概率论的基本概念100

概率论的基本概念自然界与社会生活中存在两类现象：确定性现象和随机现象确定性现象：在一定条件下必然发生的一类现象，其结果是确定的苹果落地；同种电荷相斥，异种电荷相吸随机现象：结果呈现不确定性：如气象变化、购买彩票、成绩分布等但其中隐藏着一些确定的规律2/78概率解决的问题存在固有偏差，风，瞄准镜等问题概率解决的问题实例：在相同条件下，用同一支狙击步枪射击同一目标，观察弹着点的情况3/78巴雷特M82，半自动反器材步枪确定性现象随机现象实例得到弹着点分布图，考虑下面三种情况精度高精度低存在固有偏差，风，瞄准镜等问题概率解决的问题单次实验结果不确定，大量实验具有统计规律性统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现出来的固有规律性随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果具有统计规律性的现象4/78确定性现象随机现象实例统计规律性单体不可预测性和群体的频率稳定性精度高精度低单体的不可预测性和群体的频率稳定性概率解决的问题要正确理解随机现象的统计规律性著名科学家吴大猷(yóu)曾经幽默的举了两个错用概率的例子，我们仅列举1例：一个病人去看病，经检查后医师告诉病人说他需要动手术。病人问这项手术的死亡率怎样？医生说这项手术100个病人有50个要死的，但他立刻安慰病人说，已有50个病人死去了，所以患者不必担心。错误在于用统计规律来解释单次实验的不确定性“随机”和“模糊”不同：随机，体现偶然性，结果不确定性模糊，体现“边界不清楚”，比如“冷”和“热”，“秃”与“不秃”，“青年属于哪个年龄段”等等5/78确定性现象随机现象实例统计规律性单体不可预测性和群体的频率稳定性概率解决的问题随机现象是宇宙空间内最为广泛的现象，体现在人们生产生活的各个领域，因而概率论具有广泛的应用键盘布局：依据字母在一定历史时期的出现频率大数据处理、图像处理、气象水文等等原子周围的电子云轨迹、通信信道中的信号和噪声梁昌洪校长提到的一个很有意思的现象当前男女比例大约为0.5128/0.4872=1.0525女男寿命比例约为73/69=1.0579非常接近，似乎隐藏某种平衡概率论与数理统计：是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科。6/78确定性现象随机现象实例统计规律性单体不可预测性和群体的频率稳定性目录§1.1随机试验§1.2样本空间、随机事件§1.3频率与概率§1.4等可能概型（古典概型，几何概型）§1.5条件概率§1.6独立性7/78§1.1随机试验随机试验（RandomExperimentation）：包括各种各样的科学试验，甚至对某一事务的某一特征的观察，记录也认为是一种试验，且具有以下三个特征：（1）可以在相同条件下重复地进行（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果（3）进行一次试验之前，不能确定哪一个结果会出现例子：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；8/78最基本的数学模型研究随机现象的最基本工具§1.2样本空间、随机事件（一）样本空间由随机试验的特点2可知，每次试验的所有可能结果是已知的。样本空间(SampleSpace)：将随机试验E的所有可能结果组成一个集合，称为E的样本空间，记为S样本点(SamplePoint)：样本空间中的元素，即E的每个结果称为样本点9/78随机试验样本空间样本点§1.2样本空间、随机事件样本空间的实例E1：抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况S1={H，T}E2：将一枚硬币抛三次，观察H，T出现的情况S2={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数S3={0，1，2，3}E4：记录电话交换台一分钟内接到的呼叫次数S4={0，1，2，3，…}

（可列无穷多个）E5：在一批灯泡中任意抽取一次，测试它的寿命S5={t|t≥0}

（取值是连续的）E6：记录某地一昼夜地最高温度和最低温度S6={(x,y)|T0≤x≤y≤T1,T0表示该地区最低温，T1表示最高温}

（取值连续，样本点是二维的）10/78随机试验样本空间样本点§1.2样本空间、随机事件（二）随机事件在随机试验中不是单纯的观察样本空间的所有元素了事，常常关心满足某种条件的那些样本点组成的集合随机事件：一般的，称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。事件发生：在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生11/78随机试验样本空间样本点随机事件事件发生§1.2样本空间、随机事件几个特殊事件：设样本空间S={s1，s2，…，sn}基本事件：由一个样本点组成的单点集随机试验的任一种可能结果构成一个基本事件，比如A＝{s5}

