【《改进傅里叶变换的谐波检测方法的分析》16000字】

改进傅里叶变换的谐波检测方法的研究目录TOC\o"1-3"\h\u20701绪论 3237821.2课题的国内外现状 3272472谐波检测方法的研究 4168592.1谐波检测的方法 440152.1.1基于小波变换的谐波检测方法 5279892.1.2基于希尔伯特-黄变换的谐波检测法（HHT） 5298722.1.3基于人工神经网络的谐波检测法(ANN) 6237252.1.4基于傅里叶变换的谐波检测法(FFT) 6198962.2谐波检测的方法 6220152.2.1基于小波变换的谐波检测方法 6265332.2.2基于希尔伯特-黄变换的谐波检测法 7156692.2.3基于人工神经网络的谐波检测法 7161732.2.4基于傅里叶变换的谐波检测法 827502.3谐波检测的国内外现状 8264462.3.1小波变换谐波检测法 8145302.3.2基于HHT算法的谐波检测法 9246222.3.3基于ANN的谐波检测法 10253462.3.4基于FFT的谐波检测法 10189293傅里叶变换的研究 11304183.1傅里叶变换的基本思想 11315723.2傅里叶变换的定义 12316943.3傅里叶变换的计算公式 125273.3.1周期信号的傅立叶级数展开 128183.3.2非周期信号的傅里叶变换 138373.3.3离散时间傅里叶变换 13314913.4离散傅里叶变换及其快速傅里叶变换的应用 14257503.4.1快速傅里叶变换算法在高精度剩余电流检测系统中的应用 14193034基于改进傅里叶变换谐波检测方法 16108864.1概述 1661134.1.1频谱泄漏 1780244.1.2栅栏效应 1828934.1.3其他误差成因 18116654.2快速傅里叶变换与谐波提取 1932754.3基于插值超采样的傅里叶变换谐波提取方法 19296284.4仿真结果 20279025总结与展望 27摘要电力是现代社会不可缺少的重要能源。随着科技的发展，电力系统中的危害与影响也越来越多。本文提出了一种基于插值方法的改进快速傅里叶变换谐波检测方法，针对传统快速傅里叶算法收到采样频率限制导致变换结果丢失信号分量的不足，提出了采用多项式插值算法对离散采样序列进行插值延拓，在原有离散采样序列的基础上实现超采样的效果，并对超采样插值序列使用快速傅里叶变换，进一步降低频谱分析结果的信息丢失。通过模拟生产包含高次谐波和均匀噪声的信号序列，并使用改进的快速傅里叶变换谐波分析方法对原始信号系列进行谐波的提取，对比了提取结果和传统快速傅里叶变换方法的谐波分析结果。仿真表明，使用插值方法对采样信号序列进行延拓能够还原原信号中的高频分量，减少因采样带宽引入的失真，同时，使用拉格朗日二次插值法提取高次谐波。由于采用线性插值方法，因此使用插值算法来实现超级采样，配合快速傅里叶变换以提取高次谐波的方法具有可行性。关键词：傅里叶变换谐波检测插值法二项式插值法1绪论本文主要讨论本课题的主要技术——改进傅里叶变换谐波检测方法的研究。目前谐波检测方法有很多种，但科学技术的发展还不够成熟。本文介绍了目前谐波检测的主要方法。1.1课题研究目的和意义傅立叶变换是数字信号处理技术领域中极为重要的算法。在傅立叶原理的示范中，每个连续测量的时间序列或每个连续测量的信号都可以表示为具有不同频率的正弦信号的无尽叠加。在频域中实现这些信令系统的某些重要工具的存在。傅里叶变换实际上是解决这些问题的方法，是解决问题的重要工具和观点。在傅立叶变换之后，它仍然是一个叠加问题，但是从频率的角度来看，只有每个小信号都是时域，它覆盖了信号的整个范围，但是具有固定的周期，或者如果给定一个周期，就可以在整个间隔内绘制部分信号。给定一系列周期（或频率）值，就可以绘制一条相应的曲线，就像可以绘制时域中的任何点一样。但是，如果信号是周期性的，则频率范围会更简单，只需要几个甚至一个，并且对于时间范围，必须在整个时间轴上为每个点分配一个功能值。并且通过谐波，周期性交流电的振幅被快速傅立叶级数分解，并且所产生的频率大于1的整数倍。在电力系统中，通常使用正弦波作为电源，而没有使用正弦波来供电。基于傅立叶变换的谐波测量仍然是当今使用最广泛的方法之一。它包含从离散傅立叶变换到快速傅立叶变换的基本原理。这种测量谐波的方法可提供高精度，多种功能且易于使用。缺点是当前值和两次转换要花费一些时间，需要大量的计算，较长的计算时间，较长的检测时间以及较差的实时性能。在采样过程中，信号频率和采样频率不一致。使用此方法时频谱会丢失。计算出的信号参数（频率，幅度和相位）不精确，尤其是相位误差非常大，无法满足测量精度要求。该算法需要改进。因此，分析和消除网络谐波是改善电能的一个特别重要的方面。1.2课题的国内外现状早在19世纪末，当交流电作为一种新的电源出现时，人们就发现了电压和电流的畸变，并研究了如何将畸变限制在可接受的范围内。法国著名数学家傅立叶的著作为谐波演算的发展奠定了良好的基础。关于电气系统中的谐波问题，人们只是在1920年代和1930年代才开始关注它，自1970年代以来，由于中国电力企业中电子信息技术的飞速发展，各种电子功率控制装置越来越多地用于能源管理系统，工业，运输和家庭中。