高等数学实例教程 教案全套 课堂教学设计1-1 函数及其应用 -7-5 定积分及其应用

课堂教学设计单元7定积分及其应用(7-4)7.5广义积分在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或被积函数在积分区间上有无穷型间断点（即被积函数为无界函数）的情形，它们已经不属于前面所说的定积分了．因此，我们对定积分作如下两种推广，从而形成了“广义积分”的概念．7.5.1无穷区间的广义积分1．问题引出求由曲线y=，x轴及x=1右边所围成“开口曲边梯形”的面积，如图7-12所示．因为这个图形不是封闭的曲边梯形，且在x轴的正方向是开口的，所以不能直接用前面所学的定积分来计算它的面积．任取一个大于1的数b，那么在区间[1,b]上由曲线y=和x轴所围成的曲边梯形的面积为＝1-．很明显，当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，且随着b趋于无穷大曲边梯形的面积趋近于一个确定的极限值，即==1．我们把这个极限值作为所求“开口曲边梯形”的面积，同时把这个极限值理解为函数在区间[1,+∞]上的积分，记作．2．无穷区间广义积分的定义一般地，对于积分区间是无穷区间的积分，给出以下定义．【定义7.2】：函数f(x)在无穷区间的广义积分设函数f(x)在区间[a，+∞)上连续，取实数b>a，如果极限存在，那么称此极限为函数f(x)在无穷区间[a，+∞)上的广义积分．记作，即．(7-13)这时也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，那么称广义积分发散，这时虽用同样的记号，但已不表示数值了．收敛的几何意义是：若f(x)在上为非负连续函数，则介于曲线，直线以及轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域面积S．类似地，可以定义下限为负无穷大或上下限都是无穷大的广义积分：．(7-14)，即．(7-15)上述广义积分统称为无穷区间的广义积分．【示例7.12】：计算广义积分解：如图7-13所示，由（7-13）、（7-14）、（7-15）式得：＝＝＝＝．xxabOyy=x2+11图7-13计算广义积分这个广义积分值的几何意义是：当a→–∞，b→+∞时，虽然图7-13中阴影部分向左、右无限延伸，但阴影部分的面积却有极限值π．7.5.2无界函数的广义积分如果被积函数f(x)在有限区间[a,b]内存在无穷间断点，那么称积分为瑕积分，相应地，这样的无穷间断点称为f(x)的瑕点。【定义7.3】：无界函数的广义积分设函数f(x)在区间（a，b]内连续，点a为f(x)的瑕点，即如果极限存在，那么称这个极限为函数f(x)在区间（a，b]内的广义积分，记为，即，(7-16)这时也称广义积分收敛；如果极限不存在，就称广义积分发散．同样地，对于函数f(x)在x=b及x=c(a<c<b)处有无穷间断点的广义积分分别给出以下的定义：；（7-17）（7-18）如果（7-17）、（7-18）式中各极限存在，那么称对应的广义积分收敛；否则称广义积分发散．【示例7.13】：若，计算．解：如图7-14所示，因为，所以，x=1为被积函数的无穷间断点．于是，按（6-9）式有＝＝．【实例精讲】【实例7-4】利用广义积分方法计算定积分【问题描述】（1）计算广义积分(是常数，且>0）．（2）计算．【问题求解】（1）解：＝＝＝．【注意】：①有时为了方便，把记作；②式中的极限是未定式，可用罗必达法则确定为零．（2）解：因为，所以x=0为被积函数的无穷间断点．于是，按（7-15）式有＝=．因为，，所以广义积分是发散的．【注意】：如果疏忽了x=0是被积函数的无穷间断点，就会得到以下的错误结果：．【释疑解难】【问题7-1】定积分中积分变量的字母可以取任意英文字母吗？【问题7-2】定积分是不定积分在指定区间上的增量吗？【问题7-3】积分上限函数(x)是连续函数f(x)的一个原函数吗？【问题7-4】不定积分的第二类换元法与定积分的换元法没有区别？教师姓名课程名称授课时数2累计课时授课日期星期\节次授课班级课题单元7定积分及其应用(7-5知识目标掌握微元法，熟悉应用定积分求简单平面图形的面积、旋转立体的体积，掌握应用定积分求解经济问题、电类问题以及变力做功等问题技能目标会应用定积分求解经济问题、电类问题以及变力做功等问题态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用定积分知识解决实际问题教学重点（1微元法，求解平面图形的面积和旋转立体体积（2应用定积分求解经济问题、电类问题以及变力做功等问题教学难点（1求解旋转体的面积；（2求解变力做功问题教学资源参考书《高等数学》——同济四版作业【应用拓展】教学过程设计教学环节教学内容教学方法时