高等数学实例教程 课件 单元4　微分及其应用

单元4微分及其应用(4-1)教学内容索引【引例探析】【引例4-1】探析金属薄片受热变形时面积的改变量【引例4-2】探析机械挂钟因热胀冷缩产生的钟表误差【概念认知】1．微分的概念2．微分的几何意义3．微分与导数的关系【课堂引入】知识目标理解函数微分的概念及其，以及微分与导数的关系技能目标熟悉微分几何意义态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用微分知识解决实际问题教学重点微分的概念教学难点微分的几何意义【引例探析】【引例4-1】探析金属薄片受热变形时面积的改变量【问题描述】图4-1正方形金属薄片受热变形【问题求解】【引例探析】【引例4-2】探析机械挂钟因热胀冷缩产生的钟表误差【问题描述】

如图4-2所示的一只机械挂钟，其摆动周期为1s，摆长为l，如图4-3所示．在冬季，摆长因热胀冷缩而产生微小缩短，由于摆长缩短，该摆钟的周期会如何变化？图4-2机械挂钟外观图4-3钟摆运动示意图【问题求解】【概念认知】1．微分的概念【定义4.2】：微分的定义形式2【示例4.1】：求函数y=x的微分．2．微分的几何意义图4-4微分的几何意义3．微分与导数的关系【定理4.1】：函数y=f(x)在点x可微的

充分必要条件是它在点x可导．证：（1）先证必要性．（2）再证充分性．【注意】：快乐学习、高效学习单元4微分及其应用(4-2)教学内容索引【知识疏理】4.1基本初等函数的微分公式与微分运算法则4.2微分在近似计算中的应用【实例精讲】【实例4-1】求函数的微分【实例4-2】计算近似值【课堂引入】知识目标（1）了解微分的四则运算法则；（2）理解一阶微分形式的不变性；（3）了解函数微分在近似计算中的应用技能目标会求函数的微分，会利用一阶微分形式的不变性求函数的导数，会应用微分计算近似值态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用微分知识解决实际问题教学重点微分计算公式及运算法则教学难点应用微分计算近似值【知识疏理】4.1基本初等函数的微分公式与微分运算法则函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分（改变量）．由此可以得到基本初等函数的微分公式和微分运算法则．1．基本初等函数的微分公式2．函数的和、差、积、商的微分法则3．复合函数的微分法则则y为x的复合函数.【示例4.3】：求y=cos(3x+5)的微分．解法一：解法二：【示例4.5】：在下列等式左边的括号中填入适当的函数，使等式成立解：4.2微分在近似计算中的应用

一般要求近似公式要有足够高的精度且计算简便，用微分来做近似计算则可以满足这些要求．证：由（4-4）式易推出下面几个工程上常用的近似公式：解：【实例精讲】

【实例4-1】求函数的微分【问题描述】【问题求解】【实例精讲】

【实例4-2】计算近似值【问题描述】【问题求解】快乐学习、高效学习单元4微分及其应用(4-3)教学内容索引【释疑解难】【问题4-1】符号

既表示导数的记号，也表示微分dy与dx之比？【问题4-2】可导函数一定可微，可微函数也一定可导吗？【问题4-3】微分形式

具有不变性【应用求解】【应用4-1】求金属正方体受热后体积的改变量【应用4-2】估算产品收入增加量的近似值【应用4-3】求电路中负载功率改变时其两端电压的改变量【应用4-4】求机械摆钟因热胀冷缩产生的钟表误差【课堂引入】知识目标掌握微分应用的相关知识，理解微分的疑难问题技能目标灵活应用微分的相关知识解决实现问题态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用微分知识解决实际问题教学重点应用微分的相关知识解决实现问题教学难点应用微分的相关知识解决实现问题【释疑解难】【应用求解】

【应用4-1】求金属正方体受热后体积的改变量【问题描述】图4-5金属正方体的外观【问题求解】

由此可见，当边长和边长的增量相同时，正方体体积的微分与正方体体积的改变量近拟相等．【应用求解】

【应用4-2】估算产品收入增加量的近似值【问题描述】【问题求解】【应用求解】【应用4-3】求电路中负载功率改变时其两端电压的改变量【问题描述】图4-6电路中负载【问题求解】【应用求解】【应用4-4】求机械摆钟因热