近年来,随着中国社会的不断发展和中国电网的不断更新,不断使用各种负载设备越来越多,从而导致严重的电力系统电压波形的畸变,这直接影响到电网的稳定和安全运行。当系统中出现一个或多个谐波时，有必要使用分析和计算技术。谐波电压和谐波电流在系统中各个点的分布以及谐波测量的实际结果是研究谐波问题的重要理论基础，并且通常是研究分析谐波以解决问题的起点。在所有发电，传输，转换和使用链接中都会产生谐波。在发电链路中的发电机接线上进行了某些测量之后，可以认为发电机正在提供基频的正弦电压。2谐波检测方法的研究2.1谐波检测的方法谐波检测方法按常规方式来划分，可以分为频域检测法、时域检测法和其他方式检测法；按是否具有选择性来划分，可以分为需要单独检测每个谐波幅度的选择性检测法和将电流直接分开成基波和谐波分量的非选择性检测方法。下面对基于小波变换的谐波检测法、基于傅里叶变换的谐波检测法、基于希尔伯特-黄变换（HHT）的谐波检测法、基于人工神经网络的谐波检测法、以及近期出现的一些新方法进行介绍[1]。2.1.1基于小波变换的谐波检测方法20世纪90年代,首先提出小波转换以分析电力系统中产生的非固定谐波畸变。小波转换时间频率窗口显示出良好的时频特性和良好的计算精度，其非常适合于分析稳态和临时时间相关信号，因为频率窗口可以根据检测到的谐波产生自适应变化[2]。同时其他技术的进一步发展，进一步提高了嵌入式系统计算的能力，例如数字信号处理器（DSP），小波变换逐渐占据电力系统谐波检测的主要位置。2.1.2基于希尔伯特-黄变换的谐波检测法（HHT）目前，进行谐波检测的算法很多，如FFT、短时傅里叶、小波变换等,但大多擅长处理线性的平稳的信号，对于非线性非平稳信号在处理时误差较大。例如，当FFT算法分解信号时，它只能确定信号包含哪些频率，而不能清楚地知道每个频率何时出现。尽管后来出现了相关的改进算法比如短时傅里叶算法，但其效果仍然不理想，无法摆脱FFT在处理非平稳信号时的局限性。小波变换处理非平稳信号在理论上可行，但在实际处理过程中仍然存在很大问题。由于其理论基础，HHT算法在处理非线性和非平稳信号方面具有固有优势。另外，现实生活中的真实信号大多是非线性且不稳定的，并且几乎没有完全稳定的信号。HHT则正好可以很好地弥补这一缺点[3]。HHT具有自我调节和完全适应的特点。无论是FFT算法还是小波变换，工作人员在处理信号之前都需要选择基准，选择的差异将直接导致最终结果的巨大差异。小波基的选择通常取决于人员的实际经验，这无疑会引入人为错误。HHT算法是不同的，其基数的生成完全取决于被测信号本身的特性，并且可以进行调整。HHT的适应性不仅可以消除人为错误，而且可以反映处理后信号的特性。HHT不受Heisenberg测不准原理的束缚[4]。该原理在很多信号处理算法如FFT、ANN等中都存在。简单来讲，就是算法在处理信号时不能同时在时域和频域两个维度得到高精度，要想提升某一维度的精度必要牺牲另一维度的精度。而HHT算法由于其结构独特性，不会受该原理的束缚，使用HHT算法可以同时在时域和频域中获得高精度。HHT的瞬时频率具有局部性[5]。与其他算法相比，HHT采用不同的方法来获取瞬时信号频率，瞬时频率是由相位函数的推导产生的，并且是局部的。2.1.3基于人工神经网络的谐波检测法(ANN)随着人工神经网络技术的发展，其用途越来越广泛，早已不只是当初神经生物学的分支，应用领域也已扩展到诸如模式识别，智能控制，信号处理，图像处理和优化问题等领域。在电力谐波检测领域，人工神经网络技术也受到关注，并已应用于特定的工程实践中。王群、吴宁等人通过构造多层前向神经网络实现了对谐波幅值和相位的非线性映射，并且结合离线和在线的训练方式以适应不同的工作情况[6]。危勃勇、李志勇等人将锁相技术引入到了电力谐波检测中，除了在线训练神经元网络之外，设计还可以执行二次过滤，并且可以在指定谐波的幅度和阶段执行实时测量[7]。与传统的谐波检测方法相比，人工神经网络检测方法计算量小，实时良好，检测精度高，能够根据不同要求实时地检测出任意次整数谐波，并且抗干扰性强。2.1.4基于傅里叶变换的谐波检测法(FFT)快速傅里叶变换方法（FFT）检测精度高是最广泛使用的谐波检测方法，但是在计算操作时，检测花费时间长，实时检测误差更大[8]。如果采样与信号周期不同步，则会出现频谱泄漏和栅栏效应的致命缺点，导致检测误差存在于谐波频率和幅度中；如果采样频率不符合采样定理，则频率混叠现象也会发生。频谱泄漏的主要原因是当FFT切断原始频谱时，将原始频谱扩散到边缘的频谱。通过加窗函数和校正，是可以采用的抑制频谱泄漏的主要方法。窗函数种类多种多样，怎样选用尤其重要。通过向FFT添加六种窗函数[9]，其不同结果进行比较时发现，大大提高了幅度检测精度，并且显着提高了相位精度。另外，通过修改理想的同步采样方法，采样频率方法和准同步采样方法，可以抑制频谱泄漏。但增加了算法的复杂性，并且减少了谐波分析的分辨率。2.2谐波检测的方法2.2.1基于小波变换的谐波检测方法小波分析涉及在一系列拉伸和平移之后将信号分解为由母小波获得的函数，这样不仅可以获得小波的频率分量，而且可以获取时域频率的时间位置。