21.2 解一元二次方程【九大考点+九大题型】《考点•题型•技巧》讲与练高分突破-2025-2026学年九年级上册数学（人教版） 原卷版

⑵如果二次项系数为，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法．【题型探究】题型一：直接开平方法解一元二次方程【例1】．（25-26九年级上·全国）用直接开平方法解下列方程：(1)；(2)．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国）直接开平方法解下列方程：(1)；(2)．【跟踪训练2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：(1)(2)．题型二、配方法解一元二次方程【例2】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【跟踪训练2】．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)．题型三、根据判别式判断一元二次方程根的情况【例3】．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）关于的一元二次方程根的情况（

）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【跟踪训练1】．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的方程．(1)求证：方程必有两个不等实数根；(2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程，有两个不相等的实数根：(1)求k的取值范围；(2)若这个方程有一个根为2，求k的值．题型四、根据一元二次方程根的情况求参数【例4】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【跟踪训练1】．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）如果关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【跟踪训练2】．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（

）A． B．C．且 D．或题型五、公式法解一元二次方程【例5】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程：(1)；(2)；(3)．【跟踪训练2】．（22-23九年级上·全国·期中）用公式法解下列方程．(1)；(2)；(3)．题型六、因式分解法解一元二次方程【例6】．（24-25九年级上·全国·期末）解一元二次方程：(1)(2)．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）解方程：(1)；(2)．【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解下列方程：(1)(2)题型七、换元法解一元二次方程【例7】．（24-25九年级上·广东·期末）已知实数、满足，试求的值．解：设，则原方程可化为，即：解得．∵，∴上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：(1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数．(2)已知实数、满足，求的值．【跟踪训练1】．（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程：(1)．(2)．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料：解方程，解：设，则原方程化为，解得，．当时，，解得：；当时，，解得．原方程的解为：，，，．以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想．(1)请用上述方法解下列方程：；(2)已知实数，满足，求的值．题型八：用合适的方法解一元二次方程【例8】．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）解方程：(1)（用配方法）；(2)（用公式法）；(3)；(4)．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程∶(1)．(2)．(3)．(4)．【跟踪训练2】．（25-26九年级上·四川成都）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【跟踪训练3】．（25-26九年级上·新疆·阶段练习）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．题型九：解一元二次方程的综合问题【例9】．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【阅读感知】我们知道，解如的方程可以通过因式分解将其转化为：，这样就可以得到：或从而求出方程的解．类似的，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为：，从而得到或，再解方程就可以得到【理解应用】（1）将因式分解得______（2）解方程：【知识拓展】（3）试求方程组的解【跟踪训练1】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若，求的值；(3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围．【跟踪训练2】．（23-24九年级上·福建泉州·自主招生）已知关于的方程．(1)若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值；(2)若等腰的一边长为，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长【高分演练】一、单选题1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（

）A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，，2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则满足（）A． B． C．，且 D．，且4．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）用配方法解方程，配方后的方程是（

）A． B．C． D．5．（25-26九年级上·山东青岛·开学考试）对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数（）A．10 B．4 C．4或 D．4或或106．（24-25八年级下·安徽淮北）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，7．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）关于的方程，下列解法完全正确的是（

）甲乙丙丁两边同时除以（x-1）得到3．移项得1）=0，，或，．整理得，，，，，．整理得，配方得，，，．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；②若是一元二次方程的根，则；③存在实数，使得；④若是方程的一个根，则一定有成立其中正确的有（

）A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③二、填空题9．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是．10．（22-23九年级上·江苏·期中）已知三角形的两边长分别是4和7，第三边长是方程的根，则第三边的边长是．11．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成．12．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是．13．（21-22九年级下·安徽宣城·自主招生）为方程的两个根，则代数式的值为．14．（25-26九年级上·重庆·开学考试）已知在正比例函数中，的值随着的增大而增大，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为．三、解答题15．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）解方程：(1)(2)；(3)(4)．16．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．17．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长．18