高一（下）期末数学汇编余弦定理一、单选题1．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）在中，，则的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2．（2021·北京·人大附中高一期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2﹣ac+c2＝b2，则角B为（）A． B． C． D．二、双空题3．（2021·北京·人大附中高一期末）已知锐角，同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.则这三个条件是________（只填写序号），的面积是________三、填空题4．（2021·北京·汇文中学高一期末）在中，，，则的取值范围为______.5．（2021·北京·人大附中高一期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，C.且满足.且△ABC为锐角三角形，则△ABC面积的取值范围为________.6．（2021·北京师大附中高一期末）在中，，则__________.四、解答题7．（2021·北京二中高一期末）在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．8．（2021·北京·汇文中学高一期末）在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：（1）的值；（2）的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．9．（2021·北京·人大附中高一期末）设A，B，C为△ABC的三个内角，向量，且.（1）求角A的大小；（2）求sinB＋sinC的取值范围.10．（2021·北京·101中学高一期末）在中，c＝2，C＝30°再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：(1)a的值；(2)的面积．条件①：2b＝a；条件②：b＝2；条件③：A＝45°．11．（2021·北京师大附中高一期末）在中，.（1）求A的值；（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，求边上的中线的长度.条件①：；条件②：；条件③：.12．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）已知△的面积为，，.求（1）和的值；（2）的值.13．（2021·北京师大附中高一期末）在中，.（1）求的值；（2）求的面积.

参考答案1．B【分析】根据结合题意得,化简整理得,再根据余弦定理角化边整理得,故的形状为直角三角形.【详解】解:由降幂公式得,因为,所以,即,由于,所以,整理得:.所以的形状为直角三角形,故选:B2．B【分析】由余弦定理求出即可求解出结果.【详解】在中，由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB，又b2＝a2﹣ac+c2，所以，即，又，所以.故选：B.3．①②③【分析】如果选条件②③④，不能确定三角形是锐角三角形，如果选条件①④②或①④③，三角形不是锐角三角形，只有选①②③，可得锐角三角形，然后求出三角形面积．【详解】如果选条件②③④，则由正弦定理得，均为锐角，，，则，则为锐角，为钝角，不合题意；如果选条件①④②或①④③，同理，则为锐角，为钝角，不合题意；只有选择①②③，由得，解得或，时，，角是钝角，不合题意，舍去．时，，是锐角，符合题意．此时．故答案为：①②③；．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和与差的正弦余弦公式，解题关键是根据所选条件判断三角形的形状，以确定符合题意的条件．4．【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出的范围，再结合余弦定理可以用表示，求出的范围，进而求得的取值范围.【详解】解：在中，内角，，的对边分别是，，，由题意得，，，即，，令，所以，所以根据导数与函数单调性的关系得：函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，的取值范围为.所以又因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形的性质，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.5．【分析】由余弦定理求出角，，要求△ABC面积的取值范围，只需求出边取值范围，根据正弦定理，将用角表示，结合范围，即可求解.【详解】,，由正弦定理得，所以，又△ABC为锐角三角形，,得所以，.故答案为：.6．【分析】在中，对边使用余弦定理求解.【详解】在中，记，，，又，由余弦定理得，，解得，即.故答案为：.7．（Ⅰ），，（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得．联立方程组解得，（Ⅱ）由题意得，即，·当时，，，，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，．所以的面积．8．选择见解析；（1）；（2）．【分析】选择条件①，由正弦定理得，再由余弦定理可得，再运用面积公式可算出的面积.选择条件②，由正弦定理得，再由余弦定理算得，再运用面积公式可算出的面积.【详解】解：选条件①：．（1）在中，因为，所以．因为，且，，，所以．化简得，解得或．当时，，与题意矛盾．所以，所以．（2）因为，，所以．所以．选条件②：．（1）在中，因为，所以由得．因为，且，，，所以．解得．（2）由（1）知，所以．因为，，所以．所以．【点睛】方法点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．9．（1）；（2）【分析】（1）根据已知结合向量模长坐标公式，得到二次关系，由正弦定理化角为边，最后用余弦定理求出，即可求解；（2）由（1）将角用角表示，再运用三角恒等变换转化为正弦型三角函数，利用角范围，即可得出结论.【详解】（1），所以，，由正弦定理得，所以，又，所以；（1），因为，所以，所以的范围是.10．选①：(1)；(2).选③：(1)；(2).【分析】利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式求解即可.【详解】选条件①：.有.在中，由余弦定理得，，，解得，.的面积.选条件②：.在中，由余弦定理得，，，.解得或.满足条件的三角形有两个，不符合题意，舍去.选条件③：.有.在中，由正弦定理得，，.的面积.11．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理边角互化后，再结合余弦定理，求得角的值；（2）若选择条件①②，根据面积公式先求边，若选择条件①③，先求，再结合正弦定理求，若选择条件②③，根据正弦定理可知，再根据面积公式求边长，以上三种选择求得边长后，利用公式，再代入数量积公式中线长.【详解】（1）根据正弦定理可知，，，，（2）若选择条件①②，则，，，，；如选择条件①③，则，,根据正弦定理，，；如选择条件②③，，，根据选择条件①③，可知，,，又,根据正弦定理可知,所以设，，，，解得：，所以，，；所以边上的中线的长度是12．（1），；（2）.【分析】（1）由同角三角函数平方关系求，利用三角形面积公式求，应用余弦定理求即可；（2）由题设有，三角形面积公式、同角三角函数关系求、，