先进表征方法与技术 课件 3.4 小角散射（SAS）

3.4小角散射（SAS）4小角散射（SAS）小角X射线散射（SAXS）和小角中子散射（SANS）是研究凝聚态物质结构的重要手段。这两种方法都提供了关于散射对象形状、大小和空间组织的信息，这些对象的尺度大约在几埃到数百纳米之间。SAXS在20世纪30年代由Guinier首创和开发。他的经典著作涵盖了SAXS的理论和实践。相较之下，SANS是大约40年后在20世纪70年代发展起来的，当时已有必要的中子探测和产生技术。通过小角散射，可以研究许多不同类型的样品，包括聚合物样品、表面活性剂聚集体、胶体颗粒或具有生物学意义的样品，例如模型膜或蛋白质溶液等。图3-23展示了主要散射技术的不同空间分辨率及其与光学显微镜和电子显微镜技术的比较。4小角散射（SAS）图3-23主要散射技术的不同空间分辨率及其与光学和电子显微镜技术的比较4.1小角散射的基本原理小角散射研究具有吸引力，因为在小散射角度下几乎可以忽略对散射图形的所有角度依赖性校正。这与X射线衍射（XRD）实验非常不同，在大角度下，需要考虑与角度相关的校正，例如极化、吸收、几何形状等。通常进行SAXS测量是因为需要了解纳米尺寸范围内某种结构的周期性。例如，脂质体是大多数生物细胞壁的重要组成部分。在这种情况下，只需要确定衍射峰的位置来确定晶体结构。与所有散射数据一样，散射图像（倒易空间）中峰的位置与实际空间中结构的周期d呈反比关系。因此，在SAXS中，d=2π/q，其中q是衍射峰的位置。实际空间中的结构越大，散射的散射角度就越小。除了晶粒的衍射峰之外，还有许多不同种类的结构可以贡献SAXS信号。这些结构的大小通常在纳米范围内（1-100nm）。要理解整个SAXS信号，需要了解在所有类型的材料中纳米尺度上可能存在的不同种类的结构。4.1小角散射的基本原理图3-24展示了形状不同的晶粒在X射线散射中产生不同峰形的情况。峰的形状在很大程度上取决于晶体的形状和大小，散射曲线在SAXS区域遵循与WAXS峰“尾部”相同的幂律I(q)∝q–n。SAXS信号实际上告诉我们关于晶粒的形状和大小的信息。正如通过使用例如谢勒公式从相应的衍射峰宽度确定某些方向上晶粒的宽度一样，同样可以通过SAXS信号的宽度和形状确定晶粒或纳米颗粒的大小和形状。在确定纳米颗粒等的大小和形状时，SAXS相对于衍射研究的优势在于它也可以用于研究非晶态纳米颗粒或大分子的形状和大小。4.1小角散射的基本原理图3-24形状不同的晶粒在X射线散射中产生的不同峰形a）立方体、圆盘和棒状的散射曲线，三者在3、2或1维度上均具有3nm的边长，且散射中心之间的晶格间距为0.3nm。b）立方体、圆盘和棒状的强度乘以qn的线性刻度，分别对应n为4（Porod图）、2（Kratky图）和1。虚线标记了反射的理论位置，根据q=2π/dhkl计算得到4.1小角散射的基本原理散射矢量当X射线在原子处发生散射时，每个原子都会从各自的位置发出球形波。由于Thomson散射过程中发出的光波与入射平面波同步，它们将在探测器的位置产生干涉图样。干涉图样可以是建设性的（相位相同），破坏性的（相位相反），或介于两者之间的状态，这取决于观察角2θ、光发射原子之间的方位和距离r，如图3-25所示。在建设性的排列中，干涉在探测器上产生亮点，而在破坏性的排列中，波相互抵消，从而在探测器上产生暗点。散射结果是一个二维干涉图样，其中强度在探测平面上的各个位置（通常以散射角2θ和方位角φ进行测量）有所不同。该干涉图样特征性地反映了材料的内部结构，即原子之间的方位和距离。4.1小角散射的基本原理散射矢量图3-25相互干涉波的强度取决于发射原子之间的距离以及它们相对于入射和观察方向的取向。当波相位相同时，探测器接收到明亮的信号；当波相位相反时，探测器接收到黑暗的信号每个距离都是相对于所使用辐射的波长λ来测量的。