重难点培优03函数的单调性奇偶性周期性对称性的高级应用（复习讲义）

重难点培优03函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性的高级应用目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"12"\h\u01知识重构・重难梳理固根基 102题型精研・技巧通法提能力 4题型一奇偶性中的参数、图像、求值问题（★★★★★） 4题型二单调性综合奇偶性解不等式与比较大小（★★★★★） 8题型三周期性及其应用（★★★★★） 12题型四对称性Ⅰ—轴对称（★★★★★） 17题型五对称性Ⅱ—中心对称（★★★★★） 20题型六对称性结合周期性（★★★★★） 24题型七类周期性（★★★★） 28题型八函数性质的综合应用（★★★★★） 33题型九导函数与原函数的对称性（★★★★） 3903实战检测・分层突破验成效 44检测Ⅰ组重难知识巩固 44检测Ⅱ组创新能力提升 621、单调性技巧（1）几条常用的结论：2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（8）常见奇偶性函数模型④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系5、对称性技巧题型一奇偶性中的参数、图像、求值问题【技巧通法·提分快招】1、奇偶函数的性质（1）偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反；（2）奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同；2、奇偶性技巧（2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(3)常见奇偶性函数模型【答案】B【分析】由函数奇偶性的性质，定义域关于原点对称可求得,进而判断函数的奇偶性.故选：B．【答案】A故选：A.【答案】C【分析】用排除法，利用特值法以及函数的奇偶性，零点即可排除其他选项，从而可得答案.故B错误；故选：C.A． B．1 C． D．2【答案】C故选：C.【分析】由奇函数定义计算即可.【答案】6故答案为：6.【答案】故答案为：.题型二单调性综合奇偶性解不等式与比较大小【技巧通法·提分快招】单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题【答案】A故选：A.【答案】D【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围.故选：D.【答案】C故选：C.【答案】B故选：B【答案】D【分析】通过函数的奇偶性和单调性即可判断.故选：D.【答案】C【分析】根据函数的奇偶性确定其对称性，再由单调性解不等式即可.故选：C【答案】D【分析】根据函数是偶函数及函数单调性，分类讨论计算求解不等式即可.故选：D．【答案】B故选:B.题型三周期性及其应用【技巧通法·提分快招】周期性技巧A． B． C．4 D．2【答案】B故选：B.A． B． C． D．4【答案】D故选：D.A． B． C． D．【答案】A故选：AA． B． C． D．【答案】D故选：D.A． B． C． D．【答案】C故选：C.A．1 B． C．0 D．【答案】C故选：C.A．2 B．1 C．0 D．【答案】D故选：D.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B故选：B【答案】C故选：C.题型四对称性Ⅰ—轴对称【技巧通法·提分快招】轴对称性的常用结论如下：（4）f(a－x)=f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=eq\f(a＋b,2)对称；小建议：轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值来找出对称轴。【答案】A【分析】根据函数单调性和对称性求解即可.故选：A【答案】B故选：B.【答案】D【分析】根据函数的对称轴结合平移得出奇偶性，再结合奇函数定义计算判断即可.故选：D.【答案】A故选：A．【答案】B故选：B.【答案】C【分析】根据直线对称的性质，结合中点坐标公式进行求解即可.故选：CA． B．0 C．1 D．2【答案】A故选：A．题型五对称性Ⅱ—中心对称【技巧通法·提分快招】中心对称结论如下：小建议：点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平均值）来确定对称中心的位置。【答案】B故选：B.【答案】A故选：A【答案】D故选：D.【答案】D故选：D．A．9 B． C．12 D．【答案】D故选：.【答案】D故选：题型六对称性结合周期性【技巧通法·提分快招】函数的的对称性与周期性的关系【答案】C【分析】首先根据条件判断函数的周期，再根据函数的周期性和对称性求函数值，即可求和.故选：C【答案】D故选：D.A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计算给定求和式的值.