山东省德州市部分学校2025~2026学年高二上册数学联考试卷（附解析）

山东省德州市部分学校2025-2026学年高二上学期数学联考试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．在空间直角坐标系中，，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．-13．已知，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C．， D．4．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（

）A． B．C． D．5．向量，，在直线l方向向量上的投影向量相等，则直线l的斜率为（

）A．1 B．－1 C．2 D．－26．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．7．在四棱锥中，底面为矩形，平面，，且与底面所成的角为，则点B到直线的距离为（

）．A． B． C．2 D．8．正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（

）A． B．C． D．10．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．非零向量，，若，则B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D．已知，，则在上的投影向量为11．正方体中，，，分别为，的中点，点满足，，则错误的有（

）A．平面B．三棱锥的体积与点的位置有关C．的最小值为D．当时，平面截正方体的截面形状为六边形三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知直线的方程为，若直线的斜率为1，则的值为.13．空间四边形中，，，，，则的值是．14．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，且边长均为1．平面平面，M为底面内一动点．当时，M点在底面内的轨迹长度为．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点.(1)求与所成角的余弦值；(2)求的长.16．已知的顶点，AB边上的高所在的直线方程为，E为BC边的中点，且AE所在的直线方程为(1)求顶点A的坐标；(2)求过E点且与x轴、y轴截距相等的直线l的方程.17．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且．(1)求二面角的大小；(2)直线到平面的距离；(3)在线段上是否存在一点使得．若存在，求出点位置；若不存在，则说明理由．18．如图，在水平桌面上放置一块边长为的正方形薄木板.先以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面，此时的大小为.再以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面，此时的大小也为.（1）求整个转动过程木板扫过的体积；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19．如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；(1)求证：；(2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；(3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．山东省德州市部分学校2025-2026学年高二上学期数学联考试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线方向向量的概念及辨析（平面中））【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角.【详解】由直线的方向向量为可知直线斜率，又因为倾斜角，且，所以.故选：C2．在空间直角坐标系中，，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．-1【答案】A【知识点】空间向量垂直的坐标表示【分析】利用空间向量垂直的坐标运算即可求出结果.【详解】因为，又，所以，解得，故选：A.3．已知，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C．， D．【答案】A【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围【分析】根据直线的斜率与倾斜角的变化关系求解即可.【详解】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或，即，或，或，所以直线的斜率的取值范围是故选：A.4．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】用空间基底表示向量【分析】由空间向量基本定理求解即可.【详解】解：由，点为的中点，可得，又，．故选：C.5．向量，，在直线l方向向量上的投影向量相等，则直线l的斜率为（

）A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】B【知识点】直线方向向量的概念及辨析（平面中））、求投影向量【分析】设直线的方向向量，求出两个向量在直线上的投影向量，由题意可得，的关系，进而求出直线的斜率.【详解】因为在直线l方向向量上的投影向量一定共线，设l的方向向量为，则，即，整理可得：，所以，直线斜率为－1．故选：B．6．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】斜率与倾斜角的变化关系【分析】由斜率的定义及正切函数的图像和性质即可求得.【详解】设直线的倾斜角为，则当斜率时，由斜率的定义及正切函数的图像和性质可知：直线的倾斜角的取值范围为.故选：D7．在四棱锥中，底面为矩形，平面，，且与底面所成的角为，则点B到直线的距离为（

）．A． B． C．2 D．【答案】B【知识点】点到直线距离的向量求法【分析】建立空间直角坐标系，求得，，利用点到直线的距离的向量公式求解即可求得点到直线的距离.【详解】因为平面，所以为与平面所成的角，所以，所以．以A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，则，，所以点到直线的距离为．故选：B.8．正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】利用函数单调性求最值或值域、空间向量数量积的应用【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN的表达式，利用函数求最值即可.【详解】因为正三棱柱中,O为BC的中点，取中点Q，连接OQ，如图，以O为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，因为M是棱上一动点，设，且，所以，则，因为，且所以在直角三角形中可得：即，于是令，所以，，又符合函数为增增符合，所以在上为增函数，所以当时，，即线段MN长度的最小值为，当时，，即线段MN长度的最大值为，故选：B.【点睛】关键点睛：1.找到，再利用函数单调性求出最值.2.建系，设出动点，利用空间向量法求出，再结合线线关系求线段MN的表达式，利用函数求最值即可.二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】AD【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化【分析】分两种情况：过且与平行的直线，利用直线的点斜式方程，直接求解即可；直线过且经过中点，因为中点，所以直线方程：．【详解】由题意，，不共线，所以存在两种情况：直线过且与平行时，根据直线的点斜式方程可得：，化简得：．直线过且经过中点，因为中点，所以直线方程：．综上所述：直线方程为：和．故选:AD．10．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．非零向量，，若，则B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D．已知，，则在上的投影向量为【答案】ABD【知识点】判定空间向量共面、空间向量数量积的应用、空间向量基底概念及辨析、求投影向量【分析】对于，由数量积的定义即可判断，对于，根据空间向量的共面定理及推论，对于，根据投影向量的计算公式可判断.【详解】对于，，可得，正确；对于，对于空间中任意一点，由，因为，所以四点共面，正确；对于，由，可知共面，错误；对于，因为向量，，可得，所以在上的投影向量为，正确；故选：.11．正方体中，，，分别为，的中点，点满足，，则错误的有（