间课堂引入明确教学目标、教学重点难点，熟悉教学方法讲授法5’应用求解【日常应用】【应用7-1】计算平面图形的面积【应用7-2】计算旋转体的体积【经济应用】【应用7-3】根据边际成本求总成本的增量【应用7-4】根据边际收入求总收入和平均收入【应用7-5】求利润增量及最大利润【应用7-6】计算平均销售量【电类应用】【应用7-7】求电容器上的电压【应用7-8】求交流电的平均功率和有效值【机类应用】【应用7-9】求变力所作的功【应用7-10】计算发射火箭的最小初速度启发式教学法70’同步训练【应用拓展】练习法10’课堂小结对教学内容进行小结，对教学情况进行点评归纳点评5’课后小记课堂教学讲稿单元7定积分及其应用(7-5【应用求解】【日常应用】1．定积分的微元法用微元法解决总量A的“累计求和”问题的步骤为：①根据问题的具体情况，选取一个变量,例如x为积分变量，并确定它的变化区间［a,b］；②设想把区间［a,b］分成n个小区间，任取其中任一个小区间并记作［x,x+dx］，求出相应于这个小区间的部分量ΔU的近似值，如果ΔU能近似地表示为［a,b］上的一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积(这里ΔU与f(x)dx相差一个比dx高阶的无穷小），就把f(x)dx称为量U的元素且记为dU，即dU＝f(x)dx；③以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式，在区间［a,b］上作定积分，得U＝．这就是所求总量U的定积分表达式．接下来我们将应用这个方法来讨论一些实际应用问题．采用“微元法”法应注意一下两点：①所求量关于分布区间具有代数可加性．②ΔU与f(x)dx相差一个比dx高阶的无穷小，即．2．应用定积分计算平面图形的面积设函数f(x)、g(x)在[a,b]上连续且f(x)≥g(x)，求由曲线y=f(x)，y=g(x)，直线x=a，x=b所围图形的面积，如图7-17所示．①取x为积分变量，且x∈[a,b]；②在[a,b]上任取小区间[x,x+dx]，与[x,x+dx]对应的小窄条面积近似于高为f(x)–g(x)，底为dx的窄矩形的面积，故面积元素为dA=[f(x)–g(x)]dx；③作定积分．（7-19）同理，如图7-18所示，设x=ф1(y)、x=ф2(y)在[c，d]上连续且ф1(y)≤ф2(y)，y∈[c，d]，则由曲线x=ф1(y)、x=ф2(y)和直线y=c，y=d所围图形的面积为．（7-20）3．应用定积分计算旋转体的体积设函数y=f(x)≥0，x∈[a，b]，求由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积，如图7-19所示．任取x∈[a，b]，用过点x且垂直于x轴的平面去截旋转体，则截面为圆．这个截面圆的面积为A(x)=π=π(x)，代入公式（7-18），得旋转体体积为．（7-21）同理，设函数x=φ(y)≥0，y∈[c，d]，由曲线x=φ(y)，直线y=c，y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为．（7-22）4．应用定积分计算函数的平均值【定理8】：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，那么曲线y=f(x)在区间[a，b]上的平均高度为．（7-23）也就是函数y=f(x)在区间[a，b]上的平均值．这个定理的正确性可用图7-6说明．函数y=f(x)的平均值在图7-6中表示曲边梯形的“平均高度”，因而曲边梯形的面积可以写成下式：．而另一方面，由定积分的几何意义，曲边梯形的面积可以写成下式：，因而有，即【示例】：求函数在区间上的平均值．解：．【应用7-1】计算平面图形的面积【问题描述】（1）计算由两条抛物线：=x、y=所围成图形（图7-20所示）的面积．（2）计算抛物线与直线y=x-4所围成图形（图7-21所示）的面积．【问题求解】（1）解：如图7-21所示．解方程组，得两抛物线的交点为（0，0）和（1，1）．由（7-19）式得=．（2）解：如图7-22所示，解方程组，得抛物线与直线的交点（2，–2）和（8，4），由公式（7-20）得．若用公式（7-19）来计算，则要复杂一些．可以发现积分变量选得适当，计算会简便一些．【应用7-2】计算旋转体的体积【问题描述】（1）连接坐标原点O及点A(h，r)的直线OA、直线x=h及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底面半径为r、高为h的圆锥体，如图7-22所示．计算这圆锥体的体积．（2）求椭圆绕y轴旋转而成的旋转体（如图7-23所示）的体积．【问题求解】（1）解：如图7-23所示，取圆锥顶点为原点，其中心轴为x轴建立坐标系．