第四章锐角三角函数（知识清单）（挖空版）数学湘教版九年级上册

第四章锐角三角函数1.正弦定义：在直角三角形中,我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的，记作，符号表示：sinα=符号表示：sinα=2.余弦定义：在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的，记作，即符号表示：cosα=符号表示：cosα=常见公式：cosα=sin（90°α）；sinα=cos（90°α）3.正切的定义：在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的，记作符号表示：tanα=符号表示：tanα=4.特殊锐角的三角函数值，如下表α30°45°60°SinαCosαTanα我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的。常见公式：sinα2+5.在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。像这样，我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形。图示已知条件解法两边两直角边c=a2+b2，求B=90°A斜边与直角边（a、c）b=c2−aB=90°A 一边和一锐角直角边与锐角一锐角与它的邻边（∠A与b）B=90°A；a=b一锐角与它的对边（∠A与a）B=90°A；b=a斜边与锐角（∠A与c）B=90°A；a=c一、混淆三角函数定义错误表现：分不清正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）对应的边比关系。正确方法：sinθ=对边斜边；cosθ=邻边斜边示例：若∠A的对边为3，斜边为5，则sinA=35【典例1】(2425九上·海南省海口市海南华侨中学·期中)如图，在△ABC中，AB=AC=7，BCA．267 B．265 C．【典例2】(2425九上·山东省济南市莱芜区陈毅中学·期中)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=3，A．34 B．43 C．45【典例3】(2425九上·黑龙江省哈尔滨市南岗区·期中)如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，连接DF，那么∠EDF的正切值是（A．2 B．12 C．55 二、忽视直角三角形的隐含条件错误表现：忽略勾股定理或两锐角互余（和为90°）。关键点：勾股定理：a²+b²=c²（c为斜边）。角度关系：若∠A=30°，则∠B=60°。【典例1】(2425九上·江苏省苏州市苏州工业园区星海实验初级中学·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=3,AC=1,CD⊥A．223 B．22 C．2【典例2】(2425九上·山东省济南市莱芜区陈毅中学·期中)如图所示，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠CAB的值为（A．355 B．175 C．3【典例3】(2425九上·柯桥区·期中)如图，在△ABC中，∠B=30∘，∠C=45∘，AD⊥BC于点D，BCA．1 B．23 C．322三、多解问题漏解场景：已知两边但未明确直角边或斜边时。示例：已知两边为3和4：若3和4为直角边，斜边5；若3为直角边、4为斜边，另一直角边7。【典例1】(2425九上·黑龙江省哈尔滨市第一一三中学·期中)在△ABC中，若AB=6，∠B=60°，AC=2【典例2】(2425九上·黑龙江省哈尔滨市风华中学·期中)四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，点P在AC上，若AB=4，tan∠PDO=12【典例3】(2425九上·重庆市第一中学校·期中)在△ABC中，cos∠ABC=12四、计算过程中的近似误差错误场景：在计算解直角三角形的实际应用时，没注意到题目是让保留根号还是保留小数。建议：中间步骤保留根号或分数（如2、13最终结果按题目要求保留小数位数。【典例1】(2425九上·吉林省长春高新技术产业开发区慧谷学校·期中)如图①是一款手机支架，当手机支架打开时如图②所示，其中BC=8cm，∠A=45°，∠ABC=95°，求AC的长．（结果精确到0.1cm；参考数据：sin50°≈0.77【典例2】(2425九上·安徽省阜阳市临泉县长官中学·期中)小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆．已知小海家B在小亮家A的北偏西25°方向上，AB=5km．两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西25°方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西70°方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离AC．（结果保留1位小数；参考数据：sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19【典例3】(2425九上·湖南省长沙市长郡梅溪湖中学·期中)2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时，在地面雷达站C处测得点A的仰角为30°，在地面雷达站B处测得点A的仰角为45°．已知AC=20km，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C重难点01求角的正弦值、余弦值或正切值【典例1】(2526九上·河北石家庄第十七中学·期中)如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC=5，A．35 B．247 C．2425【变式11】(2526九上·山东济宁第十五中学·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=3，A．35 B．45 C．34【变式12】(2425九下·江苏苏州外国语实验学校宿迁分校·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，CE⊥AB于点EA．2 B．223 C．75【变式13】(2425九上·辽宁大连第十四中学·期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，A．sinA=1213 B．tanA=重难点02利用正弦值、余弦值或正切值求边长【典例2】(2425九上·重庆巴渝学校·期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=A．6 B．3 C．8 D．10【变式21】(2425九上·福建泉州实验中学·期中)三角函数sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（

