北京市西城区德胜中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷（会继续）

2025-2026学年北京市西城区德胜中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(

)A. B.

C. D.2.对于二次函数y=(x−A.当x>1时，y随x的增大而增大 B.其图象的开口向下

C.有最大值2 D.3.将二次函数y=x2−4xA.y=(x+2)2+14.若抛物线y=ax2+bx+A.直线x=1 B.直线x=2 C.直线x5.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB=32∘，则A.68∘ B.64∘ C.58∘6.如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB=10，CD=15A.60

B.55

C.45

D.507.如图，菱形OABC中A(−2,1)，B(0A.−2≤m≤0 B.−28.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，D为BC边上一点，将△ABD绕点A逆时针旋转90∘得到△ACE，点B、D的对应点分别为点C、E，连接BE，将AC平移得到

A.210

B.6

C.6二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.在平面直角坐标系xOy中，点(−1,3)10.将抛物线y=2x2向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为11.点A(−3,y1)，B(2,y2)，在抛物线y=(x12.若关于x的一元二次方程x2+2x+m=13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100∘

14.如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，切点分别为A，C.若AB=2，∠AB

15.如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖MN与两个磁体组成(下侧磁体固定不动)，连接杆EF与地面BD垂直，排水口CD=243mm，密封盖最高点E到地面的距离为6mm，密封盖被磁体顶起将排水口密封，

16.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(−1,0)，(3,0)，与y轴的交点在(0,−2)与(0,−3)三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

解方程：

(1)3x218.(本小题4分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(1,3)，B(4,4)，C(2,1).

(1)把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A119.(本小题4分)

已知关于x的一元二次方程x2+(2−m)x+1−20.(本小题5分)

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，直径BD⊥AC，垂足是E.

(21.(本小题6分)

已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,−3)，(−1,022.(本小题5分)

数学课上，老师提出如下问题：

已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于点C.

求作：BC的中点D.

小得的作法：

①在射线AC上截取AE，使AE=AB；

②连接BE，交⊙O于点D.

所以点D就是所求作的点.

(1)按照小得的作法，补全图形；

(2)补全下面的证明.

证明：连接AD，CO，EO.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=______.(______)(填推理依据)23.(本小题5分)

秋冬季节来临，某饮品店推出由热奶茶、烤红薯、糖炒栗子和暖手姜茶搭配而成的A、B两种套餐.其中A套餐每份利润28元，每天可以买出120套，B套餐每份利润20元，每天可以卖出160套，若A套餐售价每提高1元，则每天少卖出3套，B套餐售价每提高1元，则每天少卖出4套.(注：两种套餐成本不变)

(1)若每份套餐的价格提高x元(x为整数)，每天销售A、B两种套餐的利润分别为yA元和yB元，请求出yA、yB与x之间的函数关系式；(不要求写自变量取值范围)

24.(本小题6分)

如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90∘，点E在BC的延长线上，且∠CED=∠BAC.

(1)判断25.(本小题5分)

如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为2.88m，即BA=2.88m，这时水平距离OB=7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系.如图2.

(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线).

①求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x取值范围).

②判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由.

(26.(本小题6分)

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2abx+b2−b(a≠0).

(1)求抛物线的顶点坐标(用含b的式子表示)；

(2)若M(x1,y1)，N27.(本小题7分)

如图，在△ABC中，AB=a，BC=b，∠B=α(0<α<180∘)，将线段AC绕点A逆时针旋转180∘−α得到线段AN，过点N作ND//AB交CB的延长线于D，在线段BD上取一点E使得DE=BC28.(本小题7分)

在平面直角坐标系xOy中，对于直线l上一点M和⊙O上不重合的两点P和Q.给出如下定义：若点P，点Q绕点M顺时针旋转α(0<α<180∘).得到对应点P′，Q′在直线l上，则称点M为直线l关于⊙O的α−旋转点.⊙O的半径为1.

(1)直线l：y=3x+23.