基本事件的总数：等于集合S的基数

注意区别：样本点和基本事件，是元素和集合的关系必然事件：样本空间S作为一个子集，S

S，作为事件时总会发生不可能事件：用空集

表示，不包含任何样本点，也有

S，表示每次试验都不发生S中不同事件的总数：当S中基本事件数有限时，记S中基本事件的个数为|S|，则总数为2|S|12/78随机试验样本空间样本点随机事件事件发生基本事件必然事件不可能事件事件总数§1.2样本空间、随机事件例：916路公交车在电子科大站候车人数样本空间S={0,1,2,3,…N}，N是最大可能上限人数事件A={至少有20人候车}={20,21,22,…N}

S事件B={恰有5人或8人候车}={5,8}

S则A(或B)可能发生，可能不发生，称A(B)为S的一个随机事件例：随机试验E5，在一批灯泡中任意抽取一次，测试它的寿命事件A3：“寿命小于1000小时”A3={t|0≤t<1000}例：随机试验E6，记录某地一昼夜地最高温度和最低温度事件A4：“最高温与最低温相差10度”A4={(x,y)|T0≤x≤y≤T1,y-x=10}13/78§1.2样本空间、随机事件（三）事件间的关系与事件的运算事件用集合来描述事件间的关系与运算－>集合间的关系与运算根据“事件发生”的含义给出关系与运算在概率论中的含义设：试验E的样本空间为S，A，B，Ak(k=1,2,..)是S的子集，看以下几种常见的关系和运算（1）包含关系，相等关系若有关系A

B，则事件B包含事件A。A发生必然导致B发生例：一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}则有A

B若有A

B且A

B，则有A=B，则称事件A与事件B相等

14/78SAB事件间关系的描述方法：画韦恩图元素考察法

考察每一个元素的归属§1.2样本空间、随机事件（2）和事件事件A∪B={x|x

A或x

B}，称为A与B的和事件A和B中至少有一个发生时，事件A∪B发生多个事件的和事件：为n个事件A1,A2,…,An的和事件当n→∞时，称为可列个事件A1,A2,……的和事件15/78包含关系相等关系和事件§1.2样本空间、随机事件（3）积事件事件A∩B={x|x

A且x

B},称为A与B的积事件。当且仅当A和B同时发生时，事件A∩B才发生，也可简记为AB多个事件的积事件：为n个事件A1,A2,…,An的积事件当n→∞时，称为可列个事件A1,A2,……的积事件16/78包含关系相等关系和事件积事件§1.2样本空间、随机事件（4）差事件事件A－B={x|x

A且x

B},称为A与B的差事件。当且仅当A发生，而B不发生时，事件A－B才发生差事件的一些等价表示

17/78包含关系相等关系和事件积事件差事件§1.2样本空间、随机事件（5）两事件互不相容（互斥）若A∩B=

则称A与B互不相容或互斥A与B不同时发生基本事件是两两互不相容的（6）逆事件(对立事件)，补集若A∪B=S且A∩B=

则A与B互为逆事件，每次试验事件A和事件B有且仅有一个事件发生。A的逆事件常记为18/78§1.2样本空间、随机事件（7）事件间的运算律设A，B，C是三个事件，则有交换律：A∪B=B∪A；

A∩B=B∩A结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配率：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)德•摩根律：19/78包含关系相等关系和事件积事件差事件互不相容逆事件§1.2样本空间、随机事件例：设A,B为两个已知事件，事件X满足

，求X解：利用德

摩根率，左边=再利用分配率，左边=所以例:

