冲刺2024年高考数学真题重组卷（文）01（全国甲卷、乙卷）

冲刺2024年高考真题重组卷（全国甲卷、乙卷通用）

真题重组卷（文）01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求

的。

1.（2023•全国.统考高考真题）设全集U={0J2468},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则（）

A.{0,2,4,6,8}B.{04,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

2.（2023・全国•统考高考真题）在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（2023・北京・统考高考真题）己知向量匕〃满足a+b=（2,3）,a-〃=（-2』），则一闻?=（）

A.-2B.-1C.0D.1

4.（2023•全国•统考高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准

备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

5211

A.-B.-C.—D.—

6323

5.（2023・天津•统考高考真题）已知也}为等比数列，S”为数列上}的前〃项和，4“=2S”+2,则%的值

为（）

A.3B.18C.54D.152

6.（2023•全国•统考高考真题）执行下面的程序框图，输出的8=（）

/输入〃=3,Z=1,4=2,A=17

A=A+B

B=A+B

k=k+\

/输标/

A.21B.34C.53D.89

22

7.（2023•全国•统考高考真题）设椭圆C,:=+丁=1（。>1）C:―4-r=1的离心率分别为.若G=Gq，

a4

则。=（）

A.也B.&C.GD.V6

3

8.（2019•全国漓考真题）已知曲线y=〃e'+xlnx在点处的切线方程为y=2x+〃，则

A.a==-1B.n=p,b=]C.a=e},b=\D.a=e~\h=-1

2

9.（2023•全国•统考高考真题）已知椭圆C:5+y2=i的左、右焦点分别为巴，F,,直线y=x+m与C交于

A,8两点，若面积是△为48面积的2倍，则〃?=（）.

A.\B.—C.--D.--

3333

10.（2022•浙江•统考高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cn?）

A.22兀B.8nC.—兀D.——7t

33

11.（2023・全国•统考高考真题）设函数〃x）=2GF在区间（0』上单调递减，则。的取值范围是（）

A.（-00,-2]B.[—2,0）

C.（0.2]D.[2,+a））

12.（2022•全国•统考高考真题）将函数/（x）=sin1"+£|3>0）的图像向左平移5个单位长度后得到曲线

C,若C关于.y轴对称，则3的最小值是（）

第II卷（非选择题）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（2022•全国•统考高考真题）记S“为等差数列｛〃〃｝的前〃项和.若2s3=3S2+6,则公差d=.

jt+>1>0.

14.（2020•全国•统考高考真题）若x,），满足约束条件）亚0,,则z=3%+2），的最大值为.

x<1,

15.（2023•全国•统考高考真题）若〃x）=（.i-l）2+ax+sin卜+吁为偶函数，则“=.

16.（2023•全国•统考高考真题）已知点S,A3,。均在半径为2的球面上，4?。是边长为3的等边三角形，

SA_L平面ABC,则SA=.

三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17~21题为必考颍，每个试题

考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分.

17.（2023•全国•统考高考真题）己知在A8C中，A+B=3C,2sin（A-C）=sinB.

⑴求sinA；

（2）没A5=5,求AS边上的高.

18.（2023•全国•统考高考真题）如图，在三棱柱48C-A4G中，A。J■平面A3C,ZACB=90L

（1）证明：平面ACGA，平面BBC。；

（2）没AB=%艮9=2,求四棱锥A-的高.

19.（2023•全国•统考高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其

中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白

鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.试验结果如下：

（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.

_2+t

22.（2022•全国•统考高考真题）在直角坐标系中，曲线G的参数方程为「一一T（/为参数），曲线G

y=4t

:2+s

的参数方程为「一一工（s为参数）.

y=-W

（1）写出G的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为2cose-sine=0,求G与G

交点的直角坐标，及G与交点的直角坐标.

23.（2022•全国•统考高考真题）已知小2,。均为正数，且与2+/+牝2=3,证明：

⑴a+0+2cW3：

⑵若b=2c,贝让+123.

冲刺2024年高考真题重组卷（全国甲卷、乙卷通用）

真题重组卷（文）01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求

的。

1.（2023•全国.统考高考真题）设全集。={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则（）

A.{024,6,8}B.{0,1,46,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

【答案】A

【分析】由题意可得gN的值，然后计算MugN即可.

【详解】由题意可得6N={2,4,8},则={024,6,8}.

故选:A.

2.（2023•全国•统考高考真题）在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为（l+3i）（3-i）=3+8i-31=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.

故选:A.