①在点M1(−2,0)，M2(−1,3)，M3(0,23)中，______是直线l答案和解析1.【答案】A

【解析】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项A符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项D不符合题意；

故选：A.

根据轴对称图形和中心对称图形进行判断即可．

2.【答案】A

【解析】解：二次函数解析式的系数为1，1>0，函数图象开口向上，选项B说法错误，不符合题意；

函数图象的顶点坐标是(1,2)，选项D说法错误，不符合题意；

函数图象开口向上，有最小值为2，选项C说法错误，不符合题意；

函数图象的对称轴为x=1，当x>1时，y随x3.【答案】C

【解析】解：y=x2−4x+3

=(x2−4x4.【答案】B

【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(3,0)两点，

5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了圆周角定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先由圆周角定理可知∠ADB=90∘，再求出∠ADC=58∘，然后由圆周角定理求解即可．

【解答】

解：∵AB是⊙O6.【答案】D

【解析】解：∵四边形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、G、H、F，

∴AE=AF，BE=BG，CG=CH，DH=DF，

∴AD+BC=AF7.【答案】C

【解析】解：由题可知抛物线顶点为(m,−m)，则其在直线y=−x上运动，

如图，

由点A和点B坐标可得直线AB解析式为y=12x+2，

令12x+2=−x，

解得x8.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用性质解决问题是本题的关键，由旋转的性质可得BD=CE=2，∠ACE=∠ABD=45∘，由勾股定理得到BE，由“SAS”可证△ABE≌△DFA，可得BE=AF，于是得到结论．

【解答】

解：∵∠BAC=90∘，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45∘，BC=2AB=6，

∵将△ABD绕点A9.【答案】(1【解析】解：对称点坐标为(1,−3)

故答案为：10.【答案】y=【解析】解：将抛物线y=2x2向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为：y=2(11.【答案】>

【解析】解：∵抛物线y=(x−52)2+2，

∴图象的开口向上，对称轴是直线x=52，

∴当x<52时，y随x的增大而减小，

∵−3<12.【答案】m<【解析】解：∵一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，

∴Δ=b2−4ac=22−4×1×13.【答案】130

【解析】解：∵∠BOD=100∘，

∴∠A=50∘.

∵四边形14.【答案】3【解析】解：如图，连接AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90∘，

∵∠ABC=60∘，

∴∠BAC=90∘−60∘=30∘，

∴BC=12AB=1，

由勾股定理得：AC=A15.【答案】39

【解析】解：①设MN所在圆的圆心为O，连接OD，连接CD交CE于点H，

设OH=xmm，

∵最高点E到地面的距离为6mm，

∴OE=(6+x)mm，

∵CD=243mm，

∴DH=123，16.【答案】②③④

【解析】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(−1,0)，(3,0)，与y轴的交点在(0,−2)与(0,−3)之间，

∴函数开口方向向上，对称轴为直线x=−1+32=1，

∴a>0，a、b异号，

∴b<0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，

∴c<0，

∴abc>0，

故①错误；

②∵抛物线开口向上，与x轴交于点A(−1,0)，(3,0)，

∴图象与x轴的另一个交点为(3,0)，

∴当x=−2时，y>0，

∴4a−2b+c>0，

故②正确；

③∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，

∴抛物线上的点，离对称轴越远，函数值越大，

∵x1+x2<2，

∴x1，x2的中点在对称轴的左侧，

∵x117.【答案】x1=−1+73，【解析】(1)3x2+2x−2=0，

∵Δ=22−4×3×(−2)=28>0，

∴该方程有两个不相等的实数根，

则x=−2±2818.【答案】见解答．

见解答．

(−【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．

(2)如图，△A2B2C2即为所求．

(3)连接A1A2，B1B2，C1C2，相交于点P，

则△A1B1C1与△A2B19.【答案】(1)证明：x2+(2−m)x+1−m=0，

∵a=1，b=2−m，c=1−m，

∴【解析】(1)求出Δ=b2−4ac的值即可求证；

(2)求出方程的解，再根据解的情况列出关于m的不等式，解不等式即可求解．

20.【答案】(1)证明：∵AB=AC，

∴AB=AC，

∵直径BD⊥AC，

∴AB=BC，

∴AB=BC，

∴AB=AC=BC，

∴△ABC是等边三角形；

(2)解：连接OA，

∵△ABC是等边三角形，【解析】(1)根据圆心角、弧、弦的关系可得AB=AC，然后根据垂径定理可得：AB=BC，从而可得AB=BC，进而可得AB=AC=BC，即可解答；

