专题02有理数的运算（19个考点梳理题型解读提升训练）

专题02有理数的运算（19个考点梳理题型解读提升训练）【清单1】倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若ab=1a、b互为倒数；若ab=1a、b互为负倒数.等于本身的数汇总：相反数等于本身的数：0倒数等于本身的数：1，1绝对值等于本身的数：正数和0平方等于本身的数：0,1立方等于本身的数：0,1，1.【清单2】有理数加法的运算律：【清单3】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即ab=a+（b）.【清单4】有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数与零相乘都得零；（3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。【清单5】有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.（简便运算）【清单7】有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；【清单8】乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0a=0,b=0；（4）正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。【清单9】混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：不省过程，不跳步骤。【清单10】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数1,整数位数=10的指数+1【清单11】近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位.【考点题型一】有理数加法【答案】C【分析】此题考查有理数的加法的应用，解题关键在于找到规律．由图可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图即可列式．【详解】解：由图知：白色表示正数，黑色表示负数，故选：C．【变式11】（2324七年级下·北京·期中）在四张卡片上写上4个正整数，再从这四张卡片中任选两张，将卡片上的数字相加，所得的和记为．（1）若i的最大值为4，则这4个正整数中，最大的数字可能为；（2）若i所有可能的值为5，6，7，8，则这4个正整数分别是．（写出一组即可）【答案】32、3、3、5或2、3、4、4（任填一组即可）【分析】本题主要考查了有理数的加法计算：（1）根据两个正整数相加的和最大值为4，即可得到答案；（2）分别列出两正整数相加为5，6，7，8的所有可能性，进而推出最小的两个数一定是2和3，再讨论最大的数为6，5，4即可求解．【详解】解：（1）∵两个正整数相加的和最大值为4，∴这两个正整数中，最大的数为3，故答案为：3；（2）相加得5的两个正整数整数可能为：1，4或2，3；相加得6的两个正整数可能为：1，5或2，4或3、3；相加得7的两个正整数可能为：1，6或2，5或3、4．相加得8的两个正整数可能为：1，7或2，6或3，5或4、4，∵i所有可能的值为5，6，7，8，即不管怎么选取，两个正整数的和的最小值都为5，∴最小的两个数一定是2和3，∵和最大为8，当最大的数为4时，则另外一个数为4，此时四个数为2、3、4、4，符合题意；综上所述，符合题意的数为2、3、3、5或2、3、4、4，故答案为：2、3、3、5或2、3、4、4（任填一组即可）【变式12】（2324七年级上·北京丰台·期中）计算：【答案】(1)(2)【分析】（1）根据加法法则，同号两数相加，取相同的符号，绝对值相加即可，计算即可；（2）根据加法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数，计算即可；．【点睛】本题考查了有理数的加法运算，解题的关键是掌握有理数的加法法则．【变式13】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题：【答案】(1)(2)(3)(4)18.96【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数．（1）至（6）根据加法法则计算即可．【考点题型二】有理数加法运算律【例2】（2324七年级上·山西吕梁·期中）下列变形中正确使用加法交换律的是（

）【答案】C【分析】本题考查有理数的加法运算，根据加法运算律逐一判断即可．故选：C．【变式21】（2324七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（

）【答案】C【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键．故选C．【答案】②③【分析】根据新定义逐项进行分析即可．故①错误；故②正确；故③正确；∴该运算满足交换律不成立．故④错误，故答案为：②③【点睛】此题考查了新定义运算，读懂题意是解题的关键．【答案】（1）7；（2）【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算．（1）根据有理数加法运算法则进行计算即可；（2）根据有理数加法的运算律进行简单计算即可．=7；【变式24】（2024七年级上·全国·专题练习）用适当方法计算：【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键．