专题27.1 比例线段【十大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）

专题27.1比例线段【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1由成比例线段直接求值】 1【题型2比例尺】 2【题型3由比例的性质判断结论正误】 3【题型4由比例的性质求参数的值】 4【题型5由比例的性质求代数的值】 4【题型6由比例的性质进行证明】 5【题型7由比例的性质比较大小】 5【题型8比例的应用】 6【题型9由黄金分割求值】 7【题型10黄金分割的应用】 8知识点1：成比例线段1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1由成比例线段直接求值】【例1】（23-24九年级·上海宝山·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（

）A．2cm，3C．1cm，2【变式1-1】（23-24九年级·广东梅州·期中）根据4a=5bA．a:b=5:4 B．a:b=4:5【变式1-2】（23-24九年级·浙江嘉兴·期中）已知a:b=1:2(1)求a、b的值；(2)若c是a、b的比例中项，，求c的值．【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，试猜想线段AC，AB，CD，BC【题型2比例尺】【例2】（2024·江苏泰州·三模）为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为2.2km，当地图上比例尺由1∶1000变为1∶500时，则地图上两个校区的路程增加了cm．【变式2-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）在某市建设规划图上，城区南北长为120cm，该市城区南北实际长为36km，则该规划图的比例尺是【变式2-2】（23-24九年级·上海奉贤·期中）如果一幅地图的比例尺为1:50000，那么实际距离是3千米的两地在地图上的图距是（

）A．6厘米 B．15厘米 C．60厘米 D．150厘米【变式2-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）西安市大雁塔广场占地面积约为667000m2，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积大约相当于（

）A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积C．《华商报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积知识点2：比例的性质比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【题型3由比例的性质判断结论正误】【例3】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）若xy=3A．x+yy=74 B．x【变式3-1】（23-24九年级·河南平顶山·期中）下列结论中，错误的是（）A．若a4=B．若a-bC．若ab=cd=23D．若ab=34，则a＝3【变式3-2】（23-24九年级·山东泰安·期中）若ab=cd（a、b、c、d、A．ad=bc BC．adb2=【变式3-3】（2024·甘肃陇南·一模）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（

）舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变【题型4由比例的性质求参数的值】【例4】（23-24九年级·河南郑州·期末）已知2ab+c=A．1 B．±1 C．1或-2 D．【变式4-1】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）已知a，b，c满足a+43=b+32=c+8【变式4-2】（2024春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=x【变式4-3】（23-24九年级·山东烟台·期中）如果ab=cd=efA．2 B．3 C．13 D．【题型5由比例的性质求代数的值】【例5】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）如果x+32=y-13【变式5-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）已知ab=cd=【变式5-2】（23-24九年级·陕西西安·期中）已知5a(1)求a+(2)若a+b-【变式5-3】（23-24九年级·四川乐山·期末）已知a、b、c满足a-【题型6由比例的性质进行证明】【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数．(1)如果ab=3，求a+(2)如果ab=c(3)如果a+cb【变式6-1】（2024九年级·全国·专题练习）已知ax=by=cz，且1【变式6-2】（23-24九年级·全国·单元测试）已知a:b=c:【变式6-3】（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x，y，z满足y+zx=z+xy=x+yz=k，求2解；设y+y+z=kx，将以上三个等式相加，得2x∵x，y，z都为正数，∴k=2，即y+∴2x仔细阅读上述材料，解决下面的问题：（1）若正数x，y，z满足x2y+（2）已知a+ba-b=b+c【题型7由比例的性质比较大小】【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）若x2=y7=z5，设A=yx+y+A．A>B>C B．A<B【变式7-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如果a，b，c满足ba=cb=5-A．a=b+c B．a>b【变式7-2】（2024九年级·北京西城·专题练习）已知a2＝b7＝c5≠0，设x＝1a+b+c，试判断x，y，z的大小关系．【变式7-3】（23-24九年级·广东珠海·期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数.（1）若ab=2，cd=2，则badc，acbd（用“＞（2）若ab=cd,（3）令ac=bd=t,若分式【题型8比例的应用】【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，以O为支点，木棍OA所受的重力为G．根据杠杆原理，在A处需一竖直向上的拉力F才能保持木棍不动，若向上的拉力F与重力G大小之比为3:7，OD=6cm，则CD的长为

【变式8-1】（2024春·四川成都·九年级校考期中）在同一时刻物高与影长成比例，小华量得综合楼的影长为6米，同一时刻她量得身高1.6米的同学的影长为0.6米，则可知综合楼高为_______．【变式8-2】（2024春·广东茂名·九年级统考期中）装修一间客厅，用边长5分米的方砖铺地，需要80块，如果改用边长4分米的方砖铺地，需要多少块？【变式8-3】（2024春·四川成都·九年级成都七中校考期中）国家会展中心(上海)坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有2.5公里，总建筑面积147万平方米，地上建筑面积127万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体.小明在地图上量得国家会展中心(上海)距离虹桥机场的直线距离为0.5厘米，而量得国家会展中心(上海)与浦东机场的直线距离为9.7厘米，那么国家会展中心(上海)与浦东机场的实际直线距离有多少公里？(运用比例解答知识点3：黄金分割若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【题型9由黄金分割求值】【例9】（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①∠A=36°，②PB=5-12请填写你认为正确的结论序号：．【变式9-1】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，已知点C，D都是线段AB的黄金分割点，如果CD=4，那么ABA．25-2 B．6-25 C．【变式9-2】（23-24九年级·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE=4，则AB=【变式9-3】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，已知线段AB=2，经过点B作BD⊥AB，使BD=12AB，连接AD，在AD上截取DE=【题型10黄金分割的应用】【例10】（2024九年级·黑龙江大庆·学业考试）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12（5-12≈0.618，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5A．165cm B．175cm C．185cm【变式10-1】（2024·广东·二模）如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比5-12；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为2cm，则眼梢到鼻翼的距离为cm【变式10-2】（23-24九年级·山东德州·阶段练习）如图1在线段AC上找一个点B，B把AC分成AB和BC两段，其中AB是较小的一段，满足AB