垂直于弦的直径渗透法制教育教案

24.1.2垂直于弦的直径

一、教材分析

1.作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦

的关系。

2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、

弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和

依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。

二、教学目标

1.知识目标：

（1）充分认识圆的轴对称性。

（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。

（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。

2.能力目标：

让学生经历“实验一观察一猜想一验证一归纳”的研究过程，培养学

生动

手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。

让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。

3.情感目标：

通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时

培养学生勇于探索的精神。

4.法制教育目标：

让学生了解相关的文物保护知识和法律。

三、教学关键

圆的轴对称性的理解

四、教学重点

垂直于弦的直径的性质与其应用。

五、教学难点

1.垂径定理的证明。

2.垂径定理的题设与结论的区分。

六、教学辅助

多媒体、可折叠的圆形纸板。

七、教学方法

本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作

用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大

胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验观察猜想验证归纳”的活动中，与

教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识

的发现者，是学习的主人。

八、教学创设情境引入新课师生互动概念辨拓展升华归纳小结

过程：回顾旧识揭示课题探求新知析快速判定分层作业

教学环节运用新

知

教学时间3分钟5分钟9分钟20分钟4分钟4分钟

教

学设计目

教师活动学生活动

环的

节

情景创设（1分钟）

从实际

出发，

情情景问题：赵州桥主桥拱的跨度（弧所思考：若用直角三角

充分发

景对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点到

形解决，则E是否为

创弦的距离）为7.2m,你能求出赵州桥主桥现问题

设拱的半径吗？中点？

的存在，

让学生了解赵州桥的历史，了解文物

的相关知识，渗透《文物保护法》（第三再带着

条古文化遗址、古墓葬、古建筑、石窟问题去

寺、石刻、壁画、近代现代重要史迹和代

思考它

表性建筑等不可移动文物，根据它们的历

史、艺术、科学价值，可以分别确定为全们之间

国重点文物保护单位，省级文物保护单

的关系,

位，市、县级文物保护单位。……第七条

一切机关、组织和个人都有依法保护文物有助于

的义务。）

定理的

得出。

把一些实际问题转化为数学问题

1

1称性的结论运用旧

观察：两部分重合，发

知识探

现得出圆的对

称性的结论索新问

观察：两部分重合，发

题

现得出圆的对

f"

1培养学

1称性的结论

生的动

手能力，

观察能

力，通过

比较，运

用旧知

识探索

新问题

揭示课题(1分钟)

电脑上用几何画板上作图：

(1)做一圆

揭在圆形纸片上作一条

示(2)在圆上任意作一条弦；

弦，过圆心作的垂线

课

(3)过圆心作的亳线的直径且交于E。

的直径且交于E

题m

在圆形纸片上作一条

Av±yB弦，过圆心作的垂线的

D直径且交于E

（板书课题：垂直于弦的直径）

师生互动（4分钟）

运用几何画板展示直径与弦垂直相交时

实验：将圆沿直径对

圆的翻折动画让学生观察，讨论引导学

师（1）图中圆可能会有哪些等量关系？折

生地过

生（2）弦与直径除垂直外还有什么性质？

观察：图形重合部分，

互“实验

动思考图中的等量关系

观察猜

猜想：、

想”，获

弧弧、

得感性

弧弧

（电脑显示））垂直于弦认识，

猜测出

的直径平分弦，并且

平分弦所对的两条垂直于

弧？弦的直

径的性

质

引导学

生通过

“实验

观察猜

想”，获

得感性

认识，猜

测出垂

直于弦

的直径

的性质

探求新知（5分钟）探索：

提问：这个结论是同学们通过演示观察证明：连结、，则让学生

猜想出来的，结论是否正确还要从理论=,x!自主探

上证明它，下面我们试着来证明它...△丝△

究，大

探则

求已知：是。。的直径，是弦，±・・・所在的直线垂胆求证

新直平分弦

证明：、弧弧、弧弧猜想发

知

C当把。0沿着直径展思维

/—--、

能力，

(/A折叠时，A点和B点

重合归纳结

「、、J

果

V所以、弧弧、弧弧

/

n让学生

（〈板书与电脑显示）垂径定理：垂直于弦

自主探

的直径平分弦，并且平分弦所对的两条

弧。究，大胆

＜进一步也可推知》垂径定理的逆定理：平

求证猜

分弦的直径垂直于弦，并且垂直于弦所对

想发展

的两条弧）思维能

力，归纳

结果

概念辨析（2分钟）图（1）直径不垂

概（电脑显示）练习1吗？直弦运用定

念图（2）垂直弦的理变式

辨不是直径

练习揭

析

图（3）为弦，为示定理

(1)(2)(3)直径，满足垂径定

本质属

注意：直径，垂直于弦,缺一不可!理

注意：直径，垂直于弦,缺一不可!图（3）为弦，为性，强

注意：直径，垂直于弦,缺一不可!直径，，满足垂径定理

调垂径

注意：直径，垂直于弦,缺一不可!