3.（2023•北京•统考高考真题）已知向量小〃满足a+力=（2,3）,。一〃=（一2,1）,则（）

A.-2B.-1C.0D.I

【答案】B

【分析】利用平面向量数量枳的运算律，数量枳的坐标表示求解作答.

【详解】向量a,。满足4+b=（2,3）,d-b=（-2,l）,

所以一M|2=（〃+〃）.（a-b）=2x（-2）+3xl=-l.

故选：B

4.(2()23•全国•统考高考真题)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准

备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为()

A.-B.\C.1D.-

6323

【答案】A

【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不问主题的结果，再利用古

典概率求解作答.

【详解】用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：

123456

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2⑵(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有36个不同结果，它们等可能，

其中甲乙抽到相同结果有(LD,(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个，

305

因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有3()个，概率P=J==.

366

故选：A

5.(2023•天津•统考高考真题)已知｛4｝为等比数列，S”为数列｛/｝的前〃项和，。向=2S”+2,则处的值

为()

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公

比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得知的值.

【详解】由题意可得：当〃=1时，％=2%+2,即。应=24+2,

当〃=2时，6=2（q+里）+2,即=2（4+aq）+2,

联立①②可得4=2,q=3,则q=4/=54.

故选：C.

6.(2023・全国•统考高考真题)执行下面的程序框图，输出的8=()

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出.

【详解】当々=1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A=l+2=3,B=3+2=5,4=1+1=2；

当七=2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A=3+5=8,8=8+5=13,&=2+1=3；

当k=3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A=8+13=21,8=21+13=34,攵=3+1=4；

当人=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出6=34.

故选：B.

22

7.(2023•全国•统考高考真题)设椭圆G：=+/=](〃+y2=1的离心率分别为用6.若e,=石弓，

a'4

则。=()

A.羊B.y/2C.73D.76

【答案】A

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

【详解】由得e：=3e：,因此士」=3x",而a＞1,所以。=幽.

•'4a~3

故选：A

8.（2019.全国•高考真题）已知曲线y=ae'+xlnx在点（1j）处H勺切线方程为y=2x+〃，则

A.a=e,b=-\B.a=e,b=lC.a=e~\b=1D.a=e~',b=-\

【答案】D

【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得。，将点的坐标代入直线方程，求得6.

【详解】详解：/=aex+lnx+1,

&7k=ae+l=2,/.a=e~'

将（1,1）代入y=2x+b得2+。=3-1,故选D.

【点睛】本题关键得到含有出人的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.

2

9.（2023・全国•统考高考真题）已知椭圆C：q＞+y2=l的左、右焦点分别为片，尸2,直线y=x+〃?与c交于

A,8两点，若△毋人B面积是面积的2倍，则〃?=（）.

A.\B.—C.--D.--

3333

【答案】C

【分析【首先联立更线方程与椭圆方程，利用△＞（）,求出小范围，再根据三角形面积比得到关于利的方程，

解出即可.

y=x+m

x22，消去丁可得4/+6恤+3/-3=0,

因为直线与椭圆相交于点,则△=I，（加）＞解得一＜机＜

A836"—4x432—30,22,

设8到A3的距离4E到A3距离出，易知耳卜夜,0）,用（＞/2,0）,

i.|.（.I-V2+in|.+

则d.=-----尸—，d=----；=—,

V22&

|-x/2+w|

一?，解得〃?=—也或_30（舍去）,

S卅8I署及+〃?1"甯lx/2+n?zl3

~ir

故选:C.

10.（2022・浙江•统考高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cm'）

是（）

A.227rB.8%C.—九D.—H

33

【答案】C

【分析】根据三视图还原儿何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可

根据球，圆柱，圆台的体积公式求出.

【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的

底面半径，I员I台的上底面半径都为1cm,圆台的下底面半径为2cm,所以该几何体的体积

22:?23

V=—X—7txr+7rxlx2+-x2x（xx2+7txr+Vnx2xnxl1=^^-cm.

233\I3

11.（2023•全国•统考高考真题）设函数〃x）=2*"）在区间（0,1）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.（-03,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,同

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数），=2'在R上单调递增，而函数/（力=2小甸在区间（0,1）上单调递减，

则有函数），=x（x-a）=（x-@）2-《在区间（0,1）上单调递减，因比解得

242

所以"的取值范围是[2,T8）.

故选：D

12.（2022・全国•统考高考真题）将函数/*）=而[5+向（。＞0）的图像向左平移^个单位长度后得到曲线

C,若C关于），轴对称，则”的最小值是（）

A.-B.-C.-D.；

6432

【答案】C

【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得^+^=^+上见及£Z,即可求出”的最小值.