故选：B.【答案】D故选：DA． B． C． D．【答案】B故选：BA．4048 B．4049 C．4051 D．4054【答案】B故选：B【答案】D故选D．【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．题型七类周期性【技巧通法·提分快招】1、类周期函数2、倍增函数【答案】A如下图所示：故选：A.【点睛】关键点点睛：本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题.对于递推倍减函数的恒成立问题，解题关键在于根据恒成立条件，分别求得在对应区间上的函数解析式，结合函数图象的理解，求得参变量的范围.A． B． C． D．【答案】C故选：C【点睛】抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论.故答案为：；.故答案为：.题型八函数性质的综合应用【答案】A故选：A【答案】D故选：D【答案】D故选：D.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：A． B．2 C． D．1003【答案】C故选：C．【点睛】方法点睛：求解函数性质综合问题时，往往借助函数奇偶性、对称性、周期性等性质进行推理证明，结合对称轴、对称中心等实现求和计算即可.其中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D故选：D．【答案】BCD故选：BCD.【答案】ACD故选：ACD.题型九导函数与原函数的对称性【技巧通法·提分快招】导函数与原函数的对称性同理：【答案】B【分析】根据已知新定义结合导函数的对称性即可计算求解.故选：B【答案】C故选：C．A．0 B．1 C．1 D．2【答案】D故选：D．【答案】D故选：D．A． B．1 C．2025 D．2026【答案】D【分析】根据条件判断函数的对称性，并得到函数的周期性，再通过赋值法，结合函数的性质，即可求和.故选：D【答案】D故选：D检测Ⅰ组重难知识巩固【答案】B【分析】利用函数的图象变换求解.向上平移2个单位得到的，故选：B【答案】B故选：B【答案】C故选：C.A． B．1 C．0 D．3【答案】B故选：B【答案】B故选：B.【答案】A故选：A.【答案】B综上所得，选项B符合题意．故选：B．【答案】B【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案.故选：B．A．2026 B．2025 C．2024 D．2023【答案】A故选：A【点睛】关键点点睛：利用偶函数的性质，结合已知等式，探讨函数的周期性是求解问题的关键.A．3m B．6m C．9m D．12m【答案】A故选：A【答案】D故选：D【答案】B故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性的应用，可利用以下结论来转化：A．2025 B．2026 C．4050 D．4052【答案】D故选：D【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题关键是找出抽象函数的周期和对称性.其中正确说法的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】利用给定条件判断①，运用给定条件结合中心对称性的定义判断③，利用给定条件结合等比数列的性质判断②，利用给定条件判断④即可.综上，正确说法的个数为.故选：D【答案】A故选：A.【答案】BD故选：BD.【答案】BCD故选：BCD【答案】BCD【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，推得函数的对称性和周期性，结合选项，逐项判定，即可求解.所以D正确．故选：BCD.【答案】ACD故选：ACD.【答案】AC【分析】利用复合函数的奇函数定义及复合函数的导数法则，结合函数的对称性及周期性即可求解.故选：AC.【答案】ABD故选：ABD【答案】1故答案为：1【答案】故答案为：【答案】1故答案为：1．【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义及性质分段求解不等式.【答案】故答案为：.【答案】2499【分析】根据抽象函数的对称性、周期性运算得解.故答案为：2499.【答案】【分析】先根据奇函数的性质得到与的关系，再将所求式子进行变形，最后利用基本不等式求解最小值.故答案为：.【答案】4048故答案为：4048.检测Ⅱ组创新能力提升【答案】C故选：C.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B故选：B【答案】B【分析】根据给定条件分段求出解析式及对应函数值集合，再利用数形结合，可求得结果作出函数的大致图象，如图所示，

故选：B【点睛】关键点点睛：函数不等式恒成立问题，考查二次函数的性质，考查分段函数的性质，解题的关键是根据已知条件求出函数的解析式，再根据解析式画出图象，利用图象求解即可，考查数形结合思想，属于较难题.【答案】D故选：D