(A－B)∪B=?20/78§1.3频率与概率在实际应用中我们常希望用一个准确的数值来度量在一次试验中某个事件发生的可能性的大小。这种表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数，就称为概率为此，先看一下与其密切相关的一个概念，频率（一）频率频数：设在相同条件下进行了n次试验，其中事件A发生的次数(记为nA)称为A发生的频数频率：比值nA/n称为事件A发生的频率，记做fn(A)，它是一个集合函数，自变量是一个集合反映了事件A发生的频繁程度21/78§1.3频率与概率频率fn(A)显然有以下几个性质：1°值域：0

fn(A)

12°归一性：fn(S)＝13°若A1,A2,…,Ak是两两互不相容的事件，AiAj＝Φ，其中i≠j，则有fn(A1∪A2∪…∪Ak)＝fn(A1)＋fn(A2)＋…＋fn(Ak)证明：右边＝

＝＝左边22/78频率是在有限次试验内的统计量是否能用频率来作为事件发生的概率？§1.3频率与概率例：抛硬币实验，一枚硬币抛5次、50次、500次，观察正面出现的频率表123/78试验序号n=5n=50n=500nAfn(A)nHfn(A)nHfn(A)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494§1.3频率与概率历史上的一些有名的实验24/78表2实验者nnAfn(A)德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K·皮尔逊1200060190.5016K·皮尔逊24000120120.5005实验中对于频率fn(A)有明显规律：频率有随机波动性，同样的n次试验，频率fn(A)并不同n较小时波动很大，n增大时趋于稳定fn(A)在0.5附近随机摆动并逐渐稳定于0.5§1.3频率与概率用Matlab仿真软件模拟抛硬币实验代码：>>n=3000~100000000;m=0;fori=1:nt=randperm(2);

%生成一个1~2的随机整数排列x=t-1;

%生成一个0~1的随机整数排列y=x(1);

%取x排列的第一个值ify==0;m=m+1;endendp1=m/np2=1-p125/78§1.3频率与概率26/78试验次数n300050001万2万3万国徽朝上频率0.50400.50060.48790.49990.5046国徽朝下频率0.49600.49940.51210.50010.4954试验次数n5万10万100万1000万1亿国徽朝上频率0.50210.49990.49990.50010.5000国徽朝下频率0.49790.50010.50010.49990.5000§1.3频率与概率大量的实验表明，频率具有如下特点：(1)频率有随机波动性(2)事件A发生的频繁程度越大，频率也越大，事件A在一次试验中出现的可能性也越大。它说明频率可在一定程度上反映事件发生的可能性大小，但无法准确表达(3)试验次数n较小时，fn(A)在0和1之间随机波动，波幅较大因此，此时的频率值没有参考价值(4)n增大时，fn(A)逐渐稳定于某个常数，对于每个事件A都有这样一个稳定的常数这种频率的稳定性，就是一种隐藏在随机现象中的统计规律性，并被人们长期的实践所证实27/78§1.3频率与概率思考：用频率的稳定值来表示事件发生的可能性大小是合适的吗？第五章将证明，大量试验所得频率的稳定值用来描述概率是合理的

fn(A)|n→∞=P(A)这种收敛是统计意义上的收敛R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。雅各布

伯努利首次给出了证明。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的当无法理论计算时，可以用大量重复实验后的频率稳定值来近似事件发生的概率测试生产的灯泡的平均寿命，炮弹的可靠性概率的频率定义似乎并不简洁，也存在一定缺陷，而根据频率的性质假设一些更简单，更直接的关于概率的公理，再由此推导出概率的各种性质和结论，则更为容易被人接受，这就是概率的公理化定义柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义28/78§1.3频率与概率（二）概率公理化定义：设E是随机试验，S是E的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(•)满足以下条件：1°非负性：事件A，有P(A)