JJJ

+冗.,3兀冗、

【详解】由题意知:曲线。为丁=$由=sin（6c）x+-^-+y）又c关于y轴对称，则

3

解得3=1+2A,kwZ,又。>0,故当k=0时，&的最小值为1

•J，

故选：C.

第II卷（非选择题）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（2022•全国•统考高考真题）记S“为等差数列｛4｝的前〃项和.若2s3=3S2+6,则公差d=

【答案】2

【分析】转化条件为2（4+2J）=2f4+d+6,即可得解.

【详解】由2s3=3S2+6可得2（4+%+4）=3（4+生）+6,化简得2%=4+a2+6,

即2（4+"）=2q+d+6,解得4=2.

故答案为：2.

x+y>0,

14.（2020•全国•统考高考真题）若x,y满足约束条件修4-），？。，，则z=3x+2y的最大值为.

x<1,

【答案】7

【分析】作出可行域，利用截距的儿何意义解决.

【详解】不等式组所表示的可行域如图

3r77

因为z=3x+2y,所以y=—/+：,易知截距I越大，则z越大，

3r3r，

平移直线），=-£，当>=-，■+：经过A点时截距最大，此时z最大，

y=2x（x=\

由1，得｛c,4L2），

x=\[y=2

所以Znux=3x14-2x2=7.

故答案为：7.

【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想,

是一道容易题.

15.（2023•全国•统考高考真题）若/（"=5-1『+。1+$皿0+］）为偶函数，则“=.

【答案】2

【分析】利用偶函数的性质得到=从而求得〃=2,再检验即可得解.

【详解】因为丁=，（"=（工-1）2+如+$而1+1）=（%-1f+0¥+即％为偶函数，定义域为R,

故〃=2,

此时〃x）=（x-l『+2X+COSXUX2+1+COSX,

所以f（一X）=（-X）+1+COS（-x）=X2+1+cosX=/（A）,

又定义域为R,故/（力为偶函数，

所以4=2.

故答案为：2.

16.（2023•全国•统考高考真题）已知点S,A8,。均在半径为2的球面上，A8C是边长为3的等边三角形,

SA_L平面ABC,则S4=.

【答案】2

【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.

【详解】如图，将三棱锥S-A8C转化为正三棱柱SMN・ABC,

设，A5C的外接圆圆心为。i，半径为一，

.二48-3.26

则sinN4cB”:可得;'=6，

T

设三棱锥S—A8C的外接球球心为O,连接OAOQ,则。4=2.O«=gsA,

因为OT=OO：+aT,即4=3+』S4,解得%=2.

4

故答案为：2.

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，

把空间问题转化为平面问题求解；

（2）若球面上四点P、A、B、C阂成的三条线段外、PB.PC两两垂直，且必=小PB=b,PC=c,一般

把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4/?2=/+/+/求解：

（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；

（4）球和正方体的极相切时，球的直径为正方体的面对角线长：

（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位

置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题

考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分.

17.（2023•全国•统考高考真题）已知在二ABC中，A+B=3C,2sin（A-C）=sinB.

⑴求sinA；

（2）设A8=5,求AB边上的高.

【答案】（1）亚

10

(2)6

【分析】（I）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；

（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出少，根据等面积法

求解即可.

【详解】（1）A+B=3C,

:.n-C=3C,即C=2,

4

又2sin（A-C）=sinB=sin（A+C）,

..2sinAcosC-2cosAsinC=sin4cosC+cosAsinC,

/.sinAcosC=3cosAsinC,

/.sinA=3cosA,

即tan4=3,所以0<A<],

3_3y/io

/.sinA=

Vio-io

(2)由(1)知，cosA=—J==也。，

Vio10

由©118=$111(4+(7)=5皿485。+8545皿。=^^(史地+^^)=^^，

210105

,2石

.5x----

由正弦定理，-£-=-2-,可得力=—^-=2加，

sinCsinB。2

T

:.-ABh=-ABACsinA,

22

h=b-sinA=2x/10x=6.

10

18.（2023•全国•统考高考真题）如图，在三棱柱ABC-A由C中，A。，平面A8C,ZAC8=9（F.

(1)证明：平面ACGAL平面BB£C；

(2)设AB=AtB,AAl=2f求四棱锥4一8四C0的高.

【答案】(I)证明见解析.

(2)1

【分析】(1)由4。，平面A〃。得ACJLBC,又因为A。，。。，可证"C工平面八CGA，从而证得平面

ACGA，平面；

(2)过点A作A0_LCC，可证四棱锥的高为AO,由三角形全等可证AC=AC,从而证得0为CG中点，设

AC=AC=x,由勾股定理可求出X,再由勾股定理即可求A0.

