公务员考试-数量关系公式

数量关系基础知识

一、数列

1.等差数列：

中项求和公式①n为奇数时：

②n为偶数时：

2.等比数列：

3.某些数列的前n项和

①奇数项和：1+3+5+…+(2n-l)=n2【项数为时，奇数项和减偶数项和为数列中项】

②偶数项和：2*4»6*-*(2n)-n(n+l)

③平方数列求和：12+22+32+…+n2=n(n+l)(2n+l)

④立方数列求和：13+23+33+…+n3=|n(n+l)]2

二、数学基础公式

1.乘法公式

立方和：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)立方差：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

完全立方和/差：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3裂项公式:

加权平均数：调和平均数：

二项式定理：

二项展开式的通项公式：

分期付款(按揭贷款)：每次还款元(贷款a元，n次还清，每期利率为b)

2.几何公式

①扇形：周长L=(nin7：80)+2r面积S=nu2/360

②圆柱：表面积S=2仃h+2仃2体积V=nr2h

③球体：表面积S=4u2体积V=nr3

④圆锥：表面积S=7ir2+%7ir2R【R为母线】体积V=%jrr2h

③正四面体：表面积体积

BO=^BF==

OF=^BF=|x4a=4a

3.几何问题其他结论：

①所有表面积相等的立体图形中，球的体积最大，越接近球体，体积越大。

②n条直线最多可以将平面分为1+/n(n+l)个区域。

③n个圆相交最多可以有n(n・l)个交点。

③一个正方形被分割成若干小正方形，除了不能分为2个、3个、5个，其他数量都可完成“

④满足勾股定理的三边有［3,4,5】15,12,13】［6,8,10】【7,24,25】【8,15,17】19,12,15］

⑤已知三角形最长边为n,三边均为整数，这样的三角形有多少个？

n=2k-l时，为k2个三角形；

n=2k时，为(k+l)k个三角形。

⑥已知边K为a、b、c的K方体由边K为1的小立方体组成。则一共有abc个小立方体；

内部看不见的立方有:(a-2)(b-2)(c-2);露在外面的小立方体有:abc-(a-2)(b-2)(c-2)

⑦欧拉定理：V+F-E=2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F)

三、E=各面多边形边数和的一半。若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的

关系：；若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：

第1页

四、⑧立体涂色问题：一个边长为n的正方体，由~个边长为1的小正方体构成。最外层

涂色，则：3面被涂色的小正方体有8个

2面被涂色的小正方体有（n-2）X12个

1面被涂色的小正方体有（n-2）2x6个

0面被涂色的小正方体有（n-2）3个

总共被涂色的有2—（m2）3个

五、数字特性

1.倍数关系

2,若a:b=m:n（m,n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数；a土b是m土n的倍数.