因此，每当r/λ比例相同，就会产生相同的干涉图样。为了尽量避免依赖波长，散射图样通常表示为q的函数。4.1小角散射的基本原理散射矢量q=4πλ∙sin2θ2(3-15)q通常称为“散射矢量”或“动量传递”，其维度是长度的倒数（如1/nm），这解释了为什么散射图样通常被称为“倒空间中的结构”，而粒子则被认为具有“实空间中的结构”，因为它们可以用长度单位（如nm）来测量。4.1小角散射的基本原理散射长度密度在小角X射线散射中，理论模型假设材料在原子尺度上具有均匀的平均电子密度。为了计算平均散射长度密度，我们必须首先计算原子的散射能力，而描述原子散射X射线强度的数值由原子散射因子f给出。它取决于光子能量和散射角度，在小散射角度下，可以忽略角度依赖性。因此，在SAXS中，原子的原子散射因子表示为：f=Z+f'(E)+f''(E)(3-16)其中Z是原子中的电子数，E是光子能量，f'(E)和f''(E)是所谓的异常散射因子（或色散系数），它们是特定元素特有的，并且在元素的吸收边缘迅速变化。f'通常为负值，并在元素的每个吸收边缘处达到最小值，而与虚数单位相乘的f''实际上与吸收有关，并且在每个吸收边缘急剧上升。4.1小角散射的基本原理散射长度密度尽管原子散射因子以电子单位表示，但我们希望使用散射振幅或散射长度b[cm]，这与小角中子散射中的符号兼容，并且定义为b=ref。经典电子半径为re=2.818×10-13cm。可通过使用以下表达式计算化合物的散射长度密度：ρe=reρNAn=1Nxnfn/n=1NxnMn(3-17)其中xn是n类型元素的比例，r是材料的密度，单位为g/cm³，Mn是每种元素的摩尔质量，单位为g/mol，而NA是阿伏加德罗常数（6.022×1023mol-1）。散射长度密度的单位是cm-2。4.1小角散射的基本原理散射长度密度散射强度取决于两相之间的散射长度密度之差Δρe，而不是散射长度密度的绝对值。这个差异也被称为对比度。对比度越高，观察到的散射就越多。如果样品中两个结构不同的部分具有相同的散射长度密度，这些部分就无法相互区分。在选择大分子的溶剂时，可以根据大分子和溶剂之间的密度差异来增加或减少散射。4.2实验方法与数据分析实验方法在典型的SAXS实验中，二维（2D）X射线探测器放置在距离样品几米远的地方，以检测小角度散射的X射线。只有一小部分X射线被样品散射，大部分入射的X射线束（初级束）穿过样品。目前可用的灵敏位置SAXS探测器可能会因初级束击中探测器而饱和或损坏，因此必须在探测器前仔细放置一个束挡，以接收整个初级束。图3-26显示了带有WAXS的SAXS装置的示意图。基本的SAXS装置可以扩展和修改以包含其他方法，如WAXS、荧光光谱、红外光谱等。样品环境可以适应各种原位实验的装置，从简单的加热和拉伸实验，到新型的快速混合停止流动细胞，甚至是流变学实验。4.2实验方法与数据分析实验方法图3-26在同步加速器SAXS光束线上，SAXS/WAXS装置的示意图。样品到探测器的距离通常可以从小于一米到几米不等。散射角记作2θ，散射矢量记作q只有在样品的透射率被准确知道的情况下，才能对背景散射进行校正。为此，光束阻挡器可能包含一个光电二极管，通过它可以监测主光束强度，从而测量样品的透射率，即通过样品的直接光束强度与没有样品时的强度进行比较。或者，可以将一个单独的光电二极管移动到光束中，在测量SAXS之前短时间内测量样品的透射率。4.2实验方法与数据分析实验方法此外，空气对X射线的吸收和散射在通常测量SAXS的X射线能量下是显著的，因此样品前后通常完全处于真空中（或氦气中），甚至探测器也可能放置在真空中。如果样品需要在空气中测量，则空气中的光束路径保持尽可能短。必须注意确保样品前后真空管道的窗口没有散射到探测器。