22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质【十大考点+十大题型】 原卷版

⑶交点式：y=a（x-x1）（x-x2）.对称轴，顶点坐标.知识点三二次函数的平移问题解析式y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0）分情况讨论m>0，n>0m>0，n<0m<0，n>0m<0，n<0变换过程由y=ax2向左平移|m|个单位，向上平移|n|个单位由y=ax2向左平移|m|个单位，向下平移|n|个单位由y=ax2向右平移|m|个单位，向上平移|n|个单位由y=ax2向右平移|m|个单位，向下平移|n|个单位总结左加右减，上加下减【题型探究】题型一、把一般式化成顶点式【例1】．（24-25九年级下·全国）将二次函数化为的形式，正确的是（

）A． B．C． D．【跟踪训练1】．2．（2025·山西大同·一模）将二次函数化为的形式为（

）A． B．C． D．【跟踪训练2】．（2025·江苏徐州·一模）将二次函数化为的形式，结果为()A． B．C． D．题型二、画二次函数y=ax2+bx+c的图象4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…01…y…00…(1)这个二次函数的解析式是；(2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象．5．（2025九年级上·北京·专题练习）已知抛物线．x0123y00(1)求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；(2)在平面直角坐标系中画出函数图象．6．（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数．(1)将化成的形式；(2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．题型三、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质【例3】．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知抛物线，下列结论错误的是（

）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大【跟踪训练1】．（2025·陕西咸阳·二模）下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（

）…012……0343…A．对称轴为直线 B．当时，C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4【跟踪训练2】．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）对于二次函数，下列说法错误的是（）A．图象开口向上B．对称轴是直线C．当时，的最大值为21D．将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为题型四、根据二次函数的图像判断系数符号【例4】．（25-26九年级上·吉林四平·阶段练习）二次函数的图象如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏南通）二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【跟踪训练3】．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型五、一次函数、二次函数的图像综合问题【例5】．（2025九年级上·内蒙古·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（

）A．

B．

C．

D．

【跟踪训练1】．（25-26九年级上·海南·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（）A．B．C． D．【跟踪训练2】．（2025九年级上·浙江·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为A．B．C． D．【跟踪训练3】．（25-26九年级上·全国·单元测试）当时，和大致图像可能是（）A． B． C． D．题型六、待定系数法求二次函数解析式【例6】．（24-25九年级下·全国·随堂练习）选择最优解法，设出下列二次函数的表达式：（1）已知抛物线的图象经过点，，，设抛物线的表达式为．（2）已知抛物线的顶点坐标，且经过点，设抛物线的表达式为．（3）已知二次函数有最大值6，且经过点，，设抛物线的表达式为．【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．(1)已知图象过点，顶点坐标为．(2)已知图象经过点，，且对称轴为直线．【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）求满足下列条件的二次函数的解析式：(1)图象经过点，和；(2)图象顶点坐标为，且经过点．题型七、根据二次函数的对称性求函数值【例7】．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）若抛物线经过和两点，则．【跟踪训练1】．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是．题型八、利用二次函数的对称性求最短路径【例8】．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为．【跟踪训练1】．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则的最小值是．

【跟踪训练2】．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为．

题型九：二次函数的对称问题【例9】．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是．【跟踪训练1】．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）二次函数，当和时，的值相等．（1）；（用含有的式子表示）（2）无论为何值，二次函数与交于点，当时，总存在随的增大而减小，则代数式的最小值为．【跟踪训练2】．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线经过点，，（1）抛物线的对称轴为；（2）点，在抛物线上，且，则t的取值范围是．题型十、二次函数压轴问题（线段、周长、面积、四边形）【例10】．（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知抛物线交轴于点，，交轴于点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标．(2)如图，是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当的长度最大时，求点的坐标．【跟踪训练1】．（24-25九年级上·山东聊城·期末）如图，已知二次函数过点，．(1)求此二次函数的解析式；(2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标；(3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；(3)若，求点的坐标．【跟踪训练3】．（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图1，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，若点P是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点Q，当最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最小，求出此时点M的坐标；(3)若点P在直线上的运动过程中，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【跟踪训练4】．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【高分演练】一、单选题1．（25-26九年级上·江苏南通）若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·浙江杭州）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（）A．开口向上 B．y有最小值是3C．对称轴是直线 D．当时，y随x增大而增大3．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）二次函数（a，b，c为常数，且）与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列关于二次函数的说法中正确的是（

）A．二次函数图象的对称轴是直线B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是3C．当时，y随x的增大而减小D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是84．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．5．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点，，在函数的图象上，当，时，则的大小关系是（

）x…0123…y…232…A． B． C． D．6．（25-26九年级上·浙江金华）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（

）A． B． C． D．7．（25-26九年级上·福建福州）若二次函数的图象经过、、、、，则的大小关系是(

)A． B． C． D．8．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（

）A． B． C． D．9．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（

）A．8 B．10 C． D．二、填空题10．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为．11．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是（填序号）．12．（25-26九年级上·新疆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为13．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是填序号14．（25-26九年级上·湖南长沙）如图，抛物线与交于点过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中，结论正确的是（填写序号即可）三、解答题15．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知二次函数经过点、．(1)求二次函数的解析式；(2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴．16．（25-26九年级上·北京·阶段练习）下表是二次函数的部分，的对应值：…0123……2…(1)的值为___________，在直角坐标系中画出该二次函数的图象；(2)当时，的取值范围是______________；(3)当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于二次函数的值，直接写出的取值范围．17．（25-26九年级上·浙江温州）已知抛物线（b，c为常数）的图象经过点和．(1)求抛物线的表达式及对称轴．(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），且，求t的值．(3)将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，当时，平移后的抛物线函数值y的最大值与最小值的和为12，求m的值．18．（25-26九年级上