高等数学实例教程 教案 课堂教学设计3 导数及其应用

课堂教学设计单元3导数及其应用（3-7）【知识疏理】3.12函数最值及求解闭区间上的连续函数一定存在最大值与最小值．要求函数的最大（小）值，必先找出函数在上取得最大值和最小值的点．求函数在区间上的最大（小）值的步骤为（1）求函数的导数，并求出所有的驻点和导数不存在的点；（2）求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值；（3）比较上述各函数值的大小，其中最大的就是在闭区间上的最大值，最小的就是在闭区间上的最小值．特别地，若f(x)在[a，b]上连续且可导，此时最大（小）值必在驻点和端点a、b中取得．【示例3.43】：求函数在上的最大值与最小值．解:函数在上连续，且，可知，驻点，不可导点，，端点，，这些点的函数值分别为，，．那么函数在上的最大值为，最小值为．【示例3.44】：在曲线y=（x＞0）上取一点使之到原点的距离为最近．解：曲线上任一点（x，y）到（0，0）点的距离为即s=，而求x使s最小值可转化为求x使最小．由题意知，这个最近距离是存在的，即函数的最小值存在．由（舍去）．所以当x＞0时，只有一个驻点x=1，且在x=1点．在x=1处取得极小值2，所以s在x=1处取得极小值．而这个极小值即为S在区间（0，+∞）上的最小值．3.13曲线的凹凸性与拐点及求解1．函数的凹凸性如图3-11中的两条曲线弧和，都是单调上升的，但它们的弯曲方向明显不同，曲线弧向下凹，曲线弧向上凸．【定义3.5】：函数的凹区间与凸区间一个可导函数y=f(x)的图形，在开区间内，如果曲线上每一点处的切线都在它的下方，则称曲线在内是凹的，开区间称为曲线的凹区间；如果曲线上每一点处的切线都在它的上方，则称曲线在内是凸的，开区间称为曲线的凸区间对于凹的曲线，当增大时，曲线上对应点的切线的斜率也是增大的，即是单调递增的，从而；而对于凸的曲线，曲线上对应点的切线的斜率是减小的，即是单调递减的，从而．2．函数凹凸性的判断定理【定理3.15】：函数凹凸性的判断定理设函数在闭区间[]上连续，在开区间内具有二阶导数，①如果在开区间内，，那么曲线在内是凹的；②如果在开区间内，，那么曲线在内是凸的．例如，函数y=在点x=0处二阶导数为零，该点的左侧和右侧二阶导数都大于零（曲线总是凹的）．函数y=在点x=0处二阶导数为零，该点左侧二阶导数小于（曲线是凸的），左侧二阶导数大于零（曲线是凹的）．3．曲线的拐点及其判断【定义3.6】：曲线的拐点连续曲线上凹弧和凸弧的分界点（,f(））称为曲线的拐点．【说明】：拐点是指曲线上的点，而不是轴上的点．【定理3.16】：拐点存在的必要条件如果函数在二阶可导，则为曲线的拐点的必要条件是【注意】：在拐点处，函数的二阶导数为零或不存在；但二阶导数为零或二阶导数不存在的点不一定是拐点．【定理3.17】：拐点存在的充分条件如果函数在点可导，在某邻域内二阶可导．若曲线在其拐点的邻近两侧的凹凸性发生了改变，即两侧二阶导数异号，则()为曲线的拐点．判断曲线凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤如下：①求．②令，解出该方程在区间（a,b）内的全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点．③对于前一步求出的每一个点（，检查在左、右两侧邻近的符号，如果在左、右两侧邻近符号相反，那么点（是拐点；如果两侧的符号相同时，那么点（不是拐点．然后确定曲线凹凸区间．【示例3.45】判定曲线的凹凸性．解：①函数的定义域为；②，；③令，得；④列表考察（表中“”表示曲线是凸的，“”表示是凹的）；+－+曲线⑤由上表可知，曲线在内是凸的，在和内是凹的．曲线的拐点为和．【示例3.46】：讨论函数的凸、凹性区间．解:由于，因而当时，；当时．从而在(]上函数为凹函数，在[)上函数为凸函数．所以=arctan的拐点为点(0，0)．而正弦曲线=sin的拐点为（k为整数）．3.14曲线的渐近线及求解先看下面的例子：（1）当时，曲线无限接近于直线；当时，曲线无限接近于直线．（2）当时，曲线无限接近于直线．一般地，对于具有上述特性的直线，我们给出下面的定义：【定义3.7】：水平渐近线如果当自变量（有时仅当或）时，函数以常量为极限，即，那么直线叫做曲线的水平渐近线．例如，因为，，所以直线和是曲线的两条水平渐近线．【定义3.8】：垂直渐近线如果当自变量（有时仅当或）时，函数以无穷大为极限，即，那么直线叫做曲线的垂直渐近线．例如，因为，所以直线是曲线的垂直渐近线．【示例3.47】：求下列曲线的水平渐近线和垂直渐近线．（1）；（2）．解：（1），因为,所以是曲线的水平渐近线．