使用这种方法，可以以不同的比例投影电力系统中的高次谐波变化，然后反映谐波信号的特性，从而为谐波分析提供理论基础[10]。小波变换在本质上类似一个带通滤波器，可以通过位移因子和尺度因子来调整滤波器的中心频率和带宽，分析以后得到是时间-尺度图谱，而不是时间-频率图谱[11]。通过小波变换可以进行信号分解和滤波,所以当尺度因子较小时，要采用短的时间窗，小波变换高频部分就能拥有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率；当尺度因子较大时，要采用长的时间窗，使低频部分有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率。2.2.2基于希尔伯特-黄变换的谐波检测法(1)本征模态函数(IMF)的概念:通过将信号数据序列经验模态分解(EMD)以获得可用于Hilbert变换的一系列窄带信号-本征模态函数(IMF)[12]。然而，具有以下两个条件:检测时，零交叉点和极值点之间的数目差值之间的差异为0或1。②对于信号发生的时间中，两极值点包络线之和必须为零。仅在满足条件后获得的瞬时频率可用，并且波形的不对称性不会导致不规则波动。（2）通过EMD方法对信号的分解基于3点:至少存在两个极值将特征尺度定义为它们之间的时间间隔。③如果信号中没有极值，则可以在分解之前获取极值点，再对结果计算得到应量。(3)在Hilbert变换中，瞬时频率是相位函数对时间的导数，表示在对信号进行检测时同一时刻只存在一种频率信号，因此若对复合信号进行Hilbert变换，瞬时频率会失去其物理意义，而且在实际的电力系统谐波中，同一时刻可能同时存在2、4、6次等多个频率的谐波分量[13]。因此，运用EMD能解决对复合信号不能使用Hilbert变换的问题，先利用EMD对复合信号进行分解产生IMF分量，从复合信号中提取了单频率信号对应的IMF分量，再对其进行Hilbert变换，最后得到的信号瞬时频率才有意义。2.2.3基于人工神经网络的谐波检测法神经网络检测法主要包含三个部分：输入层、隐含层、输出层。输入层就是将采集的数据输入进来，神经元个数就是由测量信号的采样点数来确的定；隐含层是一个重要的中间环节部分，其主要功能是将输入层输入进来的数据和传递函数做乘积运算以此来达到训练样本的目的，问题的复杂程度决定了神经元个数，并且传输函数为非线性函数[14]；输出层的主要目的是对以训练好的样本进行分类，此时神经元个数由谐波的次数决定，且传输函数为线性函数。基于自适应谐波检测方法，原始输入包括与信号和信号的加性噪声组成，公共信号处理用于迁移信号处理的自适应信号处理。自适应过滤器处理后，减去原始输入信号，然后通过系统的适配，并时系统的最小平均平方误差最小以取消干扰噪声并动态检测信号并检测谐波[15]。如果使用该方法进行谐波检测，则基波分量通常被认为是噪声，权量由最小平均方形误差算法调整，获得测量电流的基波分量，检测谐波。2.2.4基于傅里叶变换的谐波检测法基于快速傅立叶变换(FFT)的谐波检测的核心原理是将采集到的负载电流信号进行傅里叶分解处理，然后得到其中各次谐波分量相应的相位、幅值等参数，可以借由此实现特定次谐波的补偿。提高检测精度的关键点在于减小频谱泄漏、栅栏现象等其他误差，通常使用加窗算法、双峰谱线修正算法、插值算法加以解决[16]。2.3谐波检测的国内外现状2.3.1小波变换谐波检测法小波变换在谐波检测中的现阶段主要有以下几个方面的研究：（1）基于Mallat算法的谐波检测方法Mallat算法于1986年被首次提出，用于小波理论进行多分辨率分析多重电阻分析，小波多分辨率特征尺度大，就可以观察粗的图像和每个等级的其他特征。再根据小波变换的分解和重建，提出了成为主要谐波提取方法的离散信号的金字塔算法[17]。基于谐波检测分析的小波多分辨率分析方法，具体取决于具体规模。不同频率的当前信号被划分为不同的频带并在每个子带中重构并分开每个频段谐波的信息。当信号在一定程度上分解时，低频带的结果被认为是基基波分量，所有DJ（n）被设置为0，并且维护和重新配置IJ（n）的分解值。，再次重构，该时刻的谐波值是被采样信号值以减去基波值。通过将非正弦电流中的基波和谐波分量分开来计算非正弦信号的电压和功率有效值来获得小波的多分辨率分析的算法。同时，Mallat算法可以实时检测总谐波电流大小，然后根据计算时间和采样时间计算时间延迟。许多实验表明基于Mallat算法的谐波检测方法具有更好的动态性能，实现了谐波的实时检测要求[18]。（2）基于小波包分析的谐波检测方法当Mallat算法施加到信号频带划分时，频带不均匀，而且高频宽和低窄，因此只能精确地拆卸信号的低频，但在拆卸高频部分时检测精度很低。而采用小波包，信号带可以均匀地分成不同带宽，并且信号的高频部分被分解，同时提高了信号检测的总精度。然而，在分析传统小波分解结构之后，每个频率带状的尺寸不会完全响应对应频带的频率。因此，难以具有频率分析和特性的特征，并且分析结果不能直接确定谐波频率的尺寸，否则可能会发生大错误。（3）基于连续小波变换的谐波检测方法[19]上述多分辨率分析和小波包分析都是基于离散小波变换。