因此，如果探测器放置在空气中，在真空窗口之后，光束阻挡器应放置在真空侧，以防止来自真空窗口和随后空气路径的散射。4.2实验方法与数据分析幂律在SAXS和SANS中，幂律（powerlaws）是用于描述散射强度随散射矢量q变化的趋势的一种常见模型。幂律关系可以提供有关样品内部结构和特性的关键信息。在SAXS曲线中，散射强度I(q)通常遵循幂律关系：I(q)∝q-α(3-18)其中α是幂律指数。所有粉末在SAXS中都会呈现幂律散射。具有不同尺寸孔隙的多孔结构会表现出幂律散射，而在散射较弱的薄膜样品（如金属箔片）的情况下，甚至可能观察到主要来自样品表面粗糙度的幂律散射。由于幂律通常会延伸到WAXS区域，达到较大的q值，因此重要的是要考虑来自WAXS的背景。这个背景通常是Aqⁿ+B的形式，其中A、B和n是正实数。在拟合SAXS曲线的幂律指数之前，应该确保不存在这样的背景，或者已经从散射曲线中减去该背景。为了能够正确拟合这个WAXS背景，应该将SAXS曲线测量到足够大的q值。4.2实验方法与数据分析幂律幂律中α≠1、2或4的情况可以解释为样品中的分形结构引起的。这里的分形类似于自然界的“粗糙”结构。这与分形概念的发明者、BenoîtMandelbrot的原始想法相一致，他将分形理论应用于云层、山脉和其他粗糙的自然物体。一个在许多长度尺度上扩展的非常复杂的粗糙度可以通过一个数字，即分形维数D来描述。值得注意的是，这个数字与幂律指数α直接相关。在SAXS曲线中，幂律可以分为源自质量分形（Dm<3）和源自表面分形（Dm=3，Ds<3）的幂律。这两种分形类型的区别在于，质量分形中，粗糙度贯穿整个体积内部（如雪花，或一些带有孔洞的奶酪），而表面分形中，粗糙度仅存在于表面（如星球表面上的山脉和深谷，而星球内部并非多孔）。在SAXS中，幂律指数通常取值范围为0<α≤4。也可能出现大于4的值，但其起源不同。散射遵循以下规律：4.2实验方法与数据分析幂律I(q)~q–Dm用于质量分形(0<Dm<3)I(q)~q–(2d–Ds)用于表面分形(0<Ds<3)表3-1显示了一些在SAXS实验中观察到的分形维度的例子。值得注意的是，对于具有平滑表面的三维散射物体，通常会观察到“Porod定律”，即α=4。这种类型的幂律散射，例如在球形纳米颗粒或具有平滑表面的两相系统中被观察到，这种结构在许多多孔材料中发现。表3-1质量分形维度Dm、表面分形维度Ds和幂律指数α在三维结构系统（d=3）中的一些示例4.2实验方法与数据分析Porod常数SAXS曲线尾部的幂律区域与样品中的总表面积有关。如果样品由两个相组成，且SAXS曲线的尾部区域符合Porod定律，则可以从SAXS曲线计算出样品的表面积与体积比。在实际实验中，Porod定律表达为I(q)=Gq-4+C(3-19)在高q值区域的表现通常叠加在一个背景上（在这里只是常数C，更复杂的背景应在分析前被减去）。常数G可以通过拟合(q4,Iq4)曲线得到。Porod常数的形式是：KG=limq→∞q4I(q)(3-20)如果Porod定律成立，常数G和KG应该是相同的常数。现在，我们可以得到样品的表面积与体积比S/V[m-1]。4.2实验方法与数据分析Porod常数SV=KG2π(∆ρe)2(3-21)在这里，Δre[cm/cm3]是材料两个相的散射长度密度之差。这里的I(q)在绝对强度尺度上，即归一化到样品的照射体积V，因为我们使用的定义是I(q)是宏观微分散射截面，其单位是[cm-1]。进一步地，特定表面积Sm[m2/g]即两个相之间的界面面积归一化到其中一个相的质量上，是通过以下方式计算的：Sm=S/Vρ(3-22)其中，r是其中一个相的密度，在多孔双相系统的情况下实际上是样品的密度。通常，从SAXS得到的特定表面积值会大于气体吸附实验得到的值，因为气体无法进入封闭的孔，而SAXS对开放和封闭的孔没有区别。