02°规范性：对于必然事件S，有P(S)=1;3°可列可加性：设A1,A2,…,Ak,…，是两两互不相容

的事件，即对于i≠j，AiAj＝Φ，i，j＝1，2，…，则

有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)＋…29/78§1.3频率与概率事件域：样本空间S是一次实验中所有可能结果的集合事件是样本空间S的一个子集但一般不把S的一切子集都作为事件例如在几何概率中就不能把不可度量的子集作为事件只要把具有某些限制而又相当广泛的一类S的子集作为事件就够了，这就引出了事件域的概念：30/78§1.3频率与概率定义：设S是样本空间，F是由S的一些子集构成的集合，称F为事件域，如果它满足以下条件：1.SF;2.若AF，则A的补集F3.若对n=1,2,…,AnF，则F对于事件域F，有：1）包含空集；2）F中任意个事件的积事件还在F中；3）F中任意两事件的差事件还在F中。F中任意事件A的概率记作P(A)。概率空间：三元有序总体{S,F,P}就称为概率空间31/78§1.3频率与概率概率基本性质性质i：不可能事件Φ的概率P(Φ)=0证明：令An＝Φ,n=1,2,…则，并且对于i≠j，AiAj＝Φ，i，j＝1，2，…两两互不相容由可列可加性得

∴而由定义，P(Φ)

0∴只有P(Φ)＝032/78P(A)=0不能推出A=ΦP(A)=1不能推出A=S详见第2章§1.3频率与概率性质ii：有限可加性若A1,A2,…,An两两互不相容，则有P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)证：令An＋1＝An＋2＝…＝Φ,则有对于i≠j，AiAj＝Φ，i，j＝1，2，…，及，由可列可加性P(A1∪A2∪…∪An)＝P(()∪())

33/78§1.3频率与概率性质iv：事件概率的上界对于任意事件A,P(A)

1证：由性质iii，及A

S，得P(A)

P(S)=1性质v：逆事件的概率对于任意事件A，P()=1－P(A)证：＝S－A而A

S所以有P()=P(S－A)=P(S)－P(A)＝1－P(A)或S=A∪，A＝Φ，P(S)＝P(A∪)＝P(A)＋P()＝134/78§1.3频率与概率性质vi：加法公式对于任意的两事件A,B，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)证：由图知A∪B＝A∪(B－AB)，而A(B－AB)＝Φ由有限可加性的P(A∪B)＝P(A∪(B－AB))＝P(A)＋P(B－AB)又显然有AB

B，由性质iii右边＝P(A)＋P(B)－P(AB)性质vi的推广若A1,A2,A3为任意三个事件，则有P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)－P(A1A2)－P(A2A3)－P(A1A3)

＋P(A1A2A3)一般的对于n个事件，A1,A2,…,An可用归纳法证得P(A1∪A2∪…∪An)=35/78§1.4等可能概型从本节开始，学习古典概率计算，定理和公式，包括古典概型和几何概型，本节探讨最普通的一种情况先看两个试验：抛一枚硬币，观察其H，T出现的情况；S={H，T}抛一枚骰子，观察其出现的点数；S＝{1，2，3，4，5，6}这些试验有两个明显特点：（1）S中的元素只有有限个；（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同。这样的试验大量存在，称为等可能概型由于它是概率论发展初期的研究对象，又叫古典概型。36/78§1.4等可能概型古典概型试验中事件发生的概率计算公式：设试验E的样本空间为S＝{e1,e2,…,en}，由于每个基本事件发生的可能性相同，即有P({e1})＝P({e2})＝…＝P({en})又由于基本事件是两两不相容的所以1＝P(S)＝P({e1}∪{e2}∪…∪{en})==nP({ei})，i＝1,2,…,n即P({ei})=1/n,i＝1,2,…,n若事件A包含k个基本事件，即