3.若x=mny（m,n互质），则x是m的倍数；y是n的倍数。

两个数的最小公倍数与最大公约数的关系：最大公约数X最小公倍数=两数的积

3.奇偶运算法则

①加减规律：奇士奇=偶士偶=偶；奇士偶=奇；

②乘法规律：奇、偶=偶乂偶=偶；奇乂奇=奇；【有奇为偶，无偶为奇】

4.基本福数周期

①2n的尾数周期为4,分别为2,4,6,8…

②3n的尾数周期为4,分别为3,9,7,1…

③4n的尾数周期为2,分别为4,6.•

©5n,6n的尾数不变；

⑤7n的尾数周期为4,分别为7,9,3,1-

⑥8n的尾数周期为4,分别为8,4,2,6-

⑦9n的尾数周期为2,分别为9,1-

⑧nn（n>10）的尾数为n末位的帮的尾数。

4.整除判定法则

①能被2.4.8、5.25.125整除的数的数字特性

能被2（或5）整除的数，末一位数能被2（或5）整除；

能被4（或25）整除的数，末两位数能被4（或25）整除；

能被8（或125）整除的数，末三位数能被8（或125）整除；

一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数被2（或5）除得的余数；

一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数被4（或25）除得的余数；

一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数被8（或125）除得的余数。

②能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除；

一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

③能被7整除的数，其末一位数的2倍与剩下数之差，能被7整除；其末三位数与剩

卜.数之差，能被7整除。

如362,末一位的2倍为4,与剩下数36之差为32——不能被7整除

如12047,末三位047与剩下数12之差为35——能被7整除

③能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。当且仅当其末三位

数与剩下数之差，能被11整除。

如7394,奇数位和7+9=16,偶数位和3+4=7,16-7=9——不能被11整除

如15235,末三位235与剩下数15之差为220——能被11整除111

④能被7（11或13）整除的数，其末三位数与剩下数之差，能被7（11或13）整除。

将一个多位数从后往前三位一组分段，奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差能

被7（11或13）整除。

第2页

5.剩余定理

①余同加余：一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1,因为余数都是1,则取1,公

倍数做周期，则这个数为60n+l

②和同加和：一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1,因为4+3=5+2=6+1,则取

7,公倍数做周期，则这个数为60n+7

③差同减差：一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3,因为4-1=5-2=6-3,则取3,

公倍数做周期，则这个数为60n-3

【例题】：三位的自然数N满足：除以6余3,除以5余3,除以4也余3,则符合条件的

自然数n有几个？

A.8B.9C.15D.16

【解析】4.5.6的最小公倍数是60,可以算出这个数为60n+3,已知的条件n是一个三位

数，所以n可以取2到16的所有整数，共15个。

6.余数定理

定理1：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和

(1)7+3=・1,5+3=・-2,则(7+5)+3的余数就等于1+2=3,所以余0

(2)84-3=-2,5^3=-2,2+2=4>3,44-3-1,贝I](8+5)+3的余数就等于1

【例题】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44

个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，己知小钱和小孙取走的乒乓球

个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是0o

A.29个B.33个C.36个D.38个

【解析】小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来

是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数,

总数量与小赵关于5同余。用定理1计算总数量除以5的余数，17个、24个、29个、33

个、35个、36个、38个、44个除分别余2.余4.余4.余3.余0、余1.余3.余4。

2+4+4+3+0+1+3+4=21+5=4…1,总数量除以5余1,因此小赵除以5也余1。选C

定理2:两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积

(1)7+3余1,5・3余2,贝ij(7X5)+3的余数就等于1X2=2,所以余2

(2)84-3=-2,54-3=-2,2+2=4>3,44-3-1,则(8x5)+3的余数就等于1

【例题】有一条长1773mm的钢管，把它锯成长度分别为41mm和19mm两种规格的

小钢管，结果恰好用完，则可能锯成41mm的钢管()段。

A.20B.31C.40D.52

【解析】设长度为41mm的钢管x段，19mm的钢管y段，可歹ij方程4lx+19y=1773,19y

显然能被19整除，而1773+19=93…6,因此4lx+19一定也余6,又41:19余3,根

据定理2,X+19只能余2,选项中只有C选项满足此条件，应选C

数量关系经典题型

日期问题

1.每个世纪前99年，能被4整除的是闰年；每个世纪最后一年，能被400整除的是闰年。

2.平年有52个星期零1天，一年后的这一天星期数变化加1;闰年有52个星期零二天。

3.月历分析：七月前单月为大月，双月为小月[1,3,5,7,8,10,12]

八月后单月为小月，双月为大月[4,6,9,11】

①每月1,2,3日对应的星期数可能出现5次。

②大月当月1,2,3日对应的星期数出现5次；小月当月1,2日对应的星期数出现5次；

第3页

一瓶溶液的浓度为a%,另外一瓶的溶液浓度为b%,分别取m和n份进行混合，求混合溶

液的浓度？(m>n)

第一部分a%x-b%——m

\/皿x-b%m

x则——=—

/\a%-xn

第二部分b%a%-x——n

十字交叉法：A/B=(r・b)/(a-r)还常用于增长率问题。已知两个量的增长率，求两个量混合后的增长率。

【例题】某班男生比女生人数多80%,一次考试后，全班平均成绩为75分，而女生的平均

分比男生的平均分高20%,则此班女生的平均分是()0

【解析】设男生平均分x,女生L2x。

(75-1.2x)/(75-x)=1/1.8得x=70,则女生平均分为84

4.溶液交换浓度相等问题

设两个溶液的浓度分别为a%,b%,且a>b,设需要交换溶液为x0则有：

(b-x):x=x:(a-x)fx=ab/a+b

【例题】两瓶浓度不同得盐水混合液。60%的溶液是40克，40%的溶液是60克。要使得

两个瓶子的溶液浓度相同，则需要相互交换()克的溶液？

A.36B.32C.28D.24

【解析】设交换的溶液为x克，混和后的标准浓度c。先对60%的溶液研究，采用十字交叉

法来得:40-x:x=(c-40%):(60%-c)