4.2实验方法与数据分析粒子散射纳米粒子的形状、大小和多分散性也可以通过SAXS进行研究。与显微镜方法不同，SAXS可以在各种溶剂和条件下为各种纳米粒子提供统计平均信息，通常浓度范围从约1mg/mL到几十mg/mL不等。样品体积可以很小，最低体积约为10μL用于静止样品池。这使得SAXS成为研究生物大分子及其行为的吸引力工具。图3-27显示了两个球体和两个球形核壳粒子的理论SAXS曲线。通过应用方形滤波函数，使图中的曲线被模糊处理，使其看起来更类似于实验曲线。最常用的是双对数比例，因为它强调了较大q值的细节。在分析粒子的SAXS曲线时，通常也会使用Guinier和Kratky图。在对曲线进行定量分析之前，通过多种不同的方式绘制曲线进行定性分析通常是一个好方法。4.2实验方法与数据分析粒子散射图3-27两个球体和两个球形核壳粒子的理论SAXS曲线a）对球体的理论SAXS曲线进行对数比例表示（实线），其中R1=5nm和R2=4nm，以及大小相同但具有不同散射长度密度re的核壳粒子（3，4）。虚线显示了拟合的Guinier近似。b）Guinier图：球体1的SAXS（实线）和Guinier近似（虚线）在（q2,ln(I)）轴上。Kratky图：所有粒子的SAXS在（q,Iq2）轴上。垂直箭头显示了球体1的Guinier近似的极限。最后一个图显示了四个球对称粒子的径向电子密度r曲线4.2实验方法与数据分析粒子散射此外，在溶液中的大分子或纳米粒子的情况下，应该通过考虑溶剂的体积分数来减去来自溶剂的背景：Ip(q)=Itot(q)-(1-Φ)Isol(q)(3-23)其中Ф是溶液中颗粒的体积分数，Ip(q)是颗粒的散射强度，Itot(q)是样品溶液总强度，Isol(q)是测量和纠正的纯溶剂强度。4.2实验方法与数据分析Guinier近似Guinier近似可以用来推导纳米颗粒或大分子的回转半径。回转半径是描述分子或颗粒结构的重要参数，广泛用于研究各种材料的形态学特征，包括聚合物、蛋白质、纳米颗粒等。通过分析回转半径，可以了解样品的尺寸和形状信息。Guinier近似为I(q)=I0∙(−q2Rg23)(3-24)其中，Rg是回转半径，Guinier近似适用于所有形状的粒子。一般来说，当q<1.3/Rg时，近似成立。通过在坐标系(q²,ln(I))上绘制数据并拟合直线，可以轻松地从实验数据中找到旋转半径。对于已知形状的粒子，旋转半径可用于计算粒子的尺寸。例如，对于半径为R的球体，旋转半径为Rg=(3/5)1/2R。4.2实验方法与数据分析形状因子就像杨氏双缝干涉实验中可见光的情况一样，小角散射中的散射图案也由两个因素贡献。一个贡献来自颗粒或孔的大小和形状。这种贡献被称为形状因子P(q)，与杨氏单缝实验中散射图案的宽度与真实空间中缝宽度的反比关系相似。另一个贡献来自散射单位（颗粒或孔）的排列，被称为结构因子S(q)。当散射中心按晶格排列，具有长程有序时，结构因子会出现特别明显的峰值。粒子与其周围环境之间的散射长度密度差的傅立叶变换产生的振幅会被平方，得出形状因子。在SAXS研究中，形状因子是用于描述散射物体形状的一个重要参数。形状因子反映了散射物体在SAXS实验中对X射线散射的影响。它与散射强度的角度依赖性有关，主要取决于物体的几何形状和大小。在稀溶液系统中，我们可以近似认为S(q)=1。当长程有序性在S(q)中形成尖锐的衍射极大值时，有时球形颗粒的形状因子特征的尖锐极小值可能会抑制结构因子的某些衍射极大值。4.2实验方法与数据分析结构因子当溶液中的粒子浓度足够高时，散射曲线中会观察到所谓的浓度效应。在低浓度的粒子中，结构因子S(q)接近于1，因为粒子可以在溶液中到处移动。然而，一旦粒子浓度开始增加，它们越来越可能相互靠近。这会导致结构因子出现一个最大值，并且在较小的q值处S(q)开始下降。