云南省“美美与共”民族中学联盟2025-2026学年高二上学期联考（一）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省“美美与共”民族中学联盟2025-2026学年高二上学期联考（一）数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数，则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因为，则，故，则复数对应的点为，在第一象限.故选：A.2.已知集合，，则集合为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，又，则.故选：B.3.已知向量，满足，，，若，则为（）A. B. C.6 D.2【答案】C【解析】因为，则，即，又，，，所以，解得.故选：C.4.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据三角函数定义，，由二倍角公式.故选：D.5.为了深入调研学生会考模拟考试成绩，掌握学生数学会考成绩情况，现从该年级同学中随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图，下列说法不正确的是（）A. B.众数为85C.第70百分位数为80 D.该样本平均成绩为76【答案】C【解析】对A，依题意，得（频率之和为1），解得，正确；对B，众数为最高矩形对应中点横坐标为85，正确；对C，因为，，所以第70百分位数，由解得为，错误；对D，由频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数为：，正确.故选：C.6.在中，a，b，c三边对应的角分别为A，B，C，若，，则的值为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】在中，，则，因为，则，，又，解得，，又，在中，，所以，所以，所以.故选：A.7.已知a，b为空间中两条直线，，为空间中两个不同平面，下列命题为假命题的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，且，则D.若，，则【答案】D【解析】对于A，因为，，由面面平行的性质可知，故A正确；对于B，因，，所以,故B正确；对于C，因为，，且，由线面平行的性质定理可得，故C正确；对于D，因为，，则或，故D错误.故选：D.8.是定义在上的偶函数，满足，当时，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故的一个周期为2，故，因为为偶函数，所以，又，.故选：C.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.已知事件，若，，且，则B.已知事件，若，且与相互独立，则C.已知事件，若，，且，则与相互独立D.某班对学生体重进行抽样调查，抽取男生30人，平均数和方差分别为55，15；女生20人，平均数和方差分别为45，20，则总体样本的方差为【答案】ACD【解析】对选项A，因为，所以，则，所以选项A正确；对于选项B，因为与相互独立，，则，又，所以选项B错误；对于选项C，因为，又，则，所以与相互独立，故选项C正确，对于选项D，样本总体平均数，总体样本的方差为，所以选项D正确，故选：ACD.10.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为πB.的单调递增区间为，C.的图象向左平移个单位后的函数是偶函数D.在上有3个零点【答案】ABC【解析】由图象可知，因为，根据正弦函数周期公式，由可得，又，解得，所以；把代入得，即，因为，所以，解得，则；由前面计算已经得出，所以的最小正周期为，选项A正确；令，先解不等式，移项可得，即，解得，再解不等式，移项可得，即，解得，所以的单调递增区间为，选项B正确；的图象向左平移个单位，根据“左加右减”原则，得到，对于函数，，所以是偶函数，选项C正确；令，则，解得，当时，时，；时，，所以在上有个零点，选项D错误.故选：ABC.11.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆弧的中点，，，则下列结论正确的是（）A.该圆锥的体积为B.圆锥侧面展开图圆心角的弧度为C.异面直线与所成角的余弦值为D.二面角的正切值为【答案】ACD【解析】由已知底面圆的半径为，故，选项A正确；侧面展开图为扇形，弧度为，选项B错误；取另一段弧的中点为，连接，则为异面直线与所成角，又，，故，选项C正确；取的中点为，因为，为，的中点，，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，所以，选项D正确，故选:ACD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.【答案】.【解析】因为正方体的顶点都在同一球面上，所以球的直径为正方体的对角线，所以，所以，故球的表面积：.故答案为：.13.如图，在棱长均为1的平行六面体中，，则______.【答案】【解析】如下图所示：，平行六面体棱长均为1，，又，，，．故答案为：．14.解三角形的应用主要体现在利用三角形的边角关系（如正弦定理、余弦定理）解决实际生活中的测量、距离、高度、角度、面积等问题.如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则由A，B，C三点围成的区域面积为______.【答案】40【解析】根据同角三角函数关系，由，，且,得，，则，故，所以，.故答案为：40.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，角A，B，C所对边分别a，b，c，且.（1）求角A；（2）求的取值范围.解：（1）∵，∴，则，又∵，故.（2）∵，又∵，∴，∴，∴的取值范围为.16.某人进行投篮球训练检测，规定在M，N处各投篮球1次，根据以往经验，在M处投中的概率为0.6，获得3分，在N处投中的概率为0.8，获得2分.假设各处投篮相互独立，互不影响.（1）在M，N处均投中的概率为多少?（2）两次投篮后，至少得两分的概率为多少?解：（1）由相互独立事件同时发生的概率乘法公式，设在M处投中为事件M，在N处投中为事件N，两处均投中为事件A，即，，.则在M，N处均投中概率为0.48.（2）记两次投篮后至少获得两分为事件B，则.则两次投篮后，至少得两分的概率为0.92.17.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积及到平面的距离.（1）证明：如图1，连接交于，连接，∵四边形为菱形，则的中点为，且为的中点，∴是的中位线.∴且不在平面内，平面，∴平面.（2）解：∵平面，∴是三棱锥的高，又底面为菱形且，∴三角形为等边三角形，∴，，∴.由等体积法，，设到平面的距离为，又平面且底面为菱形，∴，∴，∴，∴.18.如图，四面体中，三角形为等腰直角三角形，且，，为的中点.（1）证明：平面；（2）若点满足，求锐二面角的余弦值.（1）证明：如图，连接.因为且为的中点，所以.因为为直角三角形，，所以，所以.因为，为的中点，所以.因为，所以，故因为与交于点，且平面，所以平面.（2）解：由（1）知，平面且.以为原点，以所在直线为轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图空间直角坐标系.因此，，，，.所以，.因为，所以，因此.设平面的一个法向量为，，∴，取，可得平面的一个法向量为.平面的一个法向量为设锐二面角为，则.19.已知为上的奇函数.（1）求的值；（2）试判断的单调性（不用证明），若恒成立，求的取值范围；（3）若在上有两个根，求的取值范围.解：（1）因为为上的奇函数，则，即，.此时，则，则为奇函数.（2）