，i1，i2，…，ik是1到n中某k个不同的数，则有37/78§1.4等可能概型例1．古典概型的一般问题一枚硬币抛三次

(i)设事件A1：恰有一次出现正面，求P(A1)(ii)设事件A2：至少有一次出现正面，求P(A2)解：首先正确给出样本空间S={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}(i)事件A1={HTT，THT，TTH}分析：S中只有有限个元素，由对称性可知每个基本事件发生的可能性相同――等可能概型∴P(A1)＝3/8(ii)先看A2的逆事件={TTT}P(A2)＝1－P()＝1－1/8＝7/838/781.等可能概型的判断可根据对称性来考虑一般的排列组合问题都是古典概型2.对于“至少…”通常先考察其逆事件§1.4等可能概型例2：放回抽样与不放回抽样一只口袋有6只球：4只白的，2只红的。从袋中取球两次，每次随机取一只考虑两种取球方式：放回抽样：第一次取一只球，观察颜色后放回袋中，搅匀后再取一只不放回抽样：第一次取一只球不放回袋中，第二次从剩余球中再取一只分别就以上两种方式求：(i)取到的两只球都是白球的概率；(ii)取到的两只球颜色相同的概率；(iii)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。解：(a)放回抽样的情况启示：恰当的利用事件间的关系可以简化求解设事件A：取到的两只都是白球;事件B：取到的两只都是红球;事件C：至少一白则(i)相当于求P(A)；(ii)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(iii)P(C)＝1－P(B)所以只要求出事件A和事件B的概率就行了39/78§1.4等可能概型分析：依次从袋中取两球，每一取法为一个基本事件。又样本空间中的元素有限，由对称性每个基本事件发生的可能性相同：等可能概型①计算S中元素的个数：第一次6球，第二次6球，由组合乘法原理，共有6×6＝36种②A：两次都有4只白球可取，共有4×4＝16种③B：两次都有2只红球可取，共有2×2＝4种∴由古典概型公式：P(A)＝16/36=4/9P(B)＝4/36=1/9P(A∪B)＝P(A)＋P(B)=4/9+1/9=5/9P(C)＝1－P(B)=1－1/9=8/9(b)不放回抽样的情况S：6×5＝30，A:4×3＝12，B：2×1＝2具体步骤（略）40/78§1.4等可能概型例3，生日悖论将n只球随机放入N(N

n)个盒子中去.求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子容量不限)解：分析：n只球放入N个盒子中的每一种方法为一个基本事件由对称性易知：古典概型S：共有Nn种不同的放法A：至多放一只，共有N×(N－1)×(N－2)×…×(N－n＋1)所以P(A)=N×(N－1)×(N－2)×…×(N－n＋1)/Nn=生日问题设每人的生日在一年365天中任一天是等可能的任选n个人(n

365)，生日各不相同的概率：由公式，概率＝则n个人中至少有两人生日相同的概率p＝1－当n＝23时，p＝0.507当n＝64时，p＝0.997，几乎等于1，60个人的班级以近乎于1的概率有两个人生日相同41/78§1.4等可能概型例4超几何分布的概率公式设有N件产品，其中D件次品，今从中任取n件问其中恰有k(k

D)件次品的概率是多少？解：S：N件中任取n件（不放回抽样，也不计次序）共有种取法，每一取法为一基本事件注意：符号为组合数，N，n均为整数，当N为实数时记做A：恰有k件次品：相当于在D件次品中任选k件，并在N－D件正品中任选n－k件共有件

P(A)=42/78§1.4等可能概型例5抽签问题袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球，分别采用放回抽样和不放回抽样的方式，求第i个人取到白球的概率(k<a+b,i

k),记为P(B)解：(1)放回抽样时第i个人取球不受前i－1个人的影响，因此概率等于白球的个数比上球总数即P(B)＝(2)不放回抽样的情况第i个人取到白球的取法总数比上总取法数，其中总取法数如下：S：总的取法，k个人各取一只球，每种取法为一个基本事件共有(a+b)(a+b－1)…(a+b－k+1)=种取法事件B发生时，第i个人应取到白球，可以是a只中的任意一只，共有a种情况，对于每一种情况来说，其余k－1个人是从其余a+b－1个球中任取k－1只，由于是不放回抽样，共有种，所以事件B发生时可能的取法总数为a×P(B)＝可见概率与i无关，即k个人每人取到白球的概率与取球的先后次序，取球的方式(是否放回抽样)无关，它们机会均等43/78§1.4等可能概型例一道作业题从5双不同的鞋子中，任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解：古典概型为方便分析，先求4只都不配成双的概率pS：共有种不同的取法4只都不配成双的概率：5双鞋中先任选4双，然后每双鞋中任选一只