【考点题型三】有理数加法应用【例3】（2425九年级上·北京海淀·开学考试）某乡镇下设有六个村庄，村庄之间有道路相通，如图所示，图中的黑线即代表村庄间连通的道路，道路上标志的数字为该道路的长度（单位：千米），小宇要为该乡镇设计自来水管道线路，为了铺设及检修方便，所有的自来水管道均要沿着村庄间的道路铺设，且要求六个村庄都能通过管道相连．请回答：所铺设自来水管道总长度的最小值为千米．【答案】【分析】本题考查了有理数加法运算的应用，根据图形找到所铺设自来水管道的最短路径，再列式计算即可求解，根据图形找到所铺设自来水管道的最短路径是解题的关键．故答案为：．【变式31】（2324八年级下·北京丰台·期末）某校初二（1）班负责学校种植园的黄瓜、茄子两块菜地，定期选派学生完成菜地的打理工作，打理内容包括A（施肥），B（除草），C（浇水）三项，要求如下：①其中项目A，B顺序可以交换，但项目C必须放在最后完成；②每块菜地同一时间只能有一人进行打理；③每块菜地每项完成时间如下表：时间（分钟）

项目菜地ABC黄瓜菜地15129茄子菜地18159现有该班3名同学打理菜地，小明只负责项目A，小亚只负责项目B，小红只负责项目C，在不考虑其他因素的前提下，若这3人只完成黄瓜菜地的打理，则需要分钟；若这3人完成两块菜地的打理，则最少需要分钟．【答案】3645【分析】本题考查有理数加法在生活中的应用，根据所给规则合理安排工作顺序，即可求解．若要需要最少时间，小明先给黄瓜菜地施肥，同时小亚给茄子菜地除草，用时15分钟，然后小明给茄子菜地施肥，用时18分钟，同时小亚给黄瓜菜地除草，用时12分钟，然后小红给黄瓜菜地浇水，用时9分钟，然后小红最后给茄子菜地浇水，故答案为：36，45．工序ABCDEFG所需时间/分钟99797102若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是分钟．【答案】28【分析】本题考查有理数的运算，结合题意进行正确的推理是解题的关键．【详解】解：假设这两名学生为甲，乙，工序、须在工序完成后进行，工序须在工序、都完成后进行，且工序，都需要9分钟完成，甲学生做工序，乙学生做工序，需要9分钟，然后甲学生做工序，同时乙学生做工序，乙学生工序完成后接着做工序，此时需要9分钟，最后甲学生做工序，乙学生同时做工序，此时需要10分钟，即若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要28分钟．故答案为：28．【变式33】（1819七年级上·福建厦门·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，约定向东记为正，向西记为负（单位：千米）：，，，，，，，．(1)请你帮忙确定地相对于地的位置；(2)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？【答案】(1)地在地的东边千米；(2)升油．【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向；（2）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案．答：地在地的东边千米；答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充升油．【点睛】此题考查了正数和负数，掌握有理数的加法运算是解题关键．【考点题型四】有理数减法【例4】（2324七年级上·山东德州·阶段练习）下列计算中，错误的是(

)【答案】A【分析】根据有理数减法运算法则直接求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，故选：A；【点睛】本题考查有理数减法运算法则，解题的关键是熟练掌握法则．【变式41】（2223七年级上·北京东城·期中）下面是小明和小乐在学习有理数运算后的一段对话．请你完成下面的运算，并填写运算过程中的依据解=．【答案】；减去一个数等于加上这个数的相反数；5；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；．【分析】先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，然后再利用“异号的两个有理数的加法法则”进行计算，即可得解．故答案为：；减去一个数等于加上这个数的相反数；5；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；．【点睛】此题考查了有理数的减法运算与加法运算，熟练掌握有理数加法与减法的运算法则是解答此题的关键．【答案】26【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．根据有理数的减法法则计算即可．【点睛】本题考查了有理数的减法法则，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式43】（2425七年级上·全国·单元测试）计算：【答案】(1)(2)12【分析】本题考查了有理数的减法．先根据有理数的减法法则，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可．【考点题型五】有理数减法应用【例5】（2122七年级上·广东广州·期中）某市某天的最高气温为5℃，最低气温为﹣6℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）A．﹣11℃ B．﹣6℃ C．11℃ D．6℃【答案】C【分析】根据有理数的减法法则列式计算即可．【详解】解：5﹣（﹣6），＝5+6，＝11（℃），故选：C．【点睛】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．【答案】C【分析】本题考查有理数减法的应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据正数和负数的实际意义列式计算即可．故选：C．【变式1】（2324七年级上·北京西城·阶段练习）某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示：志愿者可参与值守时间段1可参与值守时间段2甲乙丙丁已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最最长为（

