2025年高三数学高考随机变量及其分布模拟试题

2025年高三数学高考随机变量及其分布模拟试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）设随机变量X的分布列如下：X1234P1/61/31/6p则p的值为（）A.1/6B.1/3C.2/3D.1/2随机变量ξ的分布列如下：ξ-101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|=1)等于（）A.1/3B.1/4C.1/2D.2/3已知X是离散型随机变量，P(X=1)=1/4，P(X=a)=3/4，E(X)=7/4，则D(2X-1)等于（）A.2/5B.3/4C.3/5D.5/6设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k/5)=ak(k=1,2,3,4,5)，则P(1/10<ξ<7/10)等于（）A.3/5B.4/5C.2/5D.1/5设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=m(2/3)^k，k=1,2,3，则m的值是（）A.17/36B.27/38C.17/19D.27/19一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用X表示两个球中白球的个数，则X的分布列为（）A.|X|0|1|2||----|----|----|----||P|2/7|4/7|1/7|B.|X|0|1|2||----|----|----|----||P|1/7|4/7|2/7|C.|X|0|1|2||----|----|----|----||P|6/21|12/21|3/21|D.|X|0|1|2||----|----|----|----||P|3/7|3/7|1/7|已知随机变量X的分布列为P(X=i)=2a^i(i=1,2,3)，则P(X=2)等于（）A.1/9B.1/6C.1/3D.1/4某学校有A、B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐。如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4。则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（）A.0.24B.0.36C.0.5D.0.52两批同种规格的产品，第一批占70%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%。将这两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（）A.5.5%B.5.6%C.5.7%D.5.8%已知随机事件A、B满足P(A)=1/3，P(B)=1/2，P(A∪B)=2/3，则P(A|B)等于（）A.2/9B.2/3C.1/4D.1/6已知某精密仪器测量金属薄片的误差X服从正态分布N(2,σ²)，随机抽取10个测量数据，设Y为这10个数据误差在(2-3σ,2+3σ)之外的个数，则下列说法正确的是（已知若随机变量Z~N(μ,σ²)，则P(|Z-μ|<3σ)=0.9974）（）A.E(Y)=0.026B.D(Y)=0.0253C.P(Y=0)=0.974^10D.P(Y=1)=C(10,1)0.974^90.026甲、乙两人进行抛硬币比赛。两人分别抛掷一枚均匀硬币，如果抛出"正面朝上"，则得1分，如果抛出"反面朝上"，则得0分。甲和乙分别抛掷3次后，如果两人得分相差大于1分，比赛终止；如果两人分数相差不大于1分，则由乙再进行一次抛掷后比赛终止，该次抛掷若为"正面朝上"，则乙得分不变，若为"反面朝上"，则乙得分减1分。按照规定，比赛终止时甲得分高于乙的概率为（）A.5/16B.7/16C.9/32D.11/32二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在信息理论中，X和Y是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：P(X=k)=p_k，P(Y=k)=q_k，k=1,2,...,n。定义随机变量X的信息量I(X)=-logp_X，X和Y的"距离"D(X,Y)=1/2Σ|p_k-q_k|。若X的分布列为P(X=1)=1/2，P(X=2)=1/2，则I(X)的分布列为________，D(X,X)=________。某汽车公司拟对"东方红"款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如下：x234567y232425262728当2≤x≤7时，建立了y与x的线性回归模型：y=bx+a，经计算得b=1，则a=________，当x=16亿元时，预测直接收益为________亿元。科技改造后，"东方红"款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布N(50%,3%)。公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元。则每台发动机获得奖励的数学期望为________万元。（附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ²)，则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544）某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器工作相互独立，工作时发生故障的概率都是1/4，且一台机器的故障能由一个维修工处理。已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，采用方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器。则甲维护的2台机器中至少有1台发生故障的概率为________；采用方案二：由甲、乙两人共同维护6台机器。则机器发生故障时不能及时维修的概率为________。（结果用分数表示）三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（10分）某"套圈"摊位规定：成功套中商品1次或套5次后游戏结束，每套一次圈需花费5元，每次套中商品的概率为1/3，用随机变量X表示某位小朋友的"套圈"次数。(1)求X的分布列和数学期望；(2)若"套圈"摊位中，每件商品的平均价格为10元，一个套圈摊位每天约有40名小朋友玩"套圈"，估计该摊主每天的利润（保留整数）。（12分）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象。小明设计了一个"高尔顿钉板"，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍。当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置。(1)若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是多少？(2)记小球最终落入的位置编号为ξ（最左边为0号位置，向右依次递增），求ξ的分布列和数学期望。（12分）甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜。假设每局比赛甲赢的概率都是p(0<p<1)，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局。(1)当p=1/2，两人共进行5局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为X，求X的分布列和数学期望；(2)当p=1/2时，两人共进行n(n=2k+1,k∈N*)局比赛，记事件A表示"在前n-1局比赛中甲赢了k局"，事件B表示"甲最终获胜"，求P(B|A)的值。（12分）某公司为活跃气氛提升士气，年终以通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励。规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额。(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：①员工所获得的奖励额为1000元的概率；②员工所获得的奖励额的分布列及均值；(2)公司对奖励额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成。为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由。（12分）发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1。现发报台发出信号为0的概率为2/3，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为3/4，发出信号1接收台收到信号为1的概率为3/4。(1)求接收台收到信号为1的概率；(2)求接收台收到信号为1的条件下，发报台发出信号为1的概率；(3)记随机变量X和Y分别为发出信号和收到信号，证明：D(X)≥D(Y)。（12分）某工厂生产的产品分为一等品、二等品和次品三个等级，其中一等品率为70%，二等品率为20%，次品率为10%。为了提高产品质量，工厂决定对生产工艺进行改进，改进后随机抽取100件产品进行检测，得到如下数据：等级一等品二等品次品数量75205(1)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为工艺改进对产品质量有显著影响？(2)改进工艺后，每件一等品可