所以p＝所以至少两只配成双的概率为1－p＝1－或直接求：有1双配成双：有两双配成双所以P(B)=44/78§1.4等可能概型例8小概率事件与实际推断原理某接待站在某一周曾接待过12次来访，均是在周二和周四进行问：是否可以推断接待时间是有规定的？解：假设接待事件没有规定，而来访者在一周内任一天去接待站是等可能的那么12个来访者分布于一周7天共有712种可能分布现在12个人均集中在周二和周四两天，共有212种可能情况因此在没有规定的情况下，12个来访者均集中在周二和周四两天的概率为212/712＝0.0000003,千万分之三，近乎于不可能事件实际推断原理：根据实践经验，概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的现在这种小概率事件竟然发生了，所以假设可能不正确，可以推断接待时间是有规定的（如果2天改为4天，412/712＝0.0012,则很难说是小概率事件）45/78§1.4等可能概型几何概型（概率的几何定义）定义：若试验具有下列两个特征：(1)样本空间的元素有无限个；(2)每个样本点的发生具有某种等可能性.则称此试验为几何概型试验。几何概型的计算设试验的每个样本点是等可能落入区域Ω上的随机点M

，且D

Ω，则M点落入子区域D(事件A)上的概率为:

P(A)=m(D)/m(Ω).其中m(•)为自然测度测度可能是长度、面积、体积，甚至是质量，比如均匀分布46/78§1.4等可能概型蒲丰(Buffon)投针实验，用频率估计

值在画有许多间距为d的等距平行线的白纸上，随机投掷一根长为l(l

d)的均匀直针，求针与平行线相交的概率，并计算

的近似值解：设针与平行线的夹角为

(0

)，针的中心与最近直线的距离为x(0x

d/2)。针与平行线相交的充要条件是x(l/2)sin

，这里x(0x

d/2并且0

。建立直角坐标系,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域，总的区域即x和

所有可能取值构成的矩形区域，且所有可能取值是机会均等的，符合几何概型，则所求概率为故可得

的近似计算公式，其中n为随机试验次数，m为针与平行线相交的次数。

47/78§1.4等可能概型Matlab代码>>clear,clfn=100000000;l=0.5;m=0;d=1;fori=1:nx=(l/2)*sin(rand(1)*pi);y=rand(1)*d/2;ifx>=ym=m+1;endendp1=m/npai=2*n*l/(m*d)48/78确定针与平行线的角度确定针中心点的位置§1.5条件概率条件概率问题是概率论中，内容最为丰富的一个问题，主要考虑：在事件A发生的条件下事件B发生的概率。(一)条件概率的定义例1：一枚硬币抛两次，观察其出现H和T的情况设事件A：“至少有一次为H”事件B：“两次抛出同一面”求已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率解：试验本身是古典概型S={HH，HT，TH，TT}A={HH，HT，TH}B={HH，TT}AB={HH}49/78在条件概率下，相当于重新确定了样本空间S

=S∩A=A；B

=B∩A=AB我们记已知事件A发生的条件下事件B发生的概率为P(B|A)，则由古典概型的计算方法P(B|A)＝＝1/3而不考虑A时P(B)＝2/4=1/2，可见二者不同§1.5条件概率在P(B|A)＝中，令分子分母同时除以样本空间中的基本事件数n，则有一般的P(B|A)＝=P(BA)/P(A)其中P(A)>0，显然对于古典概型上式都成立于是有如下定义：定义：设A，B是两事件，且P(A)>0，则称

P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。它也符合概率定义的三个条件：1）非负性：事件B，有P(B|A)

02）规范性：对于必然事件S，有P(S|A)=1;3）可列可加性：设B1,B2,…,Bk是两两互不相容的事件，即对于i≠j，BiBj＝Φ，

i，j＝1，2，…，则有

P(|A)＝50/78条件概率也可称为后验概率，普通的概率称为先验概率，是根据以往实验得到的§1.5条件概率一般的概率的性质都适合于条件概率，区别是必须加上条件，例如：设A，B，C是三事件，若B