）小时．（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】本题主要考查简单的极端原理，关键是理解清楚每个人至少参加一个时间段的值守，同一时间值守的人不能超过两个的含义．【详解】要使时间最长，即每人尽量都参加两次值守，且同一时间值守的人不能超过两个，故选B．【变式52】（2324七年级上·北京东城·期中）如果将点B先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度后，这时点B表示的数是，则点B最初在数轴上表示的数为．【答案】【分析】本题考查了用数轴上的点表示数，有理数的加减法，解题的关键是根据移动的方向和距离，反向列式计算即可．∴点B最初在数轴上表示的数为，故答案为：．【变式1】（2223七年级上·北京通州·期中）我们给出如下规定，如果两个有理数的和是8，那么称这两个有理数互为“吉祥数”．(1)下列各数对①5和3；②和13；③和46中，互为“吉祥数”的数对有．（只填写序号）(2)若一个有理数的“吉祥数”是，求这个有理数；(3)在数轴上，点A到原点O的距离是8，请直接写出点A表示的数的“吉祥数”．【答案】(1)①②(2)11(3)0或16【分析】（1）分别求和计算，然后根据“吉祥数”的概念求解即可；（2）根据“吉祥数”的概念列式求解；（3）首先得到点A表示的数为或，然后根据“吉祥数”的概念求解即可．综上所述，互为“吉祥数”的数对有①②，故答案为：①②；（2）根据题意得，∴这个有理数为11；（3）∵点A到原点O的距离是8∴点A表示的数为或综上所述，点A表示的数的“吉祥数”为0或16．【点睛】此题考查了有理数的加减法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则．如图，以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示画出数轴．(1)村离A村有多远；(2)邮递员一共骑行了多少千米？【答案】(1)数轴见详解，C村离A村有6千米远(2)18千米【分析】本题考查了数轴及有理数的加法运算，根据题目信息，理解数量关系并画出数轴是解题的关键．（1）画出数轴，然后根据题意标注点、、即可；（2）列出算式计算即可得解．【详解】（1）解：由题意可得数轴如图所示：答：村离村有6千米．答：邮递员一共骑行了18千米．【考点题型六】有理数加减混合运算【答案】【分析】本题主要考查了有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数加法和减法运算法则求解即可．【答案】【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，先化为省略加号的和的形式，再计算即可．．【答案】【分析】本题考查了有理数的加减，根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可，熟练掌握有理数的加减运算法则是解此题的关键．【答案】【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，把互为相反数的两个数，分母相同的两个数先加，再计算即可，掌握加法的运算律是解本题的关键．【答案】6【分析】本题主要考查有理数加减法，根据加法交换律和结合律进行计算即可=6．【答案】25【分析】根据有理数的运算法则即可求解．=25．【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知有理数的简便运算法则．【考点题型七】有理数加减中的混合运算A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了有理数的新定义运算，根据新定义运算计算即可求解，理解有理数的新定义运算是解题的关键．故选：．A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．无法确定【答案】A【分析】利用有理数的加法求出已知各数的和即可求出一周总的盈亏情况．该食品店这一周的盈亏情况是盈285元，故选：A．【点睛】此题主要考查了正数和负数及有理数加法在实际生活中的应用，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则．【变式72】（2324七年级上·北京西城·阶段练习）阅读下面材料，并完成问题：【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）按新定义计算即可求解；故答案为：，；因为是整数部分，所以：综上所述，的值为或，故答案为：或；故的值为．【答案】今年的小麦总产量与去年相比增产了44【分析】本题考查了有理数加减的实际应用，正负数的意义，将所给数据相加，根据增产为正，减产为负可得答案．答：今年的小麦总产量与去年相比增产了44．