(2)21.【答案】−2，−3；

(1,−4)；

如图：【解析】(1)将(0,−3)，(−1,0)代入y=x2+bx+c得，

c=−31−b+c=0，

解得b=−2c=−3，

故答案为：−2，−3；

(2)由(1)可知y=x2−2x−3=(x−1)2−4，22.【答案】补全图形如图；

90∘；直径所对的圆周角为90∘；∠BAD【解析】(1)补全图形如图；

(2)证明：连接AD，CO，EO.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90∘(直径所对的圆周角为90∘)，

∵AB=AE，

∴∠BAD=∠EAD23.【答案】yA=−3x2+36x+3360；【解析】(1)由题意可知：

A套餐提价后的利润为(28+x)元，销量为(120−3x)套，

∴yA=(28+x)(120−3x)=−3x2+36x+3360；

B套餐提价后的利润为(20+x)元，销量为(160−4x)元，

∴yB=(20+x)(160−4x)=−4x2+80x+24.【答案】DE与⊙O相切，理由如下：

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90∘，

∴BD为⊙O的直径，

∵∠BAD=90∘，

∴∠BAC+DAC=90，

∵C【解析】(1)DE与⊙O相切，理由如下：

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90∘，

∴BD为⊙O的直径，

∵∠BAD=90∘，

∴∠BAC+DAC=90，

∵CD=CD，

∴∠CBD=∠DAC，

∵∠CED=∠BAC，

∴∠CED+∠CBD=90∘，

∴∠BDE=90∘，

∵OD为半径，25.【答案】①y=−150(【解析】(1)①设抛物线的表达式为：y=a(x−7)2+2.88，

将x=0，y=1.9代入上式并解得：a=−150，

∴抛物线的表达式为：y=−150(x−7)2+2.88；

②当x=9时，y=−150(x−7)2+2.88=2.8>2.24，

当x=18时，y=−150(x−7)2+2.88=0.46>0，

∴这次发球过网，但出界了；

(2)如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，26.【答案】顶点坐标为(−b,b2−b−ab2)【解析】(1)由题可知y=ax2+2abx+b2−b=a(x+b)2+b2−b−ab2，

∴顶点坐标为(−b,b2−b−ab2)；

(2)①当a>0时，如图所示，

很明显，当x=−b−2时有最大值，即a(−b−2+b)2+b2−b−ab2=3，

整理得27.【答案】补全图形如图：

AB=CE，证明如下：

∵∠ABC=α，AB//DN，

∴∠D=α，

∵∠CAN=180∘−α，

∴四边形CDNA是对角互补四边形，

∴∠C+∠DNA=180∘，

延长DN至M，使NM=BC，连接AM，

则∠ANM+∠DNA=180∘，

∴∠C=∠ANM【解析】(1)补全图形如图：

(2)AB=CE，证明如下：

∵∠ABC=α，AB//DN，

∴∠D=α，

∵∠CAN=180∘−α，

∴四边形CDNA是对角互补四边形，

∴∠C+∠DNA=180∘，

延长DN至M，使NM=BC，连接AM，

则∠ANM+∠DNA=180∘，

∴∠C=∠ANM，

∴△ABC≌△AMN(SAS)，

∴AB=AM，∠M=∠ABC=α，

过B作BK//AM交DN于K，

∵AB//DN，

∴四边形BKMA是平行四边形，

∴AM=BK，∠BKD=∠M=α，

∵∠D=α，

∴BD=BK