再对40%的溶液进行研究，同理得：60-x:x=(60%-c):(c-40%)

由上面两式得40-x:x=x:60-x即推出x=(40X60)/(40+60)=24

七、盈亏问题：核心思想即人数=盈亏差+分配差

1.一次盈，一次亏：(盈+亏)：(两次每人分配数的差)=人数

2.两次都有盈：(大盈-小盈);仃两次每人分配数的差六人数

3.两次都是亏：(大亏-小亏)+(两次每人分配数的差六人数

4.一次亏，一次刚好：亏+(两次每人分配数的差产人数

5.一次盈，一次刚好：盈+(两次每人分配数的差)=人数

【例题1］用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米不到井口，那么井深

多少米？绳长多少米？

【解析】井深=(3x2+4xl)/(4-3)=10米，绳长=(10+2)x3=36米。

八、【例题2］有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6

人；如果减少1条船，正好每条船坐9个人。那么这个班共有多少名同学？

九、【解析】增加一条和减少一条，前后相差2条，可理解为每条船坐6人正好，若坐9人

则空出两条船。这样就是一个盈亏问题的标准形式了。解答：增加一条船后的船数=9X

2/(9-6)=6条，这个班共有6X6=36名同学。

十、或者也可以理解为每条船坐9人正好，若坐6人则还缺两条船。增加一条船后的船数

=6x2/(9-6)=4条，这个班共有4X9=36名同学。

十一、鸡兔同笼问题

假设全是鸡，则兔子数=(总脚数-鸡脚数X总只数)+(兔脚数-鸡脚数)

假设全是兔子，则鸡数=(兔脚数X总只数-总脚数-)+(兔脚数-鸡脚数)

【例题】灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产

一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问

其中有多少个灯泡不合格？”

