课堂教学设计2-2 极限及其应用

课堂教学设计教师姓名课程名称授课时数2累计课时授课日期星期\节次授课班级课题单元2极限及其应用（2-2）知识目标（1）熟悉极限的四则运算法则；（2）理解极限存在的两个准则；（3）掌握无穷小的比较方法；技能目标会利用极限的四则运算法则求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；会用等价无穷小求极限态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用极限知识解决实际问题教学重点（1）有理函数极限的计算；（2）两个重要极限，利用两个重要极限求极限（3）无穷小的比较方法，用等价无穷小求极限教学难点（1）极限运算法则成立的条件；（2）两个重要极限，利用两个重要极限求极限（3）用等价无穷小求极限教学资源参考书《高等数学》——同济四版作业【同步训练2-3】教学过程设计教学环节教学内容教学方法时间课堂引入复习相关知识讲授法5’知识疏理2.2极限的运算启发式教学法70’实例精讲【实例2-1】利用函数的左、右极限求函数极限；【实例2-2】利用恒等变形方法求极限；【实例2-3】利用极限的运算法则求极限；【实例2-4】利用两个重要极限求极限；【实例2-5】利用同阶无穷小求极限同步训练【同步训练2-3】、【同步训练2-4】练习法10’课堂小结对教学内容进行小结，对教学情况进行点评归纳点评5’课后小记课堂教学讲稿单元2极限及其应用（2-2）【知识疏理】2.2极限的运算2.2.1极限的运算法则【定理2.6】：极限的运算法则如果，，那么①；②；③；④如果，且，则．上述法则对于时情形也是成立的，而且法则①和②可以推广到有限个具有极限的函数的情形．【示例2.10】：求．解：．【推论2.4】：是常数）【推论2.5】：（为正整数）【推论2.6】：设为一多项式，则【推论2.7】：设均为多项式，且，则．例如，．例如，．2.2.2两个重要极限1．利用上述极限求有关函数的极限时要注意：①自变量必需是趋于0；②式中所有系数必需一致；③式中的也可以是函数．【示例2.11】：求极限．解：,设，当时，，所以．此极限也可以利用二倍角公式将其展开来求即2．．作代换，当时，，于是上述极限又可写成．利用上面极限求有关函数的极限时要注意：①括号中的第一项必需化为1．②括号内第1项与第2项之间必需用“+”号连接．③括号中的第二项与括号外的指数必需互为倒数．④极限中的也可以是函数，即当=e．⑤重要极限的变换形式为．【示例2.12】：求极限．解：令，则当时，，从而===．2.2.3无穷小的比较【定义2.11】：两个无穷小的比较设和都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，又也是在这个变化过程中的极限．①如果=0，就说是比高阶的无穷小，记作；②如果，就说是比低阶的无穷小；③如果=，就说与是同阶无穷小；④如果，就说与是等价无穷小，记为．例如，在x→0时，是比3x高阶的无穷小；3x是比低阶的无穷小，sinx与3x是同阶无穷小，sinx与x是等价无穷小．例如，当时，是的高阶无穷小，即；反之是的低阶无穷小；与是同阶无穷小；与是等价无穷小，即．【说明】：①在无穷小的比较中，自变量的变化趋势必需一致，否则无法比较．②高阶无穷小不具有等价代换性，即：，但，因为不是一个量，而是高阶无穷小的记号；③等价无穷小具有传递性：即；④未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当时，与既非同阶，又无高低阶可比较，因为不存在；当x→0时，常用的等价无穷小有sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，ln(1+x)～x，–1～x，-1～xlna（a>0），-1～ax(a≠0)，～，～．【示例2.13】：比较当时，无穷小与阶数的高低．解：因为=，所以～．【定理2.7】：如果～，～，且存在，那么=．【示例2.14】：求极限及.解：当时，～，～，所以=．当时，～，所以==．【实例精讲】【实例2-1】利用函数的左、右极限求函数极限【问题描述】（1）设f(x)=，求．（2）讨论函数，当时的极限．【问题求解】（1）显然，因为，所以．（2）观察图2-16可知：=，=．因此，当时，的左右极限存在但不相等，所以极限不存在．【实例2-2】利用恒等变形方法求极限【问题描述】（1）求（2）求（3）求（4）求（5）求（6）求【问题求解】（1）=3+3=6．【注意】：在求极限时，有时分子分母的极限都是零，当分子分母都是多项式时，可将其进行因式分解，约去极限为零的因式后再按运算法则求出其极限．（2）=（3）当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子，所以．（4）当全没有极限，故不能直接用定理，但当时，，所以．（5）当→2时，x-2→0，故不能直接用定理，又，考虑，所以．（6）当时，这是无穷多项相加，所以先应进行变形：【实例2-3】利用极限的运算法则求极限【问题描述】（1）求．（2）求．【问题求解】（1）．（2）（因为）．【实例2-4】利用两个重要极限求极限【问题描述】（1）求极限．（2）求极限．（3）求极限．（