为了观察浓度效应，可以测量不同粒子浓度的溶液，并将强度按粒子体积分数I(q)/Ф或浓度I(q)/c归一化。然后，不同粒子浓度的强度应该在相同的尺度上。在浓度增加时，低q处的强度曲线会略微变平，但高q部分的曲线应保持几乎相同。通过对每个q值分别进行浓度函数外推，可以获得零粒子浓度下SAXS曲线的形状，从而消除浓度效应。4.2实验方法与数据分析多分散性在SAXS研究中，多分散性（polydispersity）是用来描述散射样品中粒子尺寸或质量分布的广度和不均一性。多分散性是材料中粒子尺寸或质量分布的一个关键特征，它会对SAXS数据的散射强度和形状因子产生影响。在SAXS中，多分散性主要体现在以下几个方面：（1）粒子尺寸分布：多分散性通常是指样品中不同粒子大小的分布。对于单一粒子尺寸的样品，形状因子表现为清晰的散射强度变化；然而，多分散样品中，不同尺寸粒子的散射会导致散射强度的叠加和模糊。（2）质量分布：粒子质量的多分散性也会影响散射强度。质量较大的粒子会产生更强的散射信号，而质量较小的粒子产生的信号较弱。这种质量分布的不均匀性也会影响SAXS数据的整体特征。（3）对数据分析的影响：多分散性会导致SAXS数据中的散射强度曲线变得更为复杂。如果没有考虑多分散性，数据分析可能会出现偏差。4.2实验方法与数据分析多分散性因此，在SAXS数据分析中，通常需要考虑多分散性，以正确解释样品的结构特征。（4）模型化：在分析SAXS数据时，研究人员通常会使用多分散性模型来描述样品中的粒子尺寸或质量分布。例如，使用正态分布、对数正态分布或其他分布来描述粒子尺寸分布，并通过调整模型参数来拟合SAXS数据。4.2实验方法与数据分析距离分布函数在生物学SAXS研究中，主要目标之一是确定大分子或大分子复合物的形状。在这种单分散系统的情况下，SAXS分析中有一种简单的工具，可以为这类研究提供一个良好的起点。粒子的距离分布函数p(r)是一个概率函数，给出了在粒子内部发现距离r的加权概率。它具有粒子的特征形状（参见图3-28），并且可以从散射强度中轻松推导出来。4.2实验方法与数据分析距离分布函数图3-28几何体具有均匀电子密度的散射强度和距离分布。距离分布函数p(r)在粒子的最大尺寸处归零4.2实验方法与数据分析Kratky图和Porod不变量Kratky图是呈现小角度X射线散射（SAXS）强度的一种特殊方式。这种简单的图表在可视化SAXS数据、确定蛋白质的折叠状态或构象方面是一个强有力的工具。图3-29演示了Kratky图如何清楚地显示蛋白质的状态（展开或球形）。在Kratky图中，紧密折叠的蛋白质通常表现为一个抛物线形状，随后在高q值处快速下降，表明样品具有紧密且有序的结构。无序或部分展开的蛋白质则表现为在高q值处平坦或持续上升，表明样品具有较大的柔性和无序性。4.2实验方法与数据分析Kratky图和Porod不变量图3-29展开、部分展开和折叠蛋白质的Kratky图。请注意，基本上是自由高斯随机链的未折叠蛋白质遵循幂律I(q)∝q-2通过Kratky图还可以计算所谓的Porod不变量，这基本上是对Kratky图的一个积分：Q=0∞q2I(q)dq(3-25)在实际操作中，首先需要将低q处的数据外推到零，并通过另一种外推方法延展高q值。Porod不变量取决于样品中电子密度的均方波动<η2>，但不取决于导致其波动的具体结构；因此，称之为“不变量”（与Porod常数不同）。Porod不变量与样品内部密度波动的幅度有关，密度波动越大，Porod不变量值越大。对于多相系统，Porod不变量与相界面总面积成正比，能够提供界面面积的信息。结合Kratky图和Porod不变量，能够深入研究复杂多相体系中的微结构特征和相界面性质。4.3案例研究与最新进展纳米颗粒合成的原位分析对于反应混合物的原位分析，需要短的测量时间才能充分采样合成过程。