第5页

【解析】假设全部合格，则不合格的有（4x1000-3525）;（4+15）=475+19=25（个）

十二、假设全部不合格，不合格的有1000-（15x1000+3525）+19=1000-18525+

19=25（个）

牛吃草问题：

草生长速度=总量差+时间差=（吃草速度1x时间1一吃草速度2x时间2）+时间差

原有草量=（牛数一每天长草量）义天数〔一般设每天长草量为2

草的总量=原有草量+新生草量

十、利润问题

利润率=利涧/成木=（售吩成木）/成木=售价/成木一1

售价=成本'（1一利润率）成本=售价/（1+利涧率）

【例题】一商品的进价比上月低了5%,但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了6个百

分点，则超市上月销售该商品的利涧率为多少？

A.12%B.13%C.14%D.15%

【解析】本题中始终不变的是售价，根据售价=成本X（1—利涧率），设商品进价为100,

上月利润率为X。则有100x（l+x）=95x（l+x+6%）解得x=14%,选C

十一、抽屉原理：

①原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的

物体。

②原理2:把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于

m+1个的物体。

③第二抽屉原理：把（mn—l）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m

-D个物体。

注意：抽屉原理类题也可用“最不利原则”来思考，答案为“最不利+1”。

十二、【例题】体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规

定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？

十三、【解析】最多有同学拿球的配组方式共有C（l,3）+2C（2,3）=9种（足球、篮球、排球、

足足、篮篮、排排、排篮、足排、足篮）,以这9种配组方式制造9个抽屉，将这50个同

学看作苹果5。+9=5……5o由抽屉原理2,k=（m/n）+1可得，至少有6人，他们所

拿的球相同。

十四、容斥问题

L三者容斥问题问题的两个不同公式

®AUBUC=A+B+C-AAB-BnC-AnC4-AnBnC

②AUBUC=A+B+C一重叠一次的一2x重叠两次的

AUBUC=K1+K2+K3[K1为第一层，K2为第二层，K3为第三层〕

A+B+C=K1+2K2+3K3=AUBUC+K2+2K3

【例题】五年级一班共有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班，35人参加书法班，

28人参加美术班，31人参加舞蹈班，其中以上三种特长培训班都参加的有6人，则有

（）人只参加了一种特长培训班。

A.45B.33C.29D.22

【解析】根据A+B+C=AUBUC+K2+2K3=55+K2+2X6=35+28+31解得KZ=27,

根据AUBUC=KI+K2+K3解得KI=22。K]即表示为只参加一种特长班的人数。

2.容斥问题其他类型

①求两个集合的交集的最小值：A+B-I

②求三个集合的交集的最小值：A+B+C-2I

第6页

【例题】小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做

对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。问三人都做对的题目至少有几题？

A.4题B.8题C.12题D.16题

【解析】解法一：代入公式：68+58+78-2x100=4,选择A。

十三、解法二：由题意知，小明、小刚，小红做错的题分别为32,42,22,三人做错的题共

有32+42+22=96道，利用最不利原则，即三人最多做错96道，则至少做对100-96=4道

十四、工程问题

1.基本工程问题：

(1)已知每个人完成工作的时间，设工作总量为工作效率的最大公倍数，求出每人的工作

量。

(2)抓住单独工作效率或者合作工作效率为解题关键。常见两种题型：

①合作过程中有人休息：一般假设不休息来算。

②轮流工作时：一般用周期来算。计算每轮工作的效率，算出最后一轮的实际工作量，以

及最后剩余工作量如何分配。

(3)某些题型，无论合作还是轮流，按照两人的工作效率，甲做的天数可以转化为相当于乙

做了多少天。

【例题11一件工作，甲单独做12天完成，乙单独做9天完成。按照甲先乙后的顺序每人

每次1天轮流，完成需几天？

A.31/3B.32/3C.llD.10

【解析】设工作总量为36,则甲每天做3份，乙每天做4份，轮流2天可做7份。

36+7=5……1,即甲乙轮流工作10天余1份，第11天时，甲完成剩余的1/3即可，所

以共需31/3天。

【例题2】一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继

续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

【解析】解法一：甲乙合作30天可做完；现在甲做6天，乙做46天可做完，前后对比甲

少做24天，乙多做16天，所以甲乙的效率之比为6:4。所以乙做30天相当于甲做了45

天，所以乙独做需75天；甲做30天相当于乙做20天，所以乙独做需要5。天。

解法二：共同做了6天后，还成4/5的工作量，乙做4/5的工作量需要40天，所

以乙独做需要50天，即乙每天做1/50,甲乙合作时乙做了30/50=3/5,甲做了2/5,甲

做2/5的工作量需30天，所以甲独做需75天。

[例题3]一件工程，甲单独做10天完成，乙单独做30天完成.现在两队合作，其间甲休

息了2天，乙休息了8天。问开始到完工共用了多少天时间？

【解析】解法一：设工作总量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成1份。在甲单独做8

天，乙单独做2天后，还需两队合作(30-3X8-1X2)+(3+1)=1天，所以共需8+2+1=11

天

【例题4】甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。现在他们两队一起做，其间甲队

休息了3天，乙队休息了若干天，从开始到完成共用了16天。问乙队休息了多少天？

【解析】解法一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是16x(1/20+1/30)=4/3

则两队休息期间未做的工作量为1/3,乙队休息期间未做的工作量l/3-3x(l/20)=l：/60,

乙队休息的天数是11/60;(1/30)=5.5天

解法二：甲乙效率之比为3:2,甲单独做需20天，现在甲休息了3天，即甲做了

13天，甲若再做7天即可完成，转化为乙做了10.5天，所有乙休息了16-10.5=5.5天。

2.工程问题一水管问题

【例题3】甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池。现在，先打开甲管，10分钟后打开乙

第7页

管，经过3分钟就注满了水池。已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容

积是多少立方米？

【解析】解法一：甲每分钟注入水量是：(1-1/9x3)+10=1/15,乙每分钟注入水量是:

1/9-1/15=2/45。因此水池容积是:0.6^(/15-2/45)=27m3

解法二：甲管9分钟，乙管9分钟可注满；甲管13分钟，乙管3分钟注满。前后

对比甲管多进水4分钟，乙管少进水6分钟，即甲管和乙管的效率之比为4：6。已知甲管

比乙管每分钟多注水0.6m3,所以两管每分钟共进水3m:所以水池容积为3x9=27m3

十四、行程问题

⑴相遇问题：路程和=速度和X时间(S1+S2)=(vl+v2)t

(2)追及问题：路程差=速度差X时间(S1+S2)=(vl+v2)t

⑶直线多次相遇问题：两人相向而行，第n次相遇时两人行走的总路程S总=(2n-l)S

⑷环形运动问题：圆形跑道长为S,两人走的路程分别为SI、S2

同地异向而行，相邻两次相遇间所走的路程和为周长，第n次相遇时两人走的总路程为nS

同地同向而行，相邻两次相遇间所走的路程差为周长，第n次追上时两人走的路程差为nS

1.沿途数车问题

发车时间间隔T=(2t】t2)/(ti+t2)