C，则有P(C－B)=P(C)－P(B)同样的有P((C－B)|A)=P(C|A)－P(B|A)又P(C∪B)＝P(C)＋P(B)－P(CB)则P(C∪B|A)＝P(C|A)＋P(B|A)－P(CB|A)一般的，求条件概率有两种思路《一》用概率的含义，依据条件重新写出样本空间和事件子集《二》用条件概率的定义，若P(A)>0，则

P(B|A)＝51/78§1.5条件概率例2：掷两颗骰子，已知点数之和为7，求有一颗为1点的概率

A:两颗骰子点数之和为7（为条件）

B:有一颗为1点。求解P(B|A)解:S:36A：6B：11AB：2所以所求的条件概率或由条件概率的含义直接有2/6=1/352/70§1.5条件概率(二)乘法定理（条件概率的推论）乘法定理：设P(A)>0，则有P(AB)=P(A)P(B|A)推广到三个事件的情况：设有A,B,C三个事件，且P(AB)>0，于是：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)注意：如果P(AB)>0，则必有P(A)>0及P(B)>0推广到更多个的情况设A1,A2,…,An为n个事件，n

2，且P(A1A2…An－1)>0，则有P(A1A2…An)＝P(An|A1A2…An-1)P(An-1|A1A2…An-2)…P(A2|A1)P(A1)乘法定理解决积事件的概率问题，可借助排列组合中的乘法定理来理解概率中的乘法定理乘法定理主要解决那些完成一项任务需要分多个步骤的情况，把每个步骤的概率相乘就得到完成该事件的概率53/78§1.5条件概率例3：袋中装有r只红球、t只白球，每次从袋中任取一只观察颜色后放回，再放入a只与所取球同色的球。若连续取球四次，求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率解：设A1,A2,A3,A4分别为每次取到红球的事件取球时：有次序，放回抽样，有添加则要求的概率是一个积事件的概率而依据取球的顺序及有添加的情况，按乘法公式从A1开始展开

＝显然，按以上展开顺序，每一个条件概率均可容易求出54/78§1.5条件概率例4：设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破而第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破而第三次落下打破的概率为9/10，试求透镜三次落下而未打破的概率解：首先分析一下所求的问题设事件A：第一次落下打破；事件B：第二次落下打破；事件C：第三次落下打破。则所求的概率为题设条件为P(A)＝1/2，,用乘法定理

=3/200也可以先求由于这三次打破是两两互不相容的事件，因此根据有限可加性进而由乘法定理展开可得结果55/78§1.5条件概率(三)全概率公式和贝叶斯公式(1)全概率公式：对应排列组合中的加法，完成一项任务有多种可能的并行情况，这些情况的数目的和就是完成该任务的所有可能情况对样本空间适当分解的思想，有利于解决稍微复杂一点的概率问题首先看一下关于划分的概念定义：设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件。若(i)BiBj=Φ，i≠j，i，j＝1，2，…，n；(ii)B1∪B2∪…∪Bn=S则称B1，B2，…，Bn为S的一个划分。※每次试验，事件B1，B2，…，Bn中有且仅有一个发生例：S={1，2，3，4，5，6}则划分正确的是B1＝{1，2，3}B2＝{4，5}B3＝{6}B1＝{1，2，3}B2＝{3，4}B3＝{5，6}56/70B2SB1Bn§1.5条件概率全概率公式：设E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0（i＝1，2，…，n），则P(A)＝P(A|B1)P(B1)+…+P(A|Bn)P(Bn)=证：P(A)＝P(AS)=P(A(B1∪B2∪…∪Bn))由分配率＝P(AB1∪AB2∪…∪ABn)而对任意的i≠j，i，j＝1，2，…，n，有(ABi)(ABj)=ABiBj=Φ由有限可加性＝P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)又P(Bi)>0，由乘法定理上式展开得＝P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)在全概率公式中要注意一下几点：1）条件P(Bi)>0，划分不能是空集2）B1，B2，…，Bn正好覆盖S中的所有元素3）在应用上，那些不便直接求某一事件的概率时，先找到一个合适的划分，再用全概率公式计算57/70B2SAB1Bn§1.5条件概率（2）贝叶斯(Bayes)公式(计算后验概率问题)事件A的发生，iff构成S划分的事件B1，B2，…，Bn中的一个发生时才发生，一般在实验之前仅知道Bi的先验概率，那么如果试验后事件A已经发生了，Bi发生的概率又是多少呢？这种问题我们称他为后验概率问题，有利于我们查找事件发生的原因。解决此类问题可采用贝叶斯(Bayes)公式贝叶斯(Bayes)公式设E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P(A)>0，P(Bi)>0（i＝1，2，…，n），则P(Bi|A)=，i＝1，2，…，n证：由条件概率公式P(Bi|A)＝P(BiA)/P(A)，再用乘法定理和全概率公式对分子分母展开即得所求。P(Bi)是以往的数据分析得到的，称为先验概率P(Bi|A)是得到信息之后再重新加以修正的概率，叫做后验概率58/78§1.5条件概率例6：对以往数据分析结果表明：当机器调整良好时，产品合格率为98％当机器发生某一故障时，产品合格率为55％每天早上机器开动时，调整良好的概率为95％试求：已知某日早上第一件产品是合格产品时，机器调整得良好的概率？解：设事件A：产品合格事件B：机器调整良好；：机器出现故障由题意：P(B)＝95％，P()＝5％