当拆卸实际信号时，它总是在小波函数的频域中混合，因此使用多分辨率分析和小波包转换分析检测电力系统谐波还有缺陷。使用连续小波变换时，可以最大限度地减少频率混合的问题。小波函数具有能量集中、通频带窄、频率混叠影响小以及线性和时域对称的特性，保证了变换过程不失真。正是因为这样，用不同系数对小波进行连续变换后在不同的尺度图中，不同系数的区别尤其明显[20]。对频率相近的整数和非整数波次采用此种方法分离提取，在满足前提的要求下，结果证明，提高了检测精度，因此小波函数可以用于分析电气系统中的谐波情况。单个小波的频带范围很窄，并且其他谐波分量的检测结果产生会产生严重误差。当提取特定频率范围内的频谱时，使用组合的小波，多频带小波转换可能需要短时间以提取要分析的多个谐波分量。多频段小波转换可以提高总检测精度，特别是对于电力系统的谐波分析，可以提高电气系统的诊断水平和操作水平。但是，由于连续小波平衡的持续转换，不能实时分离基波和谐波信号，不能执行实时监控和谐波分析[21]。2.3.2基于HHT算法的谐波检测法1998年，美国国家航空航天局海洋学家HuangE等人首先提出了一种经验前模式分解算法，然后进行了希尔伯特变换。两者的组合成为希尔伯特-黄（Hilbert-Huang）变换（HHT）。HHT算法本身可以很好地处理平稳信号，并且在处理非线性信号方面具有自然优势。它可以根据时域的变化适当地调整时频分析能力，并且不受非平稳和突发信号的干扰。同时，它还可以得到比较。时频分辨率高，因此已经在各个领域得到了广泛的应用。但是，它的某些定义和过程是叙述性的，缺乏系统和全面的数学理论支持在一定程度上限制了它。HHT算法的研究一直存在两个问题，即末端效应和模态混叠。多年来，有关研究者对如何消除这两个问题进行了不断的研究和提出了各种优化算法。针对端点效应带来的不良影响，HHT算法的相关研究人员试图消除端点效应带来的分解误差[22]。目前针对端点效应的抑制算法大致可分为四大类：基于数学模型的端点效应抑制算法；基于信号处理的端点效应抑制算法；基于人工智能的端点效应抑制算法；基于以上三类算法组合而成的端点效应抑制算法。这些抑制算法在一定程度上减小了端点效应带来的失真。但仍无法完全满足实际需要，对经典模态分解、瞬时频率、Hilbert谱分析的定义等问题仍需进一步探索，因此该方法从理论上和实际应用方面都还有很大的提升空间[23]。2.3.3基于ANN的谐波检测法近年来，国内外的神经网络研究取得了长足的发展，许多研究者对此产生了浓厚的兴趣，并将相关研究成果扩展到各个行业，并在该领域取得了良好的应用效果。基于神经网络的谐波检测方法包括两种：具有导师学习功能的近似函数的预期神经网络检测方法和辅导算法的检测方法；无导师自学习的线性神经网络。基于神经网络的谐波检测方法可以提高计算速度和准确性，而且在面对干扰信号或其他误差时不会被轻易影响和在实际测量中易于实现的特点[24]。与傅立叶变换和小波变换相比，神经网络算法对采集的数据没有很高的精度要求，即使存在很强的干扰也可能导致各种复杂的数据，在外部可以通过误差传播法或自学习法将其最小化。噪声干扰，取得满意的检测效果。但是，构建神经网络当前需要大量的训练样本，并且关于如何选择训练样本没有统一的规范，因此，当检测到相同的谐波数据时，训练后的神经网络会有较大的偏差。目前，神经网络检测方法还处于初步研究阶段，在实际应用中还没有取得一些成果，在实现上还存在很大的局限性。随着现在人工智能技术的崛起，诸多学者也投身于神经网络检测法，成为了谐波检测领域的热点[25]。2.3.4基于FFT的谐波检测法当前，基于快速傅立叶变换的谐波检测方法是相关领域中使用最广泛的方法，并且在离散傅立叶变换的基础上对其进行了改进。但是，由于采样周期长，并且对采样和信号的频率要求更加精确，通常难以保证实际的测量，并且会发生频谱泄漏和围栏效应等现象。目前，对于FFT算法存在的问题[26]，各国学者提出了不同的改进方法。通过增加矩形窗，汉宁窗，汉明窗，布莱克曼窗等窗功能，可以有效抑制谐波之间的干扰和噪声干扰，从而准确检测出谐波幅度，相位等信号参数。减少频谱泄漏的频率和出现围栏效应的现象。同时，使用锁相环使采样频率与信号频率一致，然后将锁相环输出的相位和频率与相位和频率信号进行比较，得到信号的输出相位误差。通过反馈系统将相位比较器的相位反馈到锁相环。为了实现采样频率和信号频率的同步，该方法具有良好的实时性。目前，傅里叶变换在理论研究中逐渐趋于稳定，在实际应用中也取得了成熟的检测成果[27]。3傅里叶变换的研究3.1傅里叶变换的基本思想傅里叶变换的基本思想由法国学者傅里叶首先系统提出，所以以其名字来命名以纪念他的伟大贡献。在一定条件下，对于给定的任意函数，他能将其分解为正弦函数和余弦函数的组合，对于不同行业，不同的应用场景，傅里叶变换有不同的变形形式如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅立叶变换属于调和分析的内容。分析二字，从字面上来看，可以理解为对目标进行全面的分解在针对各个部分逐一研究，已达到对目标从原理到表象的全面理解，并结合到实际中运用。