车速/人速=(tl+t2)/[tl为迎面来一辆车所需时间，t2为从身后超过一辆车所需时

间〕

【例题】小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停

地运行，每隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公

共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的()倍？

A...B...C...D.6

【解析】车速/人速=(10+6)/(10-6)=4

2.公交车超骑车人和行人问题

【例题】一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每

个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如

果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔儿分钟发一辆公交车？

t人=超行人时间，t车=超自行车时间，v人=人的速度，丫车=自行车的速度

通解公式：发车时间间隔T=[t人t车(v车-v人)]/(v车t车-v人t人)

上题代入解得T=8

3.队伍行走问题：已知：vl为传令兵速度，v2为队伍速度，L为队伍K度。

从队尾到队首的时间为：L/((vl-v2)

从队首到队尾的时间为：L/(vl+v2)

4.行程问题一停留问题：化静为动看待问题。

我们可以假设停留的时间没有停留，把它们两者的停留时间按照原速度计入总路程中。

【例题1】快慢两车同时从甲乙两站相对开出，6小时相遇，这时快车离乙站还有240千米,

已知慢车从乙站到甲站需行15小时，两车到站后，快车停留半小时，慢车停留1小时近回,

从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小时？

【解析】相遇时快车距离乙站240km,即为相遇时慢车走了240km,贝触慢=40km/h,甲

乙两地总路程为40xl5=600km,所以，相遇时快车走了360km,则v快=60km/h

从第一次相遇到返回途中再相遇，两车共行的路程为甲乙两站距离的2倍，假设快车不在乙

站停留0.5小时，慢车不在甲站停留1小时，则两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程

为600X2+60X0.5+40Xl=1270km,两次相遇期间所经时间为1270・

(60+40)=12.7h

第8页

【例题2】甲乙两人同时从东镇出发，到相距90千米的西镇办事，甲骑自行车每小时行30

千米，乙步行每小时行10千米，甲到西镇用1小时办完事情沿原路返回，途中与乙相遇。

问这时乙走了多少千米？

【解析】甲从东镇到西镇，返回时与乙相遇，故两人所行路程总和为90x2=180km,但因

甲到西镇用了1小时办事。倘若甲在这1小时中没有停留，而是继续骑行，这样两人所行总

路程应为：90x2+30=210km,则相遇时间为：210^-(30+10)=5.25h,则乙行了10X

5.25=52.5km。

十五、流水行船问题

VIK-V«)+V水

V铅=(v顺+v逆)/2v水=(v顺-v逆)/2v船/v水=(vw+v逆)/(v地-v逆)

已知：A.B两地由一条河流相连，轮船匀速前进，从A到B顺流需时间T顺，从B到A逆

流需时间T逆。

(1)漂流时间=2T顺・T逆/1T逆-T项)

⑵轮船在静水中从A到B的时间=2T顺•T逆/(T逆+T,顿)