）A．平面B．三棱锥的体积与点的位置有关C．的最小值为D．当时，平面截正方体的截面形状为六边形【答案】BCD【知识点】判断正方体的截面形状、证明线面平行、证明线面垂直【分析】A选项以点为原点建系，求证，；B选项求证平面；C选项利用坐标计算得可得当时，有最小值；D选项举反例，点为与交点，判断此时的截面形状即可.【详解】对于A中，以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，则，，，所以，，所以，，因为且，平面，所以平面，所以A正确；对于B中，因为正方体中，且，所以四边形为平行四边形，因为，因为平面，平面，所以平面，所以棱上的所有点到平面的距离都相等，又因为点是棱上的动点，所以三棱锥的体积始终为定值，所以B错误；对于C中，由，，，则，因为，，所以，则，，可得，当时，有最小值，最小值为，所以C错误；对于D中，连接，取中点为，此时与交点为点，如图所示过点作，可得，可得，所以，即，此时平面截正方体的截面为四边形，所以D不正确.故选：BCD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知直线的方程为，若直线的斜率为1，则的值为.【答案】【知识点】直线的一般式方程及辨析【分析】根据给定条件，列出方程求解并验证即得.【详解】由直线的斜率为1，得，解得，所以的值为.故答案为：13．空间四边形中，，，，，则的值是．【答案】【知识点】空间向量数量积的应用【分析】利用，，，，以及两个向量的数量积的定义化简的值．【详解】解：，，，，故答案为：14．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，且边长均为1．平面平面，M为底面内一动点．当时，M点在底面内的轨迹长度为．【答案】/【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量与立体几何综合【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法求得M点在底面内的轨迹，进而求得其长度.【详解】取中点N，中点O，连接，因为平面平面，，平面平面，平面所以平面，由题意可得两两垂直，以O为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，令,则由，可得，则，整理得，则M点在底面内的轨迹为线段，所以轨迹的端点的坐标为则M点在底面内的轨迹长度为故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点.(1)求与所成角的余弦值；(2)求的长.【答案】(1)(2)【知识点】用向量解决线段的长度问题、异面直线夹角的向量求法【分析】（1）以为原点建系，根据公式计算即可；（2）计算的坐标，利用向量的模的计算公式.【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，得，则，，，所以，所以与所成角余弦值为；（2）由（1）知，故.16．已知的顶点，AB边上的高所在的直线方程为，E为BC边的中点，且AE所在的直线方程为(1)求顶点A的坐标；(2)求过E点且与x轴、y轴截距相等的直线l的方程.【答案】(1)(2)或【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标【分析】（1）由垂直关系求直线AB的方程，再联立AE所在的直线求交点坐标即可.（2）设则，由点在相关直线上，将坐标代入直线方程求出的坐标，讨论直线l是否经过原点，求直线方程即可.【详解】（1）由边上的高所在的直线方程为，即，直线AB的方程：，化为：，联立，解得，，；（2）设，则，联立，解得，，，由直线l与x轴、y轴截距相等，①当直线l经过原点时，设直线l为：，把E代入可得：，则，直线l的方程为：；②当直线l不经过原点时，设直线l为：，把E代入可得：，直线l的方程为：综上，所求直线l的方程为或17．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且．(1)求二面角的大小；(2)直线到平面的距离；(3)在线段上是否存在一点使得．若存在，求出点位置；若不存在，则说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在点为靠近的三等分点处，使得.【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法【分析】（1）首先取的中点，连接，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解二面角大小即可.（2）利用空间向量法求解直线到平面的距离即可.（3）设，再利用求解即可.【详解】（1）取的中点，连接，因为垂直于底面，，所以垂直于底面，又因为为等边三角形，为中点，所以.以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，即.又因为平面的法向量为，设二面角的平面角为，则，因为二面角的平面角为为锐角，所以，即.（2）因为，所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，，所以平面，即直线到平面的距离等于点到平面的距离.，设直线到平面的距离为，则.（3）设，，，，因为，所以，解得.即.因为，所以存在点为靠近的三等分点处，使得.18．如图，在水平桌面上放置一块边长为的正方形薄木板.先以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面，此时的大小为.再以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面，此时的大小也为.（1）求整个转动过程木板扫过的体积；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【知识点】柱体体积的有关计算、面面角的向量求法【分析】（1）确定圆心角及半径计算即可；（2）建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，然后计算夹角即可.【详解】（1）整个转动过程木板扫过的几何体由两个底面为圆心角为，半径为的扇形，高为的直棱柱组成，故其体积.（2）以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设是平面的一个法向量，则，即，不妨令，可取，同理平面的一个法向量，设平面