从哲学上看亦是如此，分析主义和还原主义，就是把事物拆分到其组成最小单元，研究其中机理，将混乱无序的表面现象归纳到本质规律，以此来掌握。比如在近代原子论中有学者认为组成世界的最小单位为原子，认为世界上所有物质都是由一个个原子组成，用种类只有几百种的原子来解释这世界的繁杂万物。这种分析和分类方法无疑为后人想要了解事物的各种内在性质提供了思路[28]。在数学中，已经提出了傅里叶变换来分析原始热过程，但思想方法仍然保持典型的还原理论和分析特征。有些功能可以以任何方式表达正弦函数的线性组合，并且正弦函数在物理上已经被研究得相对简单。这个想法与化学原子论相匹配，现代数学家无不惊叹傅里叶变换的神奇之处:1.傅立叶变换是线性算子,若采用适当的范数进行赋值,它还是酉算子;2.傅立叶变换的逆变换易求,且形式与正变换类似;3.正弦基函数是微分运算中的本征函数,使得线性微分方程的求解能够转化为常系数代数方程的求解.在一个线性时不变的物理系统内,频率也是不变的,因此系统对于复杂激励的响应可以通过组合不同频率正弦信号的响应来获取[29];4.卷积定理中指出:傅立叶变换可以把复杂的卷积运算化为简单的乘积运算,从而使计算简便。5.离散傅立叶变换可以通过数字计算机快速算出(其算法被称为快速傅立叶变换算法)。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在声学、光学、电学、物理学、概率、统计、信号处理、等领域都有着广泛应用。3.2傅里叶变换的定义f(t)是t的\t"/item/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2/_blank"周期函数，如果t能够满足\t"/item/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2/_blank"狄里赫莱条件：在一个以2T为周期的函数内，f(x)连续或仅有有限个\t"/item/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2/_blank"第一类间断点，若f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）周期为2T的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是一个周期为2T的周期函数，而且在这些间断点上，\t"/item/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2/_blank"函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点，绝对可积。则下图①式成立，称为积分运算f(t)的傅立叶变换[30]。下图②式的积分运算称做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)称做f(t)的象函数，f(t)是F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)的原象。傅立叶变换F(ω)=F[f(t)]=−∞∞f(t)傅立叶逆变换ft=F3.3傅里叶变换的计算公式3.3.1周期信号的傅立叶级数展开可以展开成为三角函数，余弦函数或正弦函数f(t)=a0f(t)=c0n=1f(t)=d0+an,bn等为傅立叶系数也可展开成复指数级数f(t)=n=−∞∞FFn=F(nω)=1傅立叶系数的关系Fn+Fj(Fn−phase(Fn)=arctan(−phase(F−n)=arctan(3.3.2非周期信号的傅里叶变换对于非周期信号周期T趋向无限大，则频谱间隔就无穷小，趋向连续，谱线高度趋近于零。因此可以得到连续的频谱密度函数来替代原有的离散频谱，推导过程如下：F(ω)=limT→∞F(nω)T非周期信号的傅里叶变换：F(ω)=−∞∞f(t)非周期信号的傅里叶逆变换：f(t)=12π∞3.3.3离散时间傅里叶变换非周期序列若序列到连续函数则傅里叶变换：X(ejω)=若连续函数到序列则傅里叶逆变换：x(n)=12π周期序列取单周期信号，傅里叶变换为：X(ejω)=3.4离散傅里叶变换及其快速傅里叶变换的应用离散傅立叶变换（DFT）是时域和频域中傅立叶变换的离散形式。时域信号的样本被转换为离散时傅立叶变换（DTFT）的频域。从形式上讲，变换两端的序列是有限长度的，但实际上这两组序列被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长度的离散信号执行离散傅立叶变换，也必须将其视为经过周期性扩展然后进行变换的周期性信号。在实际应用中，通常使用快速傅立叶变换来有效地计算离散傅立叶变换。快速傅里叶变换（FFT）是计算机计算离散傅里叶变换的高效快速方法的总称。快速傅里叶变换由J.W.Cooley和T.W.1965年的图基（Tukey）。