P(A|B)=98％，P(A|)=55％

P(B|A)==0.97注意：P(B)＝95％是以往的数据分析得到的，称为先验概率

P(B|A)=0.97是得到信息（第一件产品是合格品）之后再重新加以修正的概率，叫做后验概率。通过后验概率可以进一步了解机器的情况59/70§1.5条件概率例：习题38袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，次品硬币系指两面均印有国徽。在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？解：由题述这是典型的采用贝叶斯公式的题目设：事件A：取到的是正品；事件：取到的是次品

B为r次投掷得到国徽；求P(A|B)P(A|B)=

，P(B|)＝1，P(B|A)＝(1/2)r带入得P(A|B)＝60/78§1.6独立性在条件概率P(B|A)中，一般情况下，事件A的发生对事件B的发生是有影响的，即在很多情况下P(B|A)≠P(B)，在有些情况下，这种影响是不存在的即P(B|A)＝P(B)这时P(AB)=P(B|A)P(A)＝P(B)P(A)这样的情况用独立性这一概念来描述定义设A，B是两事件，如果具有等式P(AB)=P(B)P(A)则称事件A，B相互独立，简称A，B独立61/78例1：设试验E为“抛甲乙两枚硬币，观察正反面出现的情况”设事件A：甲币出现正面；事件B：乙币出现正面。看一下独立性。分析：S={HH，HT，TH，TT}；A={HH，HT}B={HH，TH}∴P(A)＝1/2P(B)=1/2P(AB)=1/4P(B|A)=1/2∴P(B)=P(B|A)P(AB)=P(B)P(A)事实上甲和乙抛硬币是互不干涉的§1.6独立性独立性的相关性质：若P(A)>0，P(B)>0，则A，B相互独立与A，B互不相容不能同时成立因为如果互不相容则P(AB)＝0，如果又满足相互独立则P(AB)＝P(B)P(A)>0。矛盾。定理一设A，B是两事件，且P(A)>0，若A，B相互独立，则P(B|A)=P(B)，反之亦然。（由定义可直接证得）定理二若事件A，B相互独立，则下列各对事件也相互独立。

A与，与B，与证：∴∴∴A与相互独立62/78§1.6独立性推广：三个事件的情况定义：设A，B，C是三个事件，如果满足等式则称事件A，B，C相互独立。注意：仅满足前三个等式的三个事件称为两两相互独立见习题33当然，如果事件A，B，C相互独立则也相互独立推广到多个事件一般的，设A1,A2,…,An为n个事件，n

2，如果对于其中的任意两个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1,A2,…,An相互独立