【例题1］轮船从A城到B城需行3天，而从B城到A城需行4天.从A城放一个无动力

的木筏，它漂到B城需多少天？【解析】代入公式：2x3x4+(4-3)=24天

【例题2］轮船从A城到B城需行3天，而从B城到A城需行6天，若轮船在静水中从A

到。需要多K时间？【解析】代入公式：2x3x6+(3i6)-4天

⑶多次相遇公式：S1为第一次相遇时的距高，S2为第二次相遇时的距离°

S1和S2相对的是同一地点，则为单岸型，不同地点则为双岸型。

①单岸型：S=(3Sl-S2)/2②双岸型：S=3S1-S2

⑷行船复杂问题

【例题】一只游轮从甲港顺流而下到乙港，又逆水返回甲港，共用8小时，顺水每小时比逆

水每小时多行12千米，前4小时比后4小时多行30千米。甲、乙两港相距多少千米？

A.72B.60C.55D.48

【解析】全程共用8小时，所以逆水行船花的时间过半，后4小时全部是逆水行船，前4小

时有一部分是顺水，一部分是逆水。

解法一：由于逆水速度不变，所以前4小时比后4小时多行驶的距离就是顺水时多行的距离,

可以得出：t顺=30/12=2.5h,t逆=5.5h

则v顺/v逆=5.5/2.5=2.2倍,v顺-v逆=1.2v逆=12km/h,贝ijv逆=10km/h,甲乙两港

的距离就是10x5.5=55km。

解法二：v逆=v顺-12S逆=4v顺-48S=S逆+15=4v顺・33

由S/v喉+15/v逆=5逆/v逆代入解得v或=22贝ljS=55km

十六、排列组合

m

1.A；；*=n(n-l)...(n-ni+1)C=组=nS-1…⑴-m+1)