）A．sin70°>cos70°>tan70° B．tan70°>cos70°>sin70°C．tan70°>sin70°>cos70° D．cos70°>tan70°>sin70°【变式22】(2425九上·江苏苏州高新区·期中)已知12<cosAA．60°<A<80° B．30°<A<80° C．重难点03互余两角的三角函数值【典例3】(2425九下·上海普陀区·期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，已知sinA=A．23 B．32 C．53【变式31】(2324九上·江苏常州武进区武进区前黄实验学校·期中)如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D，BD=6，若E，【变式32】(2425九上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中)已知△ABC，AB=AC，D为BC中点，点E为AB中点，EF⊥AC，若重难点04锐角三角函数与网格问题【典例4】如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（

A．21313 B．31313 C．【变式41】(2425九下·云南第二学区·期中)在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则cos∠A．2 B．12 C．55 【变式42】(2425九上·辽宁鞍山铁西区·期中)如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanC的值为（A．22 B．12 C．1重难点05特殊三角函数值混合运算【典例5】(2324九上·广东揭阳揭西县兴贤实验学校·期中)计算：2【变式51】(2425九下·福建漳州漳浦县·期中)计算：−2【变式52】(2425九上·山东烟台福山区臧家庄中学·期中)计算：tan30°×sin60°+co重难点06由特殊角的三角函数值判断三角形的形状【典例6】若3tanA−3A．是直角三角形 B．是等边三角形C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形【变式61】在△ABC中，2cosA−22+1−tanA．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【变式62】△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且tanB重难点07解直角三角形求线段长度【典例7】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=A．2 B．3 C．25 D．【变式71】(2425九上·江苏苏州苏州工业园区星港，东沙湖，景城三校·期中)如图，在直角三角形ACD中，∠C=90°,∠A=30°,∠DBC=60°，A．253米 B．25米 C．252米【变式72】(2425八下·福建福州台江区·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=135°， AB=4, A．25 B．42 C．210【变式73】(2425九下·甘肃平凉庄浪县集团校·期中)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC=60°，BD=43，则A．4 B．26 C．2 D．重难点08解直角三角形综合【典例8】(2425九上·江苏苏州苏州工业园区星港，东沙湖，景城三校·期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为(1)求CD的长；(2)求tan∠DBC【变式81】(2324八上·宁夏银川第四中学·期中)如图，已知CD与AD互相垂直．经测量得AB=43，BC=10，∠(1)求出AD的长（结果保留根号）；(2)求出CD的长．【变式82】(2425九下·宁夏吴忠第六中学·期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=CD，(1)求证：AC=(2)点E在BC边上，满足∠CEO=∠COE．若AB=6，BC=8重难点09解直角三角实际应用之仰角俯角问题【典例9】小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与CD的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端B，即点E，C，B在同一直线上．此时，测得点B的俯角α=22°，点A的仰角β=16.7°，并测得EF=48m，FD=50m．已知，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，点F，D，B在同一水平直线上．求楼AB与CD的高度差．（参考数据：【变式91】如图，地面上小山的两侧有A、B两地，为了测量A、B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟50m的速度直线飞行，8分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（3取1.7，sin20°取0.3，cos20°取0.9，tan20°取0.4，sin70°取0.9，cos70°取0.3，tan70°取2.7．）【变式92】(2025·河北省邯郸市·模拟)如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为60°，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为45°，AP=10m，AB=8m，点B(1)求斜坡l的坡角∠BAC(2)求点M与点N的高度差．重难点10解直角三角实际应用之方位角问题【典例10】(2425九上·山东威海经开区（五四制）·期中)在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西14.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距30km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距63km的C(1)求该轮船航行的速度；(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．【变式101】(2425九上·海南海口海南华侨中学·期中)如图，在一条笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘船从A处沿北偏西60°方向出发，以每小时40海里速度行驶半小时到达P处，从B处测得小船在它的北偏东45°的方向上．(1)求AB的距离；（结果保留根号）(2)小船沿射线AP的方向继续航行一段时间后，到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求BC的距离．