(1)请通过计算说明A站是哪一站？(2)请说明济嘉同学本次志愿活动向东最远到哪站？(3)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次济嘉同学志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？【答案】(1)西单站；(2)大望路站；【分析】（1）求出这些数的和，再根据和的符号和绝对值大小判断A站所在的位置；（2）分别计算前1个、前2个、前3个、…、前8个数的和，然后由和的符号是正数，且绝对值最大数来确定向东最远的站点；（3）计算所有站数的绝对值的和，再乘以1.2即可．A站是西单站；【点睛】此题考查了正数与负数的意义、有理数的混合运算，正确理解绝对值、正负数的意义是解答此题的关键．【考点题型八】有理数乘法【答案】B【分析】本题考查有理数的乘法、有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的乘法法则、有理数的加法法则进行解题即可．∴a，b同号，故选：B．A．点A左侧 B．点A点B之间（不含点A点B）C．点B点C之间（不含点B点C） D．点C右侧【答案】C∴原点在点B点C之间；故选C【答案】D故选D．【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，以及有理数的加法和乘法法则，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．【变式83】（2324七年级上·北京朝阳·阶段练习）四个互不相等的整数和为零，积为9，求这四个数中最大的整数值为．【答案】3【分析】根据有理数的加法运算法则判断出这四个数是两对相反数，再根据有理数的乘法运算列式即可判断出最大的数．【详解】解：四个互不相等的整数和为零，这四个数是相对相反数，它们的积为9，这四个数中最大的整数值为3，故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数的乘法、有理数的加法、相反数的定义，熟记运算法则是解题的关键．【变式84】（2122七年级上·北京通州·期末）如图，在数轴上有一点A，将点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为．【答案】/0.5【分析】根据数轴、结合题意设的值为，分情况列出方程，解方程即可．故答案是：．【点睛】本题考查的是有理数的乘法、一元一次方程、数轴，解题的关键是掌握有理数的乘法法则、灵活运用分类讨论思想解决．【答案】故答案为：．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出、、、的值．(1)请你仿照上面各式的形式，再写出一个不同的式子：________；(3)不成立，理由见详解【分析】（1）根据材料提示，正数、负数都已经有计算方法，用零表示其计算过程即可求解；（2）根据材料提示，有理数的混合运算法则即可求解；（3）根据计算法则进行有理数的运算即可求证．（3）解：不成立，理由如下，【点睛】本题主要考查有理数运算的规律题，理解题目定义新运算的运算法则，掌握有理数的运算方法是解题的关键．【变式87】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：【答案】(1)(2)1.62【分析】本题考查了有理数的乘法，熟记运算法则是解题的关键，计算时要注意运算符号的处理．（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；（2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．【变式88】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：(2)(3)(4)0【分析】本题考查有理数的乘法，熟知有理数乘法运算法则是解答的关键．（1）根据有理数的乘法法则计算即可；（2）根据有理数的乘法法则计算即可；（3）根据有理数的乘法法则计算即可；（4）根据有理数的乘法法则计算即可．（4）原式．【考点题型九】有理数乘法运算律【答案】【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律．【答案】4【分析】本题考查了有理数乘法的分配律，熟练掌握有理数乘法的分配律的运算法则是解答本题的关键．．【答案】【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据乘法分配律进行计算即可求解．【答案】【分析】本题考查了有理数的混合运算，原式逆用乘法分配律进行计算即可．．【答案】【分析】根据乘法分配律的逆运算进行计算即可．．【点睛】本题考查了有理数的乘法，注意运算律的运用，使运算过程得到简化．【变式94】（2223七年级上·北京顺义·阶段练习）计算题．【答案】(1)30(2)3(4)【分析】（1）根据有理数加减计算法则求解即可；（2）根据有理数加减计算法则求解即可；（3）根据有理数乘法结合律求解即可；（4）根据有理数乘法分配律求解即可．；【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数乘法运算律，熟知相关计算法则是解题的关键．【考点题型十】有理数乘法应用【答案】C【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题意正确列出算式是解题的关键．先根据题意列出算式，然后再根据有理数混合运算法则计算即可．故选：C．【变式101】（2223六年级上·北京·期末）小昕爷爷去年在银行里存入50000元，存定期两年，年利率是2.70%，到期时可以得到利息元．【分析】到期时，利息＝存入银行的钱数×年利率×2．根据题意，列出相应的式子．