课堂教学设计7-1 定积分及其应用

课堂教学设计教师姓名课程名称授课时数2累计课时授课日期星期\节次授课班级课题单元7定积分及其应用(7-1)知识目标掌握定积分的定义、几何意义和定积分存在定理技能目标会解释定积分的定义和几何意义态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用定积分知识解决实际问题教学重点定积分的定义、几何意义和定积分存在定理教学难点定积分存在定理教学资源参考书《高等数学》——同济四版作业【同步训练7-1】教学过程设计教学环节教学内容教学方法时间课堂引入明确教学目标、教学重点难点，熟悉教学方法讲授法5’引例探析【引例7-1】计算曲边梯形的面积【引例7-2】求变速直线运动的路程【引例7-3】计算变力所作的功讨论式教学法5’概念认知1．定积分的概念2．定积分的几何意义3．定积分存在定理启发式教学法65’同步训练【同步训练7-1】练习法10’课堂小结对教学内容进行小结，对教学情况进行点评归纳点评5’课后小记课堂教学讲稿课堂教学讲稿单元7定积分及其应用(7-1)【引例探析】【引例7-1】计算曲边梯形的面积【问题描述】在平面图形中，曲边梯形是一种基本图形，设y=f(x)为闭区间上的连续函数，且，由连续曲线y=f(x)（x∈[a,b]）与直线x=a，x=b及x轴所围成的平面图形，称为曲边梯形．其中x轴上的区间[a，b]称为底边，对应的曲线弧线y=f(x)（x∈[a,b]）称为曲边，如图7-1所示．试采取“化整为零”、“积零为整”的方法来计算曲边梯形的面积A．aabxyOy=f(x)图7-1曲边梯形【问题求解】下面我们将采取“化整为零”、“积零为整”的方法来计算曲边梯形的面积A．计算曲边梯形面积可分为四个步骤：（1）分割区间[a,b]将曲边梯形分成若干个小曲边梯形，在区间[a,b]中任意取n-1个分点，它们依次为a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b，这些点把区间[a,b]划分成n个小区间[x0,x1]，[x1,x2],…，[xi-1,xi]，…，[xn-1,xn]，每一个小区间的长度依次为Δx1=x1–x0，Δx2=x2–x1，…,Δxi=xi–xi-1，…，Δxn=xn–xn-1，过各分点xi（i=1,2,…,n-1）作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，如图7-2所示，其中第i个小曲边梯形的面积记为ΔAi(i=1，2，…，n)，则有A=ΔS1+ΔS2+…+ΔSi+…+ΔSn．a=a=x0xn=bxx1x2xi-1xn-1xiyOξ1ξ2ξiξny=f(x)图7-2将曲边梯形分成n个小曲边梯形（2）近似代替使用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．当第i个小区间[xi-1,xi]的长度Δxi很小时，曲边梯形的高f(x)在该区间内的变化很小，这时用该小区间上任一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)处的函数值f(ξi)近似作为第i个小曲边梯形的高，即用以第i个小区间[xi-1,xi]（长为Δxi）为底，f(ξi)为高的小矩形的面积来近似代替同一底[xi-1,xi]上的第i个小曲边梯形的面积ΔAi，即ΔAi≈f(ξi)Δxi（i=1，2，…，n）（3）求和将n个小矩形面积相加，便得所求曲边梯形的面积S的近似值，即．【注意】：上式右边的和式既依赖于对区间的分割，又与所有中间点的取法有关．可以想象，当分点无限增多，且对无限细分时，如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点和中间点的选取无关，就把此常数定义作为曲边梯形的面积A．（4）计算极限从直观上看，区间[a,b]分点越多，即分割越细，就越接近于曲边梯形的面积A．因此若用表示被分割的n个小区间中最大的小区间的长度，则当→0时，和式的极限就是A，即．这样便可得到所求曲边梯形的面积．可见，曲边梯形的面积是一个和式的极限．【引例7-2】求变速直线运动的路程【问题描述】设某物体作变速直线运动，已知速度v=v(t)（v(t)≥0）是时间区间[a,b]上的连续函数，求该物体在这段时间内所经过的路径s．【问题求解】（1）分割区间在时间区间[a,b]中任意插入若个分点，把时间区间[a,b]分成n个小时间段[t0,t1]，[t1,t2],…，[ti-1,ti]，…，[tn-1,tn]，其中第i个小时间段[ti-1,ti]的长度记为Δti=ti–ti-1（i=1,2,…,n），并将物体在第i个小时间段[ti-1,ti]内走过的路程记为Δsi(i=1，2，…，n)，则有s=Δs1+Δs2+…+Δsi+…+Δsn．（2）近似代替在第i个小时间段[ti-1,ti]上，任取一个时刻ξi，用这个时刻ξi的速度v(ξi)近似代替在第i个小时间段[ti-1,ti]上各时刻的速度，便可得到第i个小时间段[ti-1,ti]上的路程Δsi的近似值为Δsi≈v(ξi)Δti(i=1，2，…，n)．