（结果保留根号）【变式102】(2324八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，某快艇由西向东航行，在M处测得灯塔P的方位是北偏东75°，又继续航行10海里，在N处测得灯塔P的方位是北偏东60°，(1)此时快艇与灯塔P的距离NP是多少海里．(2)若把“灯塔”改为“小岛”，小岛点P方圆4.5海里内有暗礁，如果快艇继续向东航行，请问快艇有没有触礁的危险？请说明理由．重难点11解直角三角实际应用之坡度坡比问题【典例11】(2425九上·辽宁鞍山铁西区·期中)如图，某大楼AB正前方有一栋小楼ED，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E的俯角为45°，小楼底端D到大楼前梯坎BC的底端C有80米，梯坎BC长65米．梯坎BC的坡度i=1:2.4，求大楼AB的高度（结果精确到1米，参考数据：3≈1.73，sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，【变式111】(2025九下·陕西省西安市·期中)如图，在河流的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i=1:2(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)的山坡CF，点E、点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为14°．求楼AB的高度．(溅角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，5≈2.24，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97【变式112】(2425九下·江西抚州高新技术产业开发区·期中)数学实践活动不仅可以增强学生的动手能力，还能加深他们对数学知识的理解．某数学兴趣小组开展了测量旗杆高度的实践活动，如图，斜坡AD的坡度i=1:1，AD=62m，在点D处测得旗杆BC顶部B的仰角为45°，在点A处测得旗杆BC顶部(1)求点D离水平地面的高度DE；(2)求旗杆BC的高度（结果保留根号）．重难点12解直角三角实际应用之跨学科问题【典例12】如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，AB=30cm，BE=13AB(1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度；(2)实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C、D、N、F在一条直线上），经测得：DE=21.7cm，MN=8cm，【变式121】(2425九上·福建莆田哲理中学·)我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n=sinαsinβ观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔MN发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至EF处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，GH为法线，测得BF=36cm，DF=48cm，（参考数据：sin(1)求入射角α的度数；(2)若光线从空气射入水中的折射率n=43【变式122】(2425下·广东佛山三水区·期中)综合与实践【教材重现】北师大版九年级下册教科书第9页例2：如图1，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果精确到0.01），图2是该情境建模后的图形．（本题不用解答）实际上，当秋千向两边摆动时，由于受摩擦力等其他因素的影响，两边摆动的角度一定不相同．某兴趣小组去到公园进行实地探究，测量了若干数据．请解答下列问题：(1)如图3，秋千没摆动时，秋千的踏板离地面是0.7m，将它往左拉1.5m，此时踏板离地面1.2m，求秋千链子OA的长度；(2)如图4，在（1）的条件下，释放踏板，测得秋千摆动到右侧时与竖直方向的夹角∠AOD为34°，求秋千踏板在B、D处的高度差．（参考数据：sin34°≈0.559，cos34°≈0.829，tan34°≈0.675，结果精确到0.01重难点13解直角三角实际应用之其他问题【典例13】(2425九下·江苏盐城初级中学（康居路）·期中)消防车是消防救援的主要装备，图1是某种云梯消防车，图2是其侧面示意图，点D、B、O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆（长度可以变化），点O，A，C在同一水平线上，OC与地面平行，其中BD可伸缩，云梯OD的最大长度为15米，套管OB的长度不变．(1)在某种工作状态下测得，∠BAC=45°，∠DOC=37°，(2)如图3，先将云梯OD伸长到最大长度15米，再将∠DOC从37°增加到某一角度时，若云梯顶端D的铅直高度升高了3米，求∠DOC增加的度数．（参考数据：sin37°≈35，【变式131】(2025·江西省南昌市·一模)“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图1是一种摇盖垃圾桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子PAQ可整体绕点A所在的轴旋转．现测得∠BAE=120°，∠ABC=∠AED=110°，(1)如图3，将PAQ整体绕点A逆时针旋转角α，当AQ∥BE时，求(2)求点A到CD的距离．（结果精确到0.1cm，参考数据sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）【变式132】(2425九下·湖南长沙一中集团·期中)2025年长沙将再增一座跨江大桥，长沙兴联路大桥目前已完成合龙全线贯通，建成通车后将大大缩短湘江两岸通行时间．兴联路大桥区域交通简化示意图如图所示，线段AB表示湘江北路，长度2km，线段BC表示三汊矶大桥，长度2.3km，线段CD表示潇湘北路，长度3.7km，折线段AED表示兴联路大桥跨江部分，∠EAB=∠ABC(1)计算兴联路大桥跨江部分线段AE+DE的长度；（结果精确到0.1km，参考数据(2)兴联路大桥通车前，从A地驾车前往D地，需绕行三汊矶大桥，按A→B→C→D路线行驶，平均速度约为40km/h，通车后可以直接沿兴联路大桥按A→E→重难点14解直角三角实际应用之素材问题【典例14】(2025九·甘肃省兰州市·一模)西固金城公园9D玻璃栈桥是我省最长的9D特效玻璃桥，数学实践小组在研学时提出问题：玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下：问题玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？工具皮尺、测领器等测量工具图形说明根据实际问题画出示意图（如上图），