22.2 二次函数与一元二次方程【八大考点+八大题型】-2025-2026学年九年级上册数学《考点•题型•技巧》讲与练高分突破（人教版） 原卷版

.2二次函数与一元二次方程【考点归纳】【知识梳理】知识点二次函数与一元二次方程之间的关系判别式b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点情况一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况b2-4ac>0抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点有两个不相等的实数根x1，x2b2-4ac=0抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点（，0）有两个相等的实数根x1=x2=b2-4ac<0抛物线y=ax2+bx+c与x轴无公共点在实数范围内无解【题型探究】题型一、抛物线与x轴或y轴的交点【例1】．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数的图象与轴交点的坐标是（

）A．， B．， C．， D．，【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江杭州）抛物线与y轴交点的坐标为，与x轴交点的坐标为．【跟踪训练2】．（24-25九年级上·山东济南·期中）抛物线与轴的一个交点的坐标为，则与轴的另一个交点坐标是．题型二、比较函数值的大小或代数的值【例2】．（24-25九年级上·广东阳江·期中）已知抛物线经过点，则代数式的值为（

）A．24 B．6 C．31 D．19【跟踪训练1】．（24-25九年级上·山西阳泉·阶段练习）已知点在抛物线上，则的由大到小关系是．【跟踪训练2】．．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，抛物线与轴正半轴只有一个交点，与轴平行的直线交抛物线于、，交轴于点．①若抛物线经过，则．②若，则．题型三、图像法确定一元二次方程根的近似解【例3】．．（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表：判断方程的一个解的取值范围是（）A． B．C． D．【跟踪训练1】．．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如表是代数式的部分值的情况．1.11.21.31.4－0.590.842.293.76根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（

）A． B． C． D．【跟踪训练2】．．（2025·安徽池州·二模）已知二次函数中部分和的值如下表所示：则方程的一个较大的根的范围是（

）A． B．C． D．题型四、图解法解一元二次不等式【例4】．．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（

）A．或 B．或 C． D．【跟踪训练1】．．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或【跟踪训练2】．．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（

）A．， B．不等式的解集是C． D．方程的解是，题型五、由不等式求自变量或函数值的范围【例5】．．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（

）A． B．或 C． D．【跟踪训练1】．．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如果都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围（）A．或 B．或C．或 D．或【跟踪训练2】．．（2025·四川泸州·二模）已知二次函数的图象与x轴有两交点，当且该函数图象与轴两交点的横坐标，满足：，时，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．题型六、由二次函数图像确定对于一元二次方程的根【例6】．．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（

）A． B．或 C． D．【跟踪训练1】．．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）二次函数（）的部分图象如图，图象过点，下列结论：①；②；③，④若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【跟踪训练2】．．（25-26九年级上·浙江杭州）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的其中一个解的范围是（

）

A． B．C． D．题型七：截线长问题【例7】．．（24-25九年级下·贵州黔东南）二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（

）A．， B．，C．， D．，【跟踪训练1】．．（22-23九年级上·江苏·期末）如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为．【跟踪训练2】．．（2023·四川南充·二模）如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x轴交于，D两点．若，，四边形的面积为，则．题型八、二次函数与一元二次方程的综合【例8】．．（22-23九年级上·广东广州·期末）已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是．（请用含字母m的代数式表示）23．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数．(1)若，且二次函数象经过点，求函数顶点坐标；(2)若，①求证：二次函数的图象和轴有两个交点；②若，点在该二次函数图象上，当时，的最小值是，求的值．【跟踪训练1】．．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知顶点为的抛物线经过点，且与轴交于，两点（点在点的右边）．(1)求抛物线的解析式；(2)若、是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围．【跟踪训练2】．．（25-26九年级上·江苏苏州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与抛物线交于坐标轴上的，两点，是直线上一动点(不与点A，C重合)．(1)求，的值；(2)将点向上平移个单位长度，得到点．若抛物线与线段有公共点，求点横坐标的取值范围．【高分演练】一、单选题1．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）二次函数（，为常数）与x轴交于点，，则关于x的一元二次方程的解为（

）A．， B．，C．， D．，2．（25-26九年级上·陕西安康·阶段练习）二次函数（为常数，且）与轴的一个交点的横坐标是、顶点坐标为，则下列关于二次函数的说法中正确的是（

）A．二次函数图象的对称轴是直线B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是3C．当时，随的增大而减小D．二次函数图象与轴的交点的纵坐标是83．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知二次函数的图象在x轴上方，则k的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．图象的对称轴是直线5．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）二次函数的图象与x轴交点为，则方程的解是（

）A． B．C． D．6．（2025·湖北孝感·三模）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（

）A．抛物线的顶点坐标为 B．与轴的交点坐标为C．与轴的交点坐标为和 D．当时，对应的函数值为8．（25-26九年级上·广东·期中）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题9（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）若抛物线与直线的交点坐标为和，则一元二次方程的根为．10．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线．36．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则时，该函数的自变量x的取值范围是11．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的为．12．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③当时，；④其中正确结论的本数为（填序号）三、解答题13．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，．(1)求该函数的解析式．(2)利用图象直接写出，当取什么值时，函数值大于：______．14．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表：…012……0343…(1)求这个二次函数的关系式；(2)若，求的取值范围：(3)若、两点均在该函数的图象上，当时，试比较与的大小．15．（25-26九年级上·湖北武汉）已知二次函数的图象如图所示．(1)该抛物线的顶点坐标是________；(2)当x________时，y的值随x值的增大而减小；(3)当时，y的取值范围是________；(4)若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是________．16．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题：(1)直接写出该二次函数的解析式为___________；(2)不等式的解集是___________；(3)y随x的增大而减小的