（3）求和将n段小时间段上的路程si的近似值v(ξi)Δti相加，便得物体在时间区间[a,b]上所经过的路程s的近似值．所求路程S的近似值为即．（4）求极限若用表示被分割的n段小时间段中最长的小段时间长，则当→0时，和式的极限就是s，即，可见，变速直线运动的路程也是一个和式的极限．【引例7-3】计算变力所作的功【问题描述】设质点受力F的作用沿轴由点移动到点，并设处处平行于轴．如果F为常力，则它对质点所作的功为W=F(b-a)．现已知为变力，它连续依赖于质点所在位置的坐标，即F=F(x)，为一连续函数，计算变力F对质点所做的功W．【问题求解】（1）分割区间由于F(x)为一连续函数，故在很小的一段位移区间上F(x)可以近似地看作一常量．类似于求曲边梯形面积那样，把[a,b]细分为n个小区间，()．（2）近似代替在每个小区间上任取一点，就有，，(i=1,2,…,n),于是，质点从位移到时，力F所做的功就近似等于Δ≈(i=1，2，…，n)．（3）求和将n段位移区间上所做的功的近似值相加，便得变力在时间区间[a,b]上所做做功W的近似值．变力所做的功W的近似值为：W（4）求极限同样地，对作无限细分时，上式右边的和式与某一常数无限接近，则就把此常数定义作为变力所作的功．若用表示被分割的n段小位移区间中最长的小段位移区间长，则当→0时，和式的极限就是W，即W=，可见，变力所做的功也是一个和式的极限．【概念认知】1．定积分的概念【定义7.1】：定积分设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入n-1个分点a=x0<x1<x2<…<xi－１<xi<…<xn-1<xn=b，把区间[a,b]分成n个小区间[x0,x1]，[x1,x2],…，[xi-1,xi]，…，[xn-1,xn]，各个小区间的长度依次为：Δx1=x1–x0，Δx2=x2–x1，…，Δxi=xi–xi-1，…,Δxn=xn–xn-1，在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)，作函数值f(ξi)与小区间长度Δxi的乘积f(ξi)Δxi(i=1，2，…，n)，并作出和．记λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，如果当λ→0时，和式的极限存在，且其值与[a，b]的分法及点ξi在小区间[xi-1,xi]的选取无关，那么我们称这个极限为函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为，即=．（7-1）其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a、b分别叫做积分下限与积分上限，[a,b]叫做积分区间．如果定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积．利用定积分的定义，前面所讨论的三个实际问题可以分别表述如下：（1）曲边梯形的面积A等于其曲边函数y=f(x)在其底边所在的区间[a,b]上的定积分：．（2）变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数v=v(t)在时间区间[a,b]上的定积分：．（3）在连续变力作用下，质点从位移到所作的功为W=．关于定积分的定义，有以下几点说明：①定积分表示的是一个和式的极限，是一个确定的数值，这个数值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量所用的字母无关．如果不改变被积函数和积分区间，而只把积分变量x换成其它字母，例如t或u，那么，这时定积分的值不变，即．换言之，定积分中积分变量符号的更换不影响定积分的值．②定积分的定义中强调了区间分法和的取法是任意的．③在上述定积分的定义中要求a<b，为了今后运算方便，我们给出以下的补充规定：当a=b时，规定．当a>b时，规定．④初等函数在其定义区间内都可积的．【示例7.1】：求在区间上，以抛物线为曲边的曲边三角形的面积．解：因在上连续，故所求面积为为求得此极限，在定积分存在的前提下，允许选择某种特殊的分割和特殊的点集．在此只需取等分分割：T=，即取==（i=1,2,…,n）；并取，，则有．2．定积分的几何意义若f(x)在[a,b]上既取得正值又取得负值时，如图7-4所示，则曲线f(x)与直线x=a，x=b及x轴所围成的图形是由三个曲边梯形组成，那么由定积分的定义可得：．SS2S1S3Oaby=f(x)xy++图7-4位于x轴两边的曲边梯形由上面的分析我们可以得到如下结果：定积分的几何意义为：对于上的连续函数f(x)，当，时，定积分的几何意义就是该曲边梯形的面积；当时，这时是位于轴下方的曲边梯形面积的相反数，不妨称之为“负面积”；对于一般非定号的而言，定积分的值则是曲线在轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和．【示例7.2】：利用定积分表示图7-5中四个图形的面积解：图7-5(1)中的阴影部分的