（2），因为，所以直线是曲线的垂直渐近线．又因为，所以直线是曲线的水平渐近线．【实例精讲】【实例3-13】求函数的最大值或最小值【问题描述】（1）求f(x)=在区间[-3，2]上的最大值和最小值．（2）求f（x）=在[-1，1]上的最值．【问题求解】（1）因为f(x)在[-3，2]上连续，故最大值，最小值一定存在．又f(x)在[-3，2]内可导，即无不可导的点．令，，为驻点．而，，．又在端点处f(-3)=66，f（2）=11．经过比较，得知最大者为66，最小者为2，所以f(x)在[-3，2]上的最大值为66，最小值为2．（2）f（x）在[-1，1]上连续，可导，所以最值存在，且在驻点和端点中取得．令==4x(-4)=0得，，，因为点2和点-2不属于区间（-1，1）故应去掉．所以在[-1，1]中只有一个驻点x=0，且f(0)=0．又在端点处，f(-1)=f(1)=-7，由比较得f(x)在[-1，1]上的最大值为0，最小值为-7．【实例3-14】求函数的凹凸区间和拐点【问题描述】（1）求曲线的凹凸区间和拐点．（2）求曲线的凹凸区间和拐点．（3）判断曲线是否有拐点？【问题求解】（1）①函数的定义域为；②，；③令，得；④列表考察－+曲线拐点⑤由上表可知，曲线在内是凸的，在内是凹的；曲线的拐点为．（2）：①函数的定义域为；②，；③是使不存在的点．④列表考察+不存在－曲线拐点⑤由上表可知，曲线在内是凹的，在内是凸的；曲线的拐点为．（3）①函数的定义域为．②，．③令，得．④因为当时，恒为正数，也就是说在点的左、右近旁，的符号相同，都是正的，因此点不是曲线的拐点．事实上，在整个定义域内曲线是凹的，所以它没有拐点，如图3-15．xxOy=(2x–1)2+1y112O图3-15抛物线的图形教师姓名课程名称授课时数2累计课时授课日期星期\节次授课班级课题单元3导数及其应用（3-8）知识目标熟练掌握导数的相关知识，理解导数的疑难问题技能目标灵活应用导数的相关知识求解实际应用问题态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用导数知识解决实际问题教学重点应用导数的相关知识求解实际应用问题教学难点应用导数的相关知识求解实际应用问题教学资源参考书《高等数学》——同济四版作业【应用拓展】教学过程设计教学环节教学内容教学方法时间课堂引入明确教学目标、教学重点难点，熟悉教学方法讲授法5’释疑解难【问题3-1】函数在的导数是否可写成？【问题3-2】若在点可导，是否为？【问题3-3】对于复合函数，与有何区别？【问题3-4】如果函数在一点连续，则在该点也一定可导吗？【问题3-5】罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理之间有什么联系？【问题3-6】导数值为零的点一定是单调区间的“分界点”吗？【问题3-7】函数的驻点一定是极值点吗？【问题3-8】二阶导数为零或二阶导数不存在的点一定是拐点吗？启发式教学法70’应用求解【日常应用】【应用3-1】求物体直线运动的速度与加速度【应用3-2】求圆柱形容器表面积最小时的底面半径【经济应用】【应用3-3】求边际成本和最大利润【应用3-4】求边际收入和边际利润【应用3-5】求费用最低的运输路线【电类应用】【应用3-6】求电路中的电流【应用3-7】求电容器的充电速度【机类应用】【应用3-8】求简谐运动的速度与加速度【应用3-9】求冰箱内温度关于时间的变化率启发式教学法同步训练【应用拓展】练习法10’课堂小结对教学内容进行小结，对教学情况进行点评归纳点评5’课后小记课堂教学讲稿单元3导数及其应用（3-8）【释疑解难】【问题3-1】函数在的导数是否可写成？【问题3-2】若在点可导，是否为？【问题3-3】对于复合函数，与有何区别？【问题3-4】如果函数在一点连续，则在该点也一定可导吗？【问题3-5】罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理之间有什么联系？【问题3-7】函数的驻点一定是极值点吗？【问题3-8】二阶导数为零或二阶导数不存在的点一定是拐点吗？【应用求解】【日常应用】【应用3-1】求物体直线运动的速度与加速度【问题描述】已知某物体做直线运动，其运动规律为s=t+(s的单位是米，时间t的单位是秒)，求该物体在t=3s时的速度和加速度．【问题求解】（1）物体运动的速度为：v==（t+=1-．（2）物体运动的加速度为：a==(1-=．（3）当t=3s时，有：v=1-=（m/s），a==（m/s2）【应用3-2】求圆柱形容器表面积最小时的底面半径【问题描述】要做一个上下均有底的圆柱形容器，如图3-16所示，该容器的容积是常量，问底半径r为多大时，容器的表面积最小？