采用这种\t"/item/%E5%BF%AB%E9%80%9F%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2/_blank"算法能大大降低\t"/item/%E5%BF%AB%E9%80%9F%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2/_blank"离散傅里叶变换所需要的\t"/item/%E5%BF%AB%E9%80%9F%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2/_blank"乘法次数，特别是对于那些被变换的抽样点数N越多的情况，FFT算法计算量的节省效果就越显著。3.4.1快速傅里叶变换算法在高精度剩余电流检测系统中的应用最近，开发高精度剩余电流检测技术一步步发展起来，其功劳离不开研究人员对剩余电流检测手段的一次次创新。节能，绿色照明模式在城市逐渐受欢迎，城市照明中LED灯也逐渐占据主流地位。在路灯照明电路的情况下，剩余的电流检测器从最开始工作人员只是借此来确定电路中是否有物体短路临界电流计算，到可以连续，实时且线性的计算二相、三相残余电流值，发展到现在工作人员可以用剩余的电流检测器检测毫安甚至微安级剩余电流，在微观层面更为准确。剩余电流检测测试系统的核心也通过硬件逐渐向软件过度。自适应滤波器，快速傅里叶变换（FFT）和小窗去噪软件等提高了电流测试精度，广泛用于剩余电流检测器，可以在频域内实现测试，降低信号噪声。为了完成模拟信号的处理，FFT算法可以有效地去除噪声干扰，并且可以在由时间域转换到频率域的转换方面提高检测精度。3.4.2傅里叶变换在舰船动力控制平台干扰信号防御算法中的应用随着科学技术的发展，现代船舶的操作和控制已变得更加自动化，现代化和智能化。船舶的运行主要通过船舶的动力控制平台进行，以控制和操纵主机，发电机组，传动设备，螺旋桨，推进器和其他进料装置。因此，动力控制平台是整船的基本设备。在这种情况下，如果输入的干扰信号将干扰命令发送到船舶的功率控制平台，则将导致船舶失去控制并影响整体战略决策。因此，如何有效抑制杂散信号对舰船动力控制平台的干扰已成为国防领域的重要研究内容。针对上述问题的研究，目前主要有五种方法：有限脉冲响应滤波方法，自适应滤波方法，小波滤波方法，卡尔曼滤波方法，傅立叶变换方法等。傅立叶变换方法是最常见和最成熟的方法之一。使用傅里叶变换去除杂散信号的原理是使用傅里叶变换将信号变换为不同频率的正弦波。然后将要滤波的频率分量的幅度设置为零，最后使用傅立叶逆变换来重构信号以实现信号的去噪，但该方法仅适用于分析线性信号且稳定。因此，可以通过将原始信号分成几个非常小的周期来减少长期序列信号的非平稳性。最后，傅立叶变换用于在每个短时间段内控制船舶的功率控制平台。对混合信号进行分析处理，以达到分析干扰信号的目的。4基于改进傅里叶变换谐波检测方法4.1概述对于常见的含谐波信号，其谐波分量往往被作为需要消除的杂波信号或被提取的特征信号，实现这类消谐或信号提取对于保证信号传输质量、提升信噪比或识别信号特征具有十分重要的意义。在考虑对符合信号进行分析时，由于待分析信号往往是现实工作场景中连续存在的模拟信号，而针对模拟信号的数学分析方法，通过模拟电路实现方式往往是繁复的、高成本以及低精度的。因此，尽管傅里叶变换作为经典数学工具已经具备完备的数学理论体系，但在高精度、强实时性、易存取的要求下，在进行频率分析的过程中仍然将傅里叶变换的离散形式——离散傅里叶变换（DFT）作为主要的实现方法。快速傅里叶（FFT）算法是离散傅里叶变换较为常见的实现方式，其在采样序列长度为2n时，对比DFT能够大幅减少计算次数，进而提高运算效率，广泛用于各类涉及频谱分析的场合。在使用离散傅里叶变换前，对于实际场景的模拟信号，往往需要首先经过数字采集系统对连续模拟信号进行ADC的采样、保持后得到离散信号序列并通过计算机进行分析。离散傅里叶变换方法能够借助计算机的快速运算实现高效的时频域转换，每个频率加权项是复振幅及相位，即当满足迪利克雷条件时，都能够分解为正弦基波分量和频率是基频整数倍的高次正弦分量及直流分量之和。但由于DFT算法需要依靠离散采样的信号序列作为分析对象，在离散过程中可能出现的非同步采样、时域信号存在截断以及在分析过程中由于采样系列时长限制发生频谱泄漏、栅栏效应等影响，造成DFT算法在某些频段分析结果存在一定误差。常见的谐波分析过程中，这些误差可能造成存在频谱不完整、幅值谱存在误差等问题，导致谐波分析结果不准确。本研究首先对连续模拟信号进行离散化计算，使用MATLAB以给定步长计算得到模拟采样的离散信号，针对离散信号使用FFT算法进行时频域转换，并将转换结果以幅度谱和相位谱的形式展现；在对含有超过二倍采样频率谐波分量的复合信号，使用了一种改进的插值FFT方法，对被研究信号分别进行线性插值及多项式插值，并对比使用两种插值方法的谐波分析结果，验证这一改进FFT谐波分析方法的有效性。4.1.1频谱泄漏对于实际模拟信号的分析过程，其离散信号系列首先通过ADC进行采样获得，表现为一个采样频率fs的离散点系列。根据Nyquist采样定理，离散系列能够包含原始信号频率分量完整信息的条件为采样频率大于原始模拟信号所含最高频率分量的二倍，如式4-1所示： （4-1）满足这一条件的采样结果为包含N个离散点的采样序列，记为X(k)。