nA*mim-l)x...xl

2.“在位”与“不在位”：n个元素中取m个元素的排列

①某元素必在某位有A：：：种

②某元素不在某位有(补集思想)=(着眼位置)=A3+A；-A；：

(着眼元素)种

【例题】5本书从左到右依次摆在书架上，其中一本书既不能摆在排头，也不能摆在排

尾，一共有多少种摆法？

【解析】解法一：补集思想。5本书排列，若不限制条件，共有种排法；其中某种书

排在排头或排尾有种，它不符合条件，故符合条件的持法有=72种

第9页

解法二：插空法。先把不能摆在排头也不能摆在排尾的的书拿开，让其余4本书做全排列,

有种，然后再把那本书插入中间3个空隙处，有种。所有共有=72种

解法三：看眼位置。某本书既不能摆在排头，也不能摆在排尾，这两个位置只能摆其余4本

书，有种；中间3个位置只能排余下的3本书，有种°所以共有=72

3.排列组合基本问题

①捆绑法:n个元素的全排列，k个元素必须相邻的排法有种。〔应用于不相邻问题，先

将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列〕

②插空法:n个元素的全排列，k个元素不能相邻的排法有种。〔应用于相邻问题，先将

剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中〕

③两组元素各相同的插空：m个A类元素n(n<m+l))个B类元素排成一列，B类元素必

须分开，有种排法

④插板法：n个元素分成m组，每组至少一个元素，可用m-1个“挡板”插入n个元素

形成的n-1个空隙中，将元素分成m组，有种。

5.平均分组问题：将mn个元素平均分成n组，每组m个，分法有

6.环线排列问题：n元素排成一圈，排法有种

注意：n个珍珠串成一条项链，有种/2n=%(n・l)!种串法。

7.多人传球问题：n人传接球m次，则传球种数x=(n-l)m/n

［最接近X的整数为本次传他人次数，第二接近X的整数为末次传给自己的次数］

【例题】四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第

一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式()。

A.60种B.65种C.70种D.75种

【解析】(4-1)5/4=60.75最接近的是61为最后传到别人次数，第二接近的是60为

最后传给自己的次数。即选A

8.比赛场次问题：已知n人参赛人数

单循环场次=C：双循环场次=2C：=A：

淘汰赛(仅需决出冠亚军)：比赛场次=巾1

淘汰赛(需决出冠亚季军)：比赛场次=n

【例题】8支球队进行单循环比赛，每两支球队都比一场，胜者得2分，败者得0分，平局

各得1分，比赛结束后，所有球队的总分和是()。

A.2..B.5..C.84..D.112

【解析】单循环比赛共需比赛场次=8x7/2=28,每场不管胜负，还是平平，都是每场产

生2分的分值，则总分和为28X2=56分。

9.错位重排问题(伯努利-欧拉问题)，指把n个元素的位置重新排列，使每个元素都不在原来

位置上的排列问题。

递推公式：n封信的错位重排方数：Dn=(n-l)(Dn-2+Dn-l)［Dn=0,1,3,9,44］牢记

【例题】小明要给自己的6位好朋友分别写一封信，在装信的时候一不小心只有2个信封

上写对了地址，问写错的可能情况有多少种？

A.90种B.115种C.125种D.135

【解析】只有2封写对了地址，说明有4封写错了，先选出哪4封写错了，即=15种，4

封写错了相当于是4个元素的错位重排，有9种情况，再利用分布相乘15X9=135种

10.排列组合之涂色问题

将一个圆环分成n(n>2)个扇形区域，现用k(k>2)种不同颜色对这n个区域染色，要求相

邻区域颜色不同，染色方法有多多少种？

An=(k-l)n+(-l)n(k-l)〔n为区域数,k为颜色种类数〕

第1。页

【例题】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色。只有五种颜

色可供使用，则不同的染色方法有()种。

【解析】将四棱锥转化为圆环染色问题，中间区域P的染色方法有=4种；其余4个区域

还剩3种颜色可供选择，根据公式有(3・1)4+(-1)4X(3-1)=18种。所以共有18X4=72种

1L贺卡问题［了解］

同寝室4人各写一张贺年后先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年K,则4张

贺年卡不同的分配方式有()种？

该类问题公式，也常用于取球时不取到属于自己的球。

此题彳弋入公式=T(-1),+T(—1尸+,(-1)4=12-4+1=9

［■21.2!3!4,1

十七、概率问题

总体概率=满足条件的各种情况概率之和

分布概率=满足条件的每个步骤概率之积

某条件成立概率=总概率一该条件不成立的概率

L互斥事件A,B分别发生的概率和P(A+B)=P(A)+P(B)

n个互斥事件分别发生的概率的和「肉+人2+-一+人人「肉)+「供2)+…+P(AJ

2.独立事件A,B同时发生的概率P(AB)=P(A)-P(B)

n个独立事件同时发生的概率P(A「A2•An)=P(A1)•P(A2)……P(An)

3.条件概率：事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P

(A|B),读作“在B条件下A的概率"。P(A|B)=P(AB)/P(B)

4.全概率公式P(A)

=P(ABl)+P(AB2)+---+P(ABn)

=P(Bl)XP(A|B1)+P(B2)XP(A|B2)+...+P(Bn)XP(A|Bn)=P(Bi)P(A|Bi)

5.伯努利概率模型

如果实验A有只有两个基本事件A及，P(A)=p,P()=l-p(0<p<l)o

每次实验中事件A发生的概率为p,n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

Pn(k)=C：pk(l-P)n-k

【例题】小王开车上班需经过4个交通路口，假设经过每个路口遇到红灯的概率分别为

0.1.0.2.0.25.0.4,则他上班经过4个路口至少有一处遇到绿灯的概率是()。

A.0.899B.0.988C.0.989D.0.998

【解析】利用逆向思维，“至少有一次遇到绿灯”的反面情况就是“一次绿灯都遇不到”，即

“全遇到红灯”，而全遇到红灯的概率为0.1X0.2X0.25X0.4=0.002,所以答案是是1

—0.002=0.998,因此选D。

十八.其他数量关系考点

1.剪绳问题

一根绳连续对折n次，从中剪m刀，则被剪成段数=2n•m+1

2.握手问题：n个人彼此握手，则总握手数N=n(n・l)/2

该类问题思想：如直线交点问题，有以下分析：

①要产生最多交点时，每条直线必须与其他的直线都有交点；

②当有n条直线相交时，每条直线与其他的直线(n-1)个交点，共产生n(n-l)个交点，但

是均重复一次，所以产生的交点数最多有n(n-l)/2

【例题】某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握

手，整个游戏一共握手152次，请问这个班的同学有()人。

A.16B.17C.18D.19

第11页

【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的多边形对角线的原理在解决此题。

按照排列组合假设总数为X人，则=152。但是计算想当麻烦。若以某个人为研究对象，则

这个人需要握x-3次手。每个人都是这样。则总共握了x(x-3)次手，但是没2个人之间的握

手都重复计算了1次。则实际的握手次数是x(x-3)/2=152,计算的x=19人。

3.过河爬井问题

①M个人过河，船上能载N个人，由于需要n人划船，故共需过河次数

=(M-N)/(N-n)+l=M-n/N-n

①青蛙从井底向上爬，井深M米，青蛙每跳上N米，又滑下n米，这样青蛙需跳出并需要

次数=(总长-单长)/实际单长+l=(M-N)/(N-n)+l=M-n/N-n

【例题】有37名战士渡河，现在只有一条小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？()