并求出该最小面积．【问题求解】设容器的高度为h，则容器的表面积S=2πr2+2πrh，由于=，即h=，即得目标函数为：S=2πr2+2πrh=2πr2+（0<r<+∞），对r求导，得：=4πr-令=0，解得唯一驻点r=．目标函数在（0,+∞）内最小值存在，且驻点唯一，因此当r=时，表面积最小．最小表面积为：2πr2+=2π+=+=+=3【经济应用】边际概念是经济学中的一个重要概念，边际函数是指函数f(x)在点x=处，当x产生一个单位的改变时，y的改变量．而=，这表明f(x)在点x=处，当x产生一个单位的改变时，y近似改变个单位，在应用问题中，解释边际函数值时具体意义时往往略去“近似”二字．即函数f(x)在点x=处的边际函数为．经济学中称经济函数f(x)的导数为该函数在x处的边际函数．成本函数C=C(Q)（Q为产量）的导数为边际成本，记作MC；收入函数R=R(x)（x为需求量）的导数为边际收入，记作MR；利润函数L=L(x)（x为产量）的导数为边际利润，记作ML．【应用3-3】求边际成本和最大利润【问题描述】已知天空公司生产x件产品的总成本函数为C(x)=25000+200x+（元），其中x为产量．（1）求生产100件产品时的总成本、平均成本和边际成本．（2）如果每件产品以500元售出，要使利润最大，应生产多件产品？并求出最大利润．【问题求解】（1）平均成本函数为：===+x+200，生产100件产品的总成本为：C(100)=25000+200×100+=45250（元），平均成本为：==452.5（元），边际成本函数为：MC===200+，当产量x=100件时，边际成本为：MC|x=100=(200+)|x=100=205（元）．即生产第101件产品的成本约为205元．（2）产品利润为：L(x)=R(x)-C(x)=500x-(25000+200x+)=-+300x-25000，对x求导，得：(x)=-+300，令(x)=0，得x=6000．因为所求问题的最值存在，所以当生产6000件产品时利润最大．L（6000）=-+300×6000-25000=87500（元），即最大利润为87500元．【应用3-4】求边际收入和边际利润【问题描述】（1）已知某产品的价格是销量x的函数p=200-0.01x（元），求销售100件产品时的边际收入．（2）已知该产品的总成本函数为C(x)=（元），其中x为产量，求生产100件产品的边际利润．【问题求解】（1）由于销售收入为销售量与单价的乘积，所以R(x)=px=x(200-0.01x)．边际收入函数为：MR===200-0.02x，销售100件产品时的边际收入为：=200-0.02x|x=100=198（元）．即销售第101件产品增加的收入约为198元．（2）L(x)=R(x)-C(x)=x(200-0.01x)-()=对x求导，得：(x)=-0.52x+200，x=100时，ML=(x)|x=100=200-0.52×100=148（元）．即生产101件产品增加的利润约为148元．【应用3-5】求费用最低的运输路线【问题描述】铁路线上、两城的距离为100km，工厂距铁路线A位置为20km，即km，且，如图3-17．现在要在线上选定一点向工厂修一条公路直通厂．已知铁路运货每千米的运费与公路的运费之比是3：5，问应选在何处，才能使从城运往工厂的运费最省．【问题求解】设（km），先建立运费函数．由于，．故由点经到厂，单位重量的货物运费为，（）令解得是中唯一的驻点而,即在处取得极小值，故知在处取得最小值则距城15km处选为点，可使运费最省．求实际问题的最大（小）值有以下步骤：①先根据问题的条件建立目标函数．②求目标函数的定义域．③求目标函数的驻点（唯一驻点）；并判定在此驻点处取得的是极大值还是极小值．④根据实际问题的性质确定该函数值是最大值还是最小值．【电类应用】【应用3-6】求电路中的电流【问题描述】电路中某点处的电流i是通过该点处的电量q关于时间t的瞬时变化率，如果某一电路中的电量为q(t)=．求（1）电流函数i(t)．（2）t=3时的电流是多少？（3）什么时候电流为49A．【问题求解】（1）i(t)====3t2+1．（2）i(3)====28．（3）解方程i(t)==49，得t=±4（舍去负值根），即当t=4时，电流为49A．【应用3-7】求电容器的充电速度【问题描述】如图3-18所示，电容器充电过程中两极板的电压u与时间t的关系为：U(t)=E(1-)．其中E、R、C均为常数，求电容器的充电速率v．【问题求解】充电速度v为电压U(t)对时间的变化率，即：v==[E(1-)=E(-)(-=．以上结果表明，充电速度是依指数规律递减的，在t=0时充电速度快，其速度为：=．随着电容两端电压的增高，充电速度渐慢，经过RC秒后，电