依据Nyquist定理描述，X(k)系列在频域所具有的频率分辨率为fs/N。对模拟信号进行采样的理想结果为被采样信号的各个频率分量所具有的频率为采样分辨率的整数倍，此时采样结果能够包含被采样信号的完整信息。但实际采样中被采样信号的实际频率分布往往不能完全预知或不可预知，如市电信号中，除了50Hz基波以及各整数倍的高次谐波外，往往存在由于开合闸操作引入的高频分量。这一类高次谐波幅值通常不大，但在发生某些故障时可能发生激增，而谐波分析的重要任务之一即分辨此类谐波信号借以判断是否有故障发生。由开关操作引入的这一类谐波，其时域表现近似为阶跃信号或冲激信号，对应到频域这中，其频率分布往往是连续的，这将导致频率分辨率的非整数倍分量无法被完整包含到采样结果中。实际表现为对同一被采样信号的多次采样结果使用FFT进行频率分析后出现如图4.1所示的拖尾效应。图4.1为对应的被采样信号为辐值20、频率41.4Hz的正弦信号，FFT采样频率为128sample/s，频率分辨率为1/64Hz。由于被采样信号实际频率并非采样分辨率整数倍，采样系列的FFT结果出现了较为明显的频谱泄漏，导致频谱并非离散而是出现连续。图4.1频谱泄漏4.1.2栅栏效应离散信号在采样过程中，由于采样频率必然受到ADC性能、计算机存储空间的限制，离散序列只能够以尽可能高的采样频率逼近实际信号。这导致两个采样点之间的被采样信号所包含的信息无法包含到采样结果中。当实际被采样信号具有丰富的高频分量时，这一信息丢失更加明显。这一采样过程存在的物理限制使得对原始信号的分析并非完全能够反应实际被采样信号，而是受到如“栅栏”一般的遮蔽。通常，借助高速采样系统实现更加密集的采样能够使这一现象得到缓解，但过高的采样频率往往使得采样的实时性难以得到保证，同时采样系统复杂性大大提升、经济性受到影响。故实际使用中在尽可能保证采样准确性的同时，兼顾采样系统的实时性与经济性。4.1.3其他误差成因除上述两种理论性的误差来源外，在实际进行频谱分析过程中可能导致误差增加的常见原因可能来自于采样系统的系统误差。在使用ADC对连续模拟信号进行采样的过程中，由于ADC的工作原理限制，其输出只能是某一最小采样分辨率的整数倍，这导致ADC输出与实际信号之间不可避免地引入了一个量化误差，这一误差记为ε，其大小由ADC的位数决定，满足由式4-2给出的大小关系。 （4-2）其中d0为ADC的最小分辨率，n为ADC采样位数。4.2快速傅里叶变换与谐波提取通过快速傅里叶算法对采样系列进行时频变换，采样结果包含了被采样信号在频域中位于采样分辨率整数倍处的频率分量。将变换结果进行坐标、幅值的处理后即可得到原信号的频谱分布，进而观察到原始信号包含的各谐波分量。对各谐波分量的幅度谱、相位谱进行提取后，使用傅里叶反变换即可得到原始信号中的谐波分量。具体操作流程如下。（1）原信号采样对于包含若干谐波分量的连续模拟信号S(x)，对其进行一次采样频率f、采样长度为N的采样，其中N=1/f。完成采样后的离散信号序列为X(k)。（2）快速傅里叶变换对采样结果使用N点FFT变换，得到点数为N的傅里叶变换系列，系列的各个点对应到一个复频域的点，点对应复数的模为这一频率分量的幅值，相角对应为这一频率分量相对被采样信号的相位。（3）谐波提取对傅里叶变换结果取前N/2个复频域点，分别求出这些复频域点的模值、相位，构成采样结果的幅度谱以及相位谱。观察频谱图确定感兴趣的谐波分量并标注。（4）谐波重构确定谐波分量对应的复频域点，选取这些复频域点并按照其幅值大小及相位重构一组正弦信号，将正弦信号进行组合加总即完成谐波分量的提取。4.3基于插值超采样的傅里叶变换谐波提取方法特别的，当原始信号中包含的高频分量，其频率大于二倍采样频率时，直接对原始信号使用FFT算法进行分析将无法完整得到高频分量所包含的完整信息。因此考虑一种信号的延拓方法，能够通过线性插值或多项式插值，对原始信号序列进行延拓，将因采样造成缺失的采样点借助插值进行恢复，实现“过采样”的效果，并借由插值后的离散信号系列进行FFT分析，以获取相对更加完全的频谱信息，尽可能阻止因频谱泄漏效应及栅栏效应引入的误差。对采样后信号系列的插值，采取线性插值及二项式插值两种方法。线性插值即通过计算两个相邻采样点之间的平均值，作为两个采样时刻中间时刻采样值，其数学表达式如(4-4)所示。 (4-4)二项式插值选择Lagrange插值方法进行。要完成采样信号的二次插值，每次需要使用相邻的三个采样点作为确定插值多项式的插值点，并以此构建Lagrange插值多项式。设Lagrange插值多项式有式(4-5)的结构： (4-5)其中x0，x1及x2为相邻的三个采样时刻，li(x)为插值基函数，满足li(xi)=0的条件，从而使得插值多项式在三个采样时刻处分别等于其采样值f(x1)，f(x2)及f(x3)，这一关系使得插值基函数满足式(4-6)给出的条件： (4-6)将式(4-6)带入式(4-5)中，能够求出A、B、C三个系数，并得到插值基函数如式(4-7)所示： (4-7)按照式(4-7)给出的插值多项式进行计算，带入三个相邻采样点间的两个中间时刻，即可得到使用二次插值实现过采样的信号系列，对其使用FFT进行频谱分析，得到包含更多频率信息的谐波分析结果。