圆锥体可看成是由直角三角形ABO绕x轴旋转而成，直线OA的方程为（0≤≤），代入公式（7-21）得圆锥体体积为==．（2）解：如图7-24所示，旋转体是由曲边梯形BAC绕y轴旋转而成．曲边BAC的方程为（x>0，y∈[–b，b]），代入公式（7-22），得＝＝＝＝．【经济应用】【应用7-3】根据边际成本求总成本的增量【问题描述】某公司日产q件产品的总成本函数为C(q)万元，已知边际成本为=（万元/件），试求日产量由64件增加到100件时的总成本的增量．【问题求解】由前微分学中边际分析可知，对一已知经济函数F(x)，其边际函数就是它的导数．作为导数（微分）的逆运算，若对已知的边际函数求不定积分，可求得原经济函数F(x)=另外，利用牛顿—莱布尼兹公式可以求出经济函数从a到b的变动值（或称为增量），即∆F=F(b)-F(a)=因为总成本C(q)是边际成本的原函数，所以C(q)=．故日产量由64件增加到100件的总成本的增量为：C(100)-C(64)====（5q+50=5(100-64)+50(10-8)=180+100=280(万元)【应用7-4】根据边际收入求总收入和平均收入【问题描述】已知生产某产品q件时的边际收入为=100-2q（单位：元/件），求生产40件时的总收入和平均收入，并求再增加生产10件时所增加的总收入．【问题求解】生产q件产品时的总收入函数为R(q)=．生产40件产品时的总收入为：R(40)==（100q-=4000-1600=2400（元）．生产40件产品时的平均收入为：=60（元/件）．在生产40件产品后再生产10件产品所增加的总收为：=100（元）【应用7-5】求利润增量及最大利润【问题描述】设某产品的边际收入函数为=9-q（单位：万元/万台），边际成本函数为=（万元万/台），其中产量q的单位为万台，产量为0时利润也为0，求：（1）当产量由4万台到5万台时利润的变化量．（2）当产量为多少时利润最大？最大利润为多少万元？【问题求解】（1）边际利润为：=-=(9-q)-()=．当产量由4万台增加到5万台时利润的变化量为L(5)-L(4)===5-（）=5-=-（万元）．由此可见，在产量4万台的基础上再生产1万台，利润减少了万元．（2）当=0时利润最大，即=0，得唯一驻点q=4（万台），即产量4万台时利润最大．利润==+C由于q=0时，利润也为0，C=0．所以最大利润=5×4-=20-10=10（万元）．【应用7-6】计算平均销售量【问题描述】有一家快餐连锁店在广告后第t天销售的快餐数量由下式给出：S=S(t)=20-10求该快餐连锁店广告后第1周内的日平均销售量．【问题求解】解：该快餐连锁店在广告后第1周内的日平均销售量为：==）=20+=20+=20+≈12.808．【电类应用】【应用7-7】求电容器上的电压【问题描述】图7-24所示的电路中，当开关S合上后，其电流为i(t)=，求由t=0开始到T时为止电容上的电压．【问题求解】由电工学知：，所以需要先计算出由0至T时，电容上积累的电量Q，由前面的讨论可知，Q===-EC=-EC=-EC(-)=-EC(1-)，电容器的电压为：=E(1-)．【应用7-8】求交流电的平均功率和有效值【问题描述】（1）单相全波整流电路图如图7-25所示，其波形图如图7-26所示，交流电源电压经变压器及整流器供给负载（电阻）R的电压==|sinωt|，计算负责R的电压的平均值．（2）计算纯电阻电路中正弦交流电i=sinωt在一个周期内功率的平均值．（3）由电工学可知，如果交流电流i(t)在一个周期内消耗在电阻R上的平均功率与直流电流I消耗在电阻R上的功率相等时，那么这个直流电流的数值I就叫做交流电流i(t)的有效值．计算交流电流i(t)=sinωt的有效值I．【问题求解】（1）由函数平均值计算公式可得：=由于交流电|sinωt|的周期为2π，由图7-27可知：2π=ωT，即．所以=====)=．（2）设电阻为R，那么这电路中，R两端的电压为u=Ri=Rsinωt，而功率P=ui=R=Rsin2ωt，由于交流电的周期为，因此在一个周期上，P的平均值为===．即纯电阻电路中，正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的一半．（2）计算i(t)在一个周期内消耗在电阻R上的平均功率（直接引用上一步的计算结果）：；由电工学知，即故．【机类应用】【应用7-9】求变力所作的功【问题描述】（1）计算弹力所作的功已知弹簧每拉长0.02米要用9.8N的力，如图7-27所示，求把弹簧拉长0.1米所作的功．（2）计算抽水时所作的功一圆柱形的贮水桶高为5米，底圆半径为3米，桶内盛满了水，如图7-28所示．试问要把桶内的水全部抽出需作多少功？【问题求解】（1）从物理学知道，在一个常力F的作用下，物体沿力的方向作直线运动，当物体移动一段距离s时，F所作的功