SAXS是实现这一目标的绝佳手段。它允许对尺寸分布进行统计上相关的表征，并且测量可以在适当的样品条件下原位进行，无需通过取样干扰反应。SAXS实验可以与同时进行的WAXS测量一起进行，以评估正在研究的样品的结晶状态。图3-30显示了巴西圣保罗大学科学家与德国杜伊斯堡-埃森大学和巴西IPEN科学家合作，在湿化学还原合成过程中研究金属纳米颗粒形成的一个示例装置。硝酸银与葡萄糖和聚乙烯吡咯烷酮（PVP）的混合物在水中形成银纳米颗粒的反应在加热容器中连续搅拌下进行。反应混合物通过蠕动泵泵入SAXS仪器，并且测量在热化的毛细管中进行。每次测量持续60秒，然后对这60秒进行平均。4.3案例研究与最新进展纳米颗粒合成的原位分析图3-30实验示意图，用于跟踪银纳米颗粒的形成，并进行原位SAXS表征。仪器为Xeuss，配备有封闭管GeniX3D光束传输系统和Pilatus300K探测器4.3案例研究与最新进展纳米颗粒合成的原位分析获得的散射图案被简化为1D曲线（图3-31a），并使用蒙特卡罗优化方法进行拟合。完整数据集的拟合表明，银纳米颗粒由两个主要群体组成：一个直径约为3nm，另一个直径范围从10到40nm不等。根据这些数据，可以推导出两种类型颗粒的体积分数，如下图3-31b所示。在这里，清楚地显示出小型纳米颗粒的体积分数在合成开始时占主导地位。这些颗粒持续增长成为更大的颗粒，在合成过程末尾占主导地位。形成机制可以从生长速率中推导出来。直到51分钟，这主要由聚并控制，而过程的末尾则由奥斯瓦尔德成核主导。4.3案例研究与最新进展纳米颗粒合成的原位分析图3-31在90℃下合成银纳米颗粒期间的SAXS数据与平均直径a）原位SAXS数据b）从SAXS数据中提取的分布1（直径约3nm）和分布2（直径从10到40nm）的体积加权平均直径这个例子表明，对银纳米颗粒形成的原位SAXS分析不仅提供了形成颗粒的尺寸和形状的详细信息，还提供了尺寸分布和形成机制的信息。这使得可以通过淬灭反应来控制合成的结果。4.3案例研究与最新进展垂直自取向碳纳米管的多级结构表征自取向碳纳米管（Self-AlignedCarbonNanotubes）是纳米技术和材料科学中的一项重要进展，在电子学、纳米器件和传感器方面应用广泛。自取向是指在合成过程中或合成后处理时，碳纳米管能够自然地按优选方向或图案排列。这种排列提高了它们的性能，使其更适用于各种应用。例如，“森林状”垂直自取向碳纳米管的各向异性结构与其在超电容器、电子互连、发射器、粘合剂、机械材料、分离膜等一系列应用中的性能密切相关。森林状碳纳米管阵列中结构和有序性的多尺度表征有助于理解其自组装过程。电子显微镜目前被普遍用于评估碳纳米管材料的结构。扫描电子显微镜（SEM）可以捕捉从微米到纳米尺度的形态结构，而透射电子显微镜（TEM）则局限于纳米和原子尺度。总体来说，这两种技术在一次能够采样的碳纳米管数量上受到限制，在更高放大倍率下采样的碳纳米管更少，这降低了测量的统计意义。而X射线散射能够对具有统计意义的碳纳米管群体进行定量结构表征。它还具有利用同步辐射源的高光子通量进行空间映射和原位实验的额外优势。图3-32展示了森林状碳纳米管阵列的多尺度结构X射线散射表征。4.3案例研究与最新进展垂直自取向碳纳米管的多级结构表征图3-32森林状碳纳米管阵列的多尺度结构a）原子尺度（100）sp2杂化碳晶格的层内间距、b）原子尺度CNT侧壁（002）间距、c）纳米尺度的CNT圆柱形截面、d）介观尺度的CNT间距/束缚、e）微观尺度反射，描述了沿生长方向的CNT波纹、f）有二维散射图像积分得到的一维散射数据4.3案例研究与最新进展垂直自取向碳纳米管的多级结构表征、g）CNT森林的结构层次示意图在原子尺度上q~10-100nm-1，WAXS提供了CNT