【详解】(1)证明：因为AC，平面ABC,BCu平面ABC,

所以ACJ.8C,

又因为ZACB=90,即AC/3C,

ACACu平面4CGA,ACcAC=C,

所以8C上平面ACGA,

又因为ACu平面8CCM,

所以平面ACGAL平面BCCM

(2)如图,

过点A作AO，CG，垂足为O.

因为平面ACC|A_L平面BCC]Bi,平面ACC]A】平面BCCi^=cc\，AOu平面ACC]A,

所以AO_L平面4CG4，

所以四棱锥4-38CC的高为AO.

因为AC_L平面ABC,ACICu平面ABC,

所以AC18C、ACJLAC、

又因为A8=A8,BC为公共边，

所以，BC与“ABC全等，所以AC=4C.

设AC=AC=x,则AG=x，

所以。为CG中点，0。1=3明=1、

又因为AC_LAC,所以4。2+4。2=明2,

即f+/=22,解得x=应，

所以A°=jACj—oc：=J（&y_i2=I,

所以四棱锥4-B8CC的高为1.

19.（2023・全国•统考高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其

中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白

鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(1)计算试验组的样本平均数：

(2)(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数〃?，再分别统计两样本中小于m与不小于〃?的数据的个数,

完成如下列联表

匚R3

对照组□□

试验组□□

(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增

加量有差异？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

【答案】(1)19.8

(2)(i)m=23.4；列联表见解析，(ii)能

【分析】(1)直接根据均值定义求解；

(2)(i)根据中位数的定义即可求得〃?=23.4,从而求得列联表；

(ii)利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.

【详解】(1)试验组样本平均数为：

去(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2

+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)=m396=19.8

(2)(i)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21

位数据的平均数，

由原数据可得第11位数据为18.8,后续依次为19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,…,

故第20位为23.2，第21位数据为23.6，

-..23.2+23.6.

所ri以雨=---------=23.4,

2

故列联表为：

<m>ni合计

对照组61420

试验组14620

合计202040

/一、•尔叱、40x(6x6-14xl4)2

(n)由(i)7n可得，K~=-----------------=z6.400>3o,8o41,

20x20x20x20

所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常济境中体重的增加最有差异.

20.(2023•全国•统考高考真题)已知困数f(x)=a(e'十a)-x.

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当〃>0时，/3>21倘+?.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)先求导，再分类讨论与。>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；

(2)方法一：结合(1)中结论，将问题转化为4-J-lna>0的恒成立问题，构造函数

2

g(a)=a--\na(a>0)f利用导数证得g(。)>0即可.

方法二：构造函数力(x)=c'-xT,证得e-x+1,从而得到了(x)Nx+lna+l+a?-x,进而将问题转化为

〃2一3一皿。>0的恒成立问题，由此得证.

【详解】(1)因为/(x)=a(e'+a)-x,定义域为R,所以『(耳=加'-1,

当〃40时,由于e">0,则oeYO,故/'(%)=优*-1vO恒成立,

所以/(可在R上单调递减；

节4>()时，令/'(x)=4e'-1=0,解得x=-lna,

当xv-lna时，则f(x)在(e,Tna)上单调递减;

当x>-lna时，/”)>(),则/⑺在(一皿“也)上单调递增;

综上：当。40时，/(“在R上单调递减；

当〃>0时，/(x)在(fo,-Ina)上单调递减，/(X)在(—Ina,”)上单调递增.

(2)方法一：

由(1)得，/(%)疝n=/(-1na)=a(e"“+a)+lna=l+/+lna,

331

要证/(x)>21na+；,即证1+〃+ln〃>21na+；,即证a。一万一Ina>0恒成立

令g(a)=/—lna(a>0),则g,(a)=2a--=2a—1»

2aa

令g’(a)<0,则0<。<孝；令g'(a)>0,则〃>孝；

所以g(a)在(。，£|上单调递减，在侔，+』上单调递增，

所以g（a*n=g[¥）=（曰）"?~ln^=，n^>°，

则g(。)>0恒成立,

所以当。>0时，f(x)>21na+|恒成立，证毕.