【点睛】本题主要考查了存钱利息，根据题意列出相应的式子是解题的关键．【答案】1900所以成活的树苗大约有1900株．故答案为：1900【点睛】本题考查了有理数的乘法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式103】（2024·北京西城·二模）在某次比赛中，5位选手进入决赛环节，决赛赛制为单循环形式（每两位选手之间都赛一场）．每位选手胜一场得3分．负一场得0分，平局得1分．已知这次比赛最终结果没有并列第一名，获得第一名的选手的成绩记为（分），则的最小值为；当获得第一名的选手的成绩恰好为最小值时，决赛环节的平局总数至少为场．【答案】64【分析】本题考查规律型，数字的变化类，根据比赛要求求出总的场次，即可得出所有选手的得分总和的范围，再分析出每名选手的比赛场次，根据题意分析出没有并列第一名，且需要求第一名选手成绩的最小值，此条件下，可得有一名选手至少赢一场，就可与其他选手拉开差距，且此时第一名的成绩也可以尽可能的小，进行计算即可的出结论﹒【详解】解：已知5名选手，两两之间只比赛一场，因为胜场得分3分，负一场得分0分，若平局，则两位选手各得1分，因为没有并列第一名，且需要求第一名选手成绩的最小值，所以当10场中9平1胜时，即有一名选手赢一场，就可与其他选手拉开差距，则m的最小值为6；……依次类推，可知：所有选手的总分越大时，平局的场次越少，即在第一名为6分时，总分越大时，平局得场次就越小，当第一名为6分，其余四位选手均为5分时，所有选手此时的总分最大，故平局是数最少为4场，故答案为：6，4．【变式104】（2024·北京·三模）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：车床代号ABCDE修复时间（分钟）83111617若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：（2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为元．【答案】②1040【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键．（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可；（2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，修复时间最短，据此计算即可．∴经济损失最少的是②，故答案为：②；（2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，故答案为：1040．【考点题型十一】倒数【例11】（1718七年级·北京门头沟·期末）的倒数是（）A．8 B．-8 C． D．【答案】B【分析】根据倒数的定义即可求解，解题的关键是熟知负数的倒数还是负数．【详解】解：的倒数为．故选：B．【答案】1【分析】互为相反数的两个数相加为0，互为倒数的两数积为1，即可求解．故答案为：1．【点睛】本题考查了相反数和倒数的特性，是常考的知识点．【答案】－1【分析】利用相反数、倒数的性质，以及绝对值的代数意义分别求出对应的值，代入原式计算即可得出正确答案．故答案为：－1．【点睛】本题考查了相反数、倒数的性质和绝对值的意义，熟练掌握以上性质是解答此类题的关键．【变式113】（2122七年级上·北京·期中）如图，在数轴上的倒数所对应的点是．【答案】C【分析】先求得的倒数，再在数轴上找对应点．【详解】解：的倒数是，B代表的数是，C代表的数是，故填：C．【点睛】本题考查用数轴表示有理数，属于基础题型．【变式114】（2122七年级上·北京·期末）小明在学习“倒数”一节的相关知识时发现：若5＞2，则＜．于是，他归纳出关于倒数的一个结论：对于任意两个非零有理数a，b，若a＞b，则＜．同学们，你们认为小明发现的结论（填“正确”或“错误”），理由是：．【分析】讨论两个非零有理数异号时，与的大小关系即可得出结论．【详解】解：小明发现的结论错误，【点睛】本题考查了倒数、有理数的大小比较，熟练掌握倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）是解题关键．【考点题型十二】有理数除法【分析】原式利用除法法则变形，计算即可求出值．【点睛】此题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则．【变式121】（1415七年级上·湖北孝感·阶段练习）两个非零有理数的和为零，则它们的商是(

)A．0 B． C．1 D．不能确定【答案】B【分析】设这两个数分别为a，b（a≠0，b≠0），根据相反数定义求得a=b，再根据除法法则计算即可．【详解】解：设这两个数分别为a，b（a≠0，b≠0），由题意得，a+b=0，则a=b，∴a÷b=（b）÷b=1，故选：B．【点睛】此题考查了有理数的除法计算，相反数的定义，熟记相反数的定义及除法计算法则是解题的关键．A．8 B． C．2 D．【答案】B故选：B．A．3或1 B．或0 C．3或 D．或1【答案】C【分析】本题考查绝对值的定义以及性质，解题的关键是熟练掌握基本概念，根据绝对值的定义以及性质分两种情况讨论，即可解决问题．【详解】解：∵x，y同号，故选：C．【答案】C【分析】利用有理数的加法与除法法则判断即可．【详解】解：∵a+b＜0，0，∴a与b同号，且同时为负数，则a＜0，b＜0，故选：C．【点睛】此题考查了有理数的除法，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【分析】本题考查了有理数的乘除法，有理数的大小比较，根据有理数的乘法与有理数的大小比较求出a、b的值，然后相除即可得解．