定理两

个条件

运用定

理变式

练习揭

示定理

本质属

性，强调

垂径定

理两个

条件

运用新知（18分钟）学生总结归纳解题思

练习1:（5分钟）路，在练习本作，电这是

一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径10,脑显示一道计

水面宽16。求截面圆心O到水面的距离。

算题，

解：：作，于C

由垂径定理得：是垂径

X16=8

定理的

由勾股定理得：

简单应

OC=>/OB2-BC2=V102-82=6

在学生发表见解的情况下总结归纳：用，可

答:截面圆心0到水面

（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利的距离为6.调动学

运

用垂径定理来解决。（2）重要的辅助线：过生积极

用

性，让

新圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂

知径定理与解直角三角形的有关知识解题。学生通

总结口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最过归纳

容易，另外加上弓形高，Rt三角形少不探究，

T使知识

点有机

的结合

在TS,

使其更

深入地

掌握定

理的内

涵，培

养他们

思维的

严谨性

和深刻

性，提

高分析

和归纳

的能力。

练习2（5分钟）（练习本做、电脑显练习

（情景问题）赵州桥主桥拱的跨度（弧示）

上一结

所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点解：如图，设半径为R

束后，

到弦的距离）为7.2m,你能求出赵州桥主4。」四＜37.4=18.7

桥拱的半径吗？22

OD=OC-DC=/?-7.2.返回情

在Rt/中，由勾股定景问题，

理，得解决这

OA2=AD2+OD\

道之前

即R2=18.72+(R-7.2)2.

不能完

成的题

解得g27.9(m)

答：赵州桥的主桥拱目，体

半径约为

27.9m会成功

的乐趣，

发展思

维能力，

富有成

就感。

练习3:（3分钟）（学生识图、练习这是证

己知：如图，在以。为圆心的两个同心本做、电脑显示）

明线段

圆中，大圆的弦交小圆于C,D两点。证明：过0作，，

求证：=。垂足为E,则=,=o相等的

O

变式题，

所以，=

增强学

生的识

图能力，

注意：作辅助线

注意：作辅助线揭示解

决问题

的方法

----过

圆心向

弦做垂

线，利

用垂径

定理来

解决一

系列类

似问题。

练习4（5分钟）全班同学分层完成，调整

出示分层训练：每组同学完成自己题

难度和

1.如图1,已知、是圆。的两条弦，、目后可做高一层的题

分别为、的弦心距，如果，则可得出什么目梯度，

结论（至少写出两个）？并证明。

让所有

2.已知如图2：在。0中，、为互相

垂直的两条相等的弦，±,±,D、E为垂学生均

足。求证：四边形为正方形。有所收

3.如图3,不过圆心的直线L交。（）

获，让

于，是。0直径。、分别垂直于L,垂足

是E、Fo学生充

⑴求证：

分认识

⑵若与相交，⑴的结论还成立吗？

到垂径

定理是

证明线

段相等

的依据。

图3

拓展升华（3分钟）学生自主探证通过问

如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，

题，引

并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交

换或交换一条，命题是真命题吗？导学生

（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦

拓展思

（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所

对的劣弧维，发

上述五个条件中的任何两个条件都可以推现新目

出其他二个结论

③2③①标

④①

⑼③

快速判断（1分钟）巩固拓

（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦

展知识

所对的

快弧.................................（

速）

判（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于

断弦，并且经过圆

心'.................................（

）

（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直

径平

分............................…（

）

（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦

所对的两

条

弦..................................（

）

（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分

（）

归归纳小结（3分钟）讲评回答回顾这

纳由学生小结，电脑显示

节课的

小知识总结：

结这节课我们主要学习了两个问题：一是圆内容，

的轴对称性（学生回答），它是理解和证

加深学

明定理的关键；二是垂径定理（学生回答），

它是这节课的重点要求大家分清楚定理的生对知

条件和结论，并熟练掌握定理的简单应识的印

用，还推知它的里定理。另外它的其他推

象，反

论级应用我们下节课探讨。

讲评总结：馈学生

1学习垂径定理后，你认