【解析】(37-1)/(5-1)=9选C。

4黑夜过桥问题：

过河时间最短的人先过；已过的人中最短时间的人返回；剩下的人过河时间最长的过河…

5.页码问题

一本书的页码一共用了270个数字，求这本书的页数。

页数=(270+12x9)/3=126页

公式：10-99页：页数■(数字+lx9)/2

100-999页：页数=(数字+12x9)/3

6.1000-9999页：页数=(数字+123x9)/4

7.数据分配与和定极值问题

【例题】有4支队伍进行4项体育比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到

5,3,2,1分。每队的4项比赛的得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且A

队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？

A.7B.8C.9D.10

【解析】要让总分最少的队伍的得分最多，其他队伍的得分要尽量的少。已知4项比赛的总

分共为44分。A队已获得了三项比赛的第一名，那么要想让A队的得分尽量少，最后一项

比赛得第四名，即：A队的总分为3x5+1=16分。设总分最少的队伍的得分为X,则剩下的

两个队伍比它多但要尽量和它接近，只能是x+1,x+2。所以16+x+x+l+x+2&44,x=8.3,

因为得分只能为整数，那么x=8o

7.电梯问题

顺行能看到级数=(v人+v电)tm

逆行能看到级数=(v人-V电)t逆

8.【例题】甲、乙两人在匀速上升的自动扶梯从底部向顶部行走，甲每分钟走扶梯的级数是

乙的2倍；当甲走了36级到达顶部，而乙则走了24级到顶部。那么，自动扶梯有多少级

露在外面？()

9.【解析】甲乙二人的速度比为2:1,所以当甲到达扶梯顶部时也就是甲走了36级时，乙

走了18级，由于二人乘坐的电梯速度相同又同步，所以两种方式电梯走过的路程相同，此

时乙距离顶部还有36-18=18级。而乙走了24级到达顶部，已经走了18级，还需要再走

24-18=6级，而距离顶部还有18级，说明还有18-6=12级是扶梯走的。由此可以推断扶

梯和乙的速度比为12:6=2:1,因为时间相同时路程比等于速度比，也就说明了扶梯的速

度和甲的速度相等，那么相同时间甲和扶梯的路程也相等，所以扶梯的级数为36X2=72。

10.调和平均数的应用

①等距离平均速度问题：v=lv2/(vl+v2)

第12页

②等价格平均价格问题：均价P=n/[(1/pl)+(l/p2)+-+(l/pn)]

【例题】某店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，甲、乙、丙三种糖每千克费用

分别为4.4元，5元，6.6元，把三种糖混在一起后每千克成本多少元？

【解析】解法一：代入公式，均价A=3解(1/4.4)+入/6)+(1/6.6)]=5.5元

解法二：设所用费用均为66元，则甲、乙、丙重量分别为15,11,10o混合成本=(66X

3)315+11+10)=5.5元

③等溶质增减问题：：ci为第i次的溶液浓度，i=l,2,3…〕

【例题】

④沿途数车问题：发车时间间隔T=(2tlt2)/(tl+t2)

车速/人速=(tl+t2)/[tl为迎面来一辆车所需时间，t2为从身后超过一辆车所需时

间〕

推导[S=(n十vQt,

S=(v,-v人)t2V2=4(f

资料分析基础公式

1.同(环)比增长

已知本期数为A,上年同期(上期)数为B,同(环)比增长率为a%,同(环)比增长量为X

同(环)比增长率：上年同期(上期)数：

同(环)比增长量本期数：

2.年均增长

年均增长量=公3〔A。为第n年的值指标〕

n-1

已知第m年的数据指标为A,第n年的数据指标为B,年均增长率为(x<10%)则

①B=A(1+x)nm>A[l+(n-m)x]

拉动增长：拉动增长的百分点=部分增长量/总体增长量x1。。%

第13页

4.比重与增长

（1）已知本期总量为A,分量占为B,比上年同期（上期）分别增加a、b,则上年同期（上期）分

量占总量的比重为

（2）已知本期总量为A,同（环）比增长率为a%；分量为B,同（环）比增长率为b%

①上年同期（上期）分量占总量的比重=?:%/

A丁（I+a/o）A

②本期分量B占总量A的比重较上年同期（上期）上升/下降兽=gx笠第

AA1+b%A1+b%

a%>b%,则本期分量占总量的比重较上年同期（上期）有所下降；反之有所上升.

5.倍数与增长

已知今年两个指标的量分别为A.B,与上年相比，增长率分别为a%、b%,则A是B的倍

6.平均数与增长

①已知本期某物的总量为A,总数为B,分别同（环）比增长a%、b%,则上年同期（上期）的

平均数=

②已知本期某物的总量为A,总数为B