方法二：

令。(力二©、7-1，则”(x)=e，-l,

由干y=e,在R上单调递增，所以“(x)=e、-1在R上单调递增，

X/r(O)=e°-l=O,

所以当XV。时，"(x)vO;当x>0时，/«力>0；

所以/?(x)在(-a),0)上单调递减，在(0,y)上单调递增，

故」(力2%(0)=0,则e*Nx+],当且仅"ix=O时，等号成立,

因为/(x)=a(e*+a)-x=ae'+a，-x=e"""+/-xNx+lna+l+a，—x,

当且仅当x+lna=O,即x=-Ina时，等号成立,

331

所以要证JS)>2lna+-,即证x+lnq+l+/-x>21n以+—，即证/——lna>0,

222

令8(〃)="一:一In“(a>0),则g,(a)=2a--=-1

2aa

令g'(a)<0,则0<4<孝；令g'(a)>0,贝乎：

所以g(a)在上单调递减,上单调递增,

所以g(〃)min=g-y-=*)-7-ln-y-=，n^>0

则g(〃)>0恒成立,

所以当。>0时，/3)>2111。+:恒成、7：,证毕.

21.(2022•全国.统考高考真题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为人点。(〃,0),过b的直线交C于M,

N两点.当直线M。垂直于％轴时，|M同=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线M2NO与C的另一个交点分别为A,B,记直线MMA8的倾斜角分别为a/.当a-夕取得最大

值时，求直线的方程.

【答案】⑴产=4力

(2)AB:x=&y+4.

【分析】(1)由抛物线的定义可得=P+5，即可得解；

(2)法一：设点的坐标及直线MN:x=my+l,由韦达定理及斜率公式可得2心「再由差角的正切公

式及基本不等式可得也，设直线AB:x=^y+〃，结合韦达定理可解.

【详解】(1)抛物线的准线为X=-，，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p,

此时|M川=p+5=3,所以p=2,

所以抛物线。的方程为V=4K；

(2)［方法一］:【最优解】直线方程横截式

/2\,

设历喈，力

9"直线MN:x=my+1,

x=my+1,

由I2,可得产一4研，一4=（）,A＞O,y1y2=-4,

y=4x

ku）'。2二4、-一北二4

由斜率公式可得以货_y+%,八〃-代_片_%+%，

4444

直线MD-.x=土匚•丁+2,代入抛物线方程可得V-"*用._8=0,

△＞。,到必=一8,所以为=2%，同理可得乂=2%,

44

所以k,\B

%+M2(,+必)2

乂因为直线MN、A/6的倾斜角分别为a,夕，所以砥8=tan/=g=A¥

22

若要使。一户最大，则户c（0，'J，设右,、，=23"=2上＞。，则

tana-tan/?1叵

tan(a-/?)

1+tanatan01+2k'4，

当且仅当g=22即2=立时，等号成立，

k2

所以当。-尸最大H寸，y旦,设直线48:K=夜＞，+〃,

r\D2

代入抛物线方程可得V-4夜），-勺?=0,

A

＞o,y3y4=-4n=4yty2=-16,所以〃=4,

所以直线A8:x=0y+4.

［方法二］:直线方程点斜式

由题可知，直线MN的斜率存在.

设M（5，yJ,N（如力），4（七,为），8（%必），直线也:尸左（“-1）

由PT?：7）得：高2-（2&2+4b+产=0,中2=1,同理，）/2=4

y=

直线—J（x-2）,代入抛物线方程可得：内&=4,同理，A-2X4=4.

*一2

代人抛物线方程可得:）旧=-8,所以必=2%，同理可得乂=2凹,

_必一/_2（”-y）一月一）

由斜率公式可得：.一七一七一4

1_12(x2f

再N

（下同方法一）若要使a一夕最大，则少£（0,1

/_小_lana-tan-_Z:_1i=4i

设士MN=2g=2〃>0,则Ma1+tanatan/?\+2k2]_2k~

+2卜4，

k

当且仅当。=2攵即4=正时，等号成立，

&2

所以当a一4最大时，448=孝，设在线=〃,

代人抛物线方程可得/一4五y-4〃=0,A>0,=-An=^yxy2=-16,所以〃=4,所以直线

AB:x=y/2y+4.

［方法三］:三点共线

设M今方，川

14

I4）14

设P（f,0）、若P、M、N三点共线，由?M=19T,yJ,QV=lqT,y2

所以仅一，％=Y-Z加化简得y%=-41,

反之,若y%=-4/,可得MN过定点G，o）

因此，由M、N、尸三点共线，得,月二-4，

由M、。、4三点共线，得乂丹=-8,

由N、。、8三点共线，得%为=一8,

则y3y4=4y%=T6,A8过定点(4,0)

（下同方法一）若要使夕最大，则〃e（0,5卜

/_A\_tana-lan-_k

设2”,v=2旗8=2A>0,则a1+tanatan/7l+2k2一立

4，

当且仅当!=2女即2=立时，等号成立,

k2

所以当二一夕最大时，攵=Y2,所以直线48:%=应），+4.