故答案为：．【考点题型十三】有理数除法的应用【例13】（2324七年级上·北京海淀·阶段练习）数轴上原点右边厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴上原点左边18厘米处的点表示的有理数是．【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，根据题意先求出1厘米在数轴上表示个单位长度，进而求出原点左边18厘米处的点与原点的距离，再根据原点左边的数是负数即可得到答案．【详解】解：∵数轴上原点右边厘米处的点表示的有理数是32，(1)请你判断小明的解答是否正确，若正确，请你运用小明的解法解答下面的问题；若不正确，请说明理由．【答案】(1)正确(2)【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可；（2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值．【详解】（1）解：正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数；【点睛】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【答案】(1)(2)①；②（2）①从类数中任取两个数进行计算，即可求解；②从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，把它们的余数相加，再除以，根据余数判断即可求解．故答案为：．∴余数为，属于类，故答案为：①；②．【点睛】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答．【考点题型十四】有理数的乘方A．乘 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加【答案】B【分析】根据乘方的含义：表示个相乘，即可解答．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的乘方，充分理解乘方的含义即可，难度不大．A． B． C． D．【答案】A故选：A．【点睛】本题考查了乘法以及乘方的意义，理解乘方的意义是解题的关键．【变式142】（2223七年级下·北京朝阳·期末）下列各组运算中，运算后结果相等的是（

）【答案】B【分析】根据有理数的乘方的法则计算即可．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟记法则是解题的关键．【变式143】（2122七年级上·北京海淀·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为的木棍，第天截取后木棍剩余的长度是（

）【答案】C【分析】本题考查了有理数乘方，分别求出第一天、第二天、第三天木棍剩余的长度，即可找到规律求解，掌握有理数乘方的意义找到规律是解题的关键．∴第天截取后木棍剩余的长度是，故选：．A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④【答案】D综上所述，正确的序号有②③④．故选：D．【点睛】本题考查的新定义运算，有理数的乘方运算的含义，正确理解新定义，运用新定义解决问题是解本题的关键．【答案】6【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，将原式变形求出x和y的值即可得到答案．故答案为：6【考点题型十五】有理数乘除混合运算【答案】【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是熟记有理数混合运算的顺序，运算法则与运算定律．先确定符号，再根据有理数乘除混合运算法则进行计算．【答案】【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除法“先将除法运算转化成乘法运算并确定符号，再按顺序计算”可以解答本题．．【答案】【分析】根据有理数的乘除运算法则计算即可．【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键．【答案】．【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．【答案】【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．按照从左到右的顺序进行计算，即可解答．【考点题型十六】有理数四则混合运算【答案】9【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算法则即可解题．【答案】2【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数四则混合运算法则，准确计算．．【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法，后算减法，即可求解．【答案】【分析】本题考查的是有理数的混合运算．先计算平方和括号里面的乘法，再算加减，最后算括号外面的即可．【考点题型十七】含乘方的有理数混合运算【例17】（2324七年级下·北京·开学考试）计算：【答案】(1)27(2)0【分析】本题考查了有理数的混合运算，(1)按照先乘除，再算加减的顺序计算即可．(2)按照先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里的顺序计算即可．．【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方，再