21.1 一元二次方程【六大考点+六大题型】《考点•题型•技巧》讲与练高分突破-2025-2026学年九年级上册数学（人教版） 原卷版

.1一元二次方程【考点归纳】【知识归纳】知识点一一元二次方程的定义（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．（2）注意以下3点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③等号两边都是整式．知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)．其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．知识点三一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．【题型探究】题型一：一元二次方程的判断【例1】．（24-25九年级上·广东潮州）下列方程中是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【跟踪训练1】．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列方程中，关于的一元二次方程是（

）A． B．C． D．【跟踪训练2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）给出下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元二次方程的有（

）A．1个 B．2个 C．4个 D．5个题型二：一元二次方程的定义求参数问题【例2】．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）若关于x的方程是一元二次方程，则（

）A． B． C． D．【跟踪训练1】．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则（

）A．2或 B．2 C． D．0题型三：一元二次方程一般形式【例3】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)．(2)．(3)．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）将下列方程化为二次项系数是“1”的一般形式后，一次项系数和常数项都是正整数的是（

）A． B． C． D．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程．(1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数．(2)若此方程是一元一次方程，求出a的值．题型四：一元二次方程的解【例4】．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）若是关于的方程的一个根，则的值为（

）A． B． C． D．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·重庆·开学考试）若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（）A．1 B． C．2 D．【跟踪训练2】．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2027题型五：由一元二次方程的解求代数值【例5】．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）若m是方程的一个根，则的值为（

）A．2026 B．2027 C．2028 D．2029【跟踪训练1】．（25-26九年级上·河南驻马店·开学考试）已知一元二次方程的一个根为，则的值为（

）A． B． C． D．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（

）A．2023 B．2022 C．2020 D．2019题型六：一元二次方程的综合问题【例6】．（25-26九年级上·全国）已知关于的方程．(1)当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________．(2)当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．【跟踪训练1】．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题：(1)一元二次方程的倒方程是______；(2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值；(3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考阅读下列材料，然后完成相应任务．方程两边同时除以，得，即．因为，所以．任务：(1)已知方程，则____________．(2)若是方程的根，求的值．【高分演练】一、单选题1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的一次项系数是（）A．1 B． C． D．22．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）将方程化为二次项系数为的一般形式后，方程中的一次项的系数是（

）A． B． C． D．3．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）已知3是方程的一个根，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）已知是方程的根，则代数式的值为（

）．A．6 B．9 C．14 D．5．（25-26九年级上·全国·课后作业）若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（

）A．0，4 B．0， C．，4 D．1，46．（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列方程中，是一元二次方程的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（

）A． B． C． D．8．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程满足和，则该方程的两个根分别为（

）A． B． C． D．二、填空题9．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为．10．（25-26九年级上·陕西延安·阶段练习）已知是关于的一元二次方程，则实数的值为．11．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为，则代数式的值为．12．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为．13．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为．三、解答题14．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值．15．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程(1)为何值时，此方程是一元一次方程？(2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．