4.4仿真结果以常见的电力系统三相电路电压信号为研究对象，按照典型的电力系统谐波构成模拟如式4-3所示的包含谐波的电压信号。 （4-3）式中ai为各次谐波幅值，其中基频分量幅值为310V，后续各次谐波峰值按照基波幅值与其谐波次数之比计算。f0为电力系统基频即50Hz，ki为各高次谐波的频率系数，φi为各次谐波相角，其中7次、13次、17次及23次谐波为正序，相角为-120°；5次、11次谐波为负序，相角为120°。带入实际数值后的谐波信号表达式如（4-4）所示。 （4-4）按照这一关系构建波形型号，其实际波形如图4.2所示图4.2各高次谐波电压信号对各频率分量进行求和后得到如图4-3(a)所示波形。实际测量信号往往包含噪声分量，对于原信号，加入频谱均匀分布、功率为0、幅值范围[-10,10]的高斯白噪声n(t)，加入后的复合信号如图4-3(b)所示。含高次谐波电压信号含噪声及高次谐波的电压信号图4.3高次谐波电压信号首先对引入噪声后的信号进行离散化采样，采样频率为2Ks/s，采样总时长为0.1s。对采样结果使用FFT进行分析并记录其频谱特性如图4.4所示：图4.4采样信号频谱分析结果由于引入了噪声信号，频谱分析中包含了幅值较小、频谱分布均匀的噪声信号。同时由于采样频率为2Ks/s，大小为其1/2的采样带宽并未完全覆盖整个信号的频率分布范围，对比原信号表达式可知采样结果中出现了包括23次谐波的缺失，频谱分析结果准确性有待提升。首先使用线性插值对采样序列进行延拓，延拓后的信号如图4.5所示。图4.5线性插值信号与原信号对比进行线性插值后的信号系列与原信号在波形数据并无差别，仅在两个采样时刻之间补齐了采样数据，使得原信号序列实现过采样的效果。对线性插值采样序列使用FFT进行频谱分析，得到频率分布如图4.6所示结果。图4.6线性插值信号频谱分析结果可见在经过线性插值后，信号的频谱分析结果包含了更多频率分量，包括在原始信号序列频谱分析结果中缺失的23次谐波分量。对于原信号系列的频率分量构成可知，使用线性插值实现超采样后，信号能够包含更多信息，但同时高频分量幅值与实际信号具有一定差异，线性插值后的信号也出现了一定程度的失真。考虑使用Lagrange多项式的二次插值方法对原信号进行插值以实现超采样。使用式(4-4)到(4-7)给出的Lagrange多项式插值方法，对原始采样序列使用相邻三个采样点实现二次插值，插值后的信号对比原始信号如图4.7所示。图4.7二次插值信号与原信号对比进行二次插值后，原始信号在高频部分与插值信号之间出现了差异，插值后的信号在高频部分对比原始信号更加光滑，同时采样频率加倍，实现了光滑的超采样。对二次插值信号进行频谱分析，分析结果如图4.8所示。图4.8二次插值信号频谱分析结果在经过二次插值后，信号频谱分析结果在低频段的幅值频率分量相比于使用线性插值的分析结果更加接近与实际信号，同时在中高频段的信号分量普遍大于线性插值的频谱分析结果，更加接近于实际被采样信号的频率分布。同时也要注意到，在使用两种插值方法对原始信号进行插值后，频谱分析结果出现了原始信号中不存在的信号分量，这是由于原始信号包含的各个频率分量在原始采样带宽二倍的超采样带宽内，出现了混叠效应进而导致频谱分析结果出现了实际不存在的频率分量，这些频率分量的实际频率大小均为已有各分量频率的最小公倍数。 使用这两个插值的目的，在对这个超采样序列傅里叶变换之后，能够得到更丰富的频率信息，考虑这个超采样方法，便于使用计算机实现，同时这个实现过程能够相对简单，以保证算法的实施，因此选用这两个插值方法。依据上述三种频谱分析结果对实际被采样信号进行还原，频谱分析结果中幅值较小的频率分量均作为噪声处理，将三种频谱分析过程结果中的主要频率分量进行提取和重构，得到如图4.9所示的原始信号与重构信号对比结果。图4.9重构信号与原始信号对比重构信号结果表明使用FFT提取谐波分量进行分析与重构是可行的，其中对采样系列进行插值实现超采样的方法能够在原采样结果的基础上实现更大范围的采样带宽，获得原始采样频带外的频率分量，使用基于插值方法的FFT进行频率分析是有效的。5总结与展望本研究验证了一种基于快速傅里叶算法的信号谐波检测方法。首先在第一部分介绍了谐波检测的含义以及检测目的；第二部分介绍了谐波检测的实现方法、谐波检测的研究以及谐波检测的原理；第三部分介绍了谐波检测常用的数学工具：傅里叶变换，归纳了傅里叶变化的基本思想，傅里叶变换的数学定义以及数学化表达及实现；第四部分模拟了一种典型的谐波分析方法，通过使用FFT算法对离散化的模拟信号序列进行了傅里叶变换，并依据谐波分析结果对实际谐波复合信号进行了重构，验证了这一谐波分析方法的可行性及有效性。对比原始信号使用FFT与使用插值算法构造的超采样序列进行FFT分析后的频谱结果可见，对于相同采样率的原始信号，使用插值算法对其采样率进行提升以构造超采样效果后，信号包含了更丰富的频率信息，对于原始采样率下无法获取的频率分量能够借由插值算法完成一定程度上的提取，同时选用的插值算法包括线性插值及二项式插值，计算复杂度较低且能够