专题05相似三角形中的基本模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学沪科版九年级上册（原卷版）

专题05相似三角形中的基本模型之对角互补模型相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型趣事 1真题现模型 2提炼模型 4模型运用 5模型1.对角互补模型（相似模型） 5 17因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。‌(1)概念理解①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________；A．平行四边形

B．菱形C．矩形

D．正方形(2)探究发现(3)拓展应用(1)①在以下四种图形中，一定是“求同存异四边形”的是______；A．平行四边形

B．菱形

C．矩形

D．正方形1）对角互补相似1条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH∴∠DOF+∠HOF＝90°，2）对角互补相似 2条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°，∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF；模型1.对角互补模型（相似模型）例1（2425九年级下·广东深圳·阶段练习）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．【定义】至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．(1)操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号）①写出图2中相等的角，并说明理由；②当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．例2（2425九年级下·陕西咸阳·期中）定义新知定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．初步探究（1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点的位置，使得以、、、四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点，同时画出这个四边形）拓展应用例3（2025·河南商丘·二模）综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．

(1)操作判断(2)性质探究(3)拓展应用例4（2025·河南洛阳·一模）综合与实践在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究．定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．(1)【初步探究】(2)【问题解决】(3)【拓展应用】（1）的长为．(1)概念理解①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________；A．平行四边形

B．菱形C．矩形

D．正方形(2)探究发现(3)拓展应用(1)理解操作(2)理解应用②判断，，之间的数量关系，并加以证明．(3)拓展延伸4．（2425八年级下·新疆阿克苏·期中）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．(1)操作判断用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图（1）所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有（填序号）．(2)性质探究(3)拓展应用5．（2425九年级上·江苏扬州·期中）综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．(1)操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．(2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．①写出图中相等的角，并说明理由；(3)拓展应用6．（2425九年级下·湖南株洲·期末）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

7．（2025九年级上·湖南·专题练习）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．(1)概念理解①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（

）A．平行四边形

B．菱形

C．矩形

D．正方形(2)探究发现(3)拓展应用9．（2425九年级上·山西晋中·阶段练习）阅读理解如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比，证明：分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，得到图2，10．（2425九年级上·安徽芜湖·阶段练习）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：运用：11．（2425九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：在四边形ABCD中，如果∠ABC+∠ADC＝90°，那么我们把这样的四边形称为余对角四边形．{问题探索}问题：如图1，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC＝BC，∠ACB＝60°．求证：AD2+DC2＝BD2．探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：因为AC＝BC，∠ACB＝60°，所以ABC是等边三角形，将CBD绕点C顺时针方向旋转60°，得CAE，连接DE．⋯⋯请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．{问题推广}已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，∠ABC+∠ADC＝90°，AC＝AB＝k•BC（k≠1），如图2，类比前面问题的解决方法探究DA、DB、DC三者之间关系，并说明理由．{灵活运用}如图3，已知AC、BD是四边形ABCD的对角线，∠ABC+∠ADC＝90°，若AC＝2，BC＝，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，则AD＝．12．如图，在△ABC中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC交于点E、F，且∠EDF与∠A互补．（1）如图1，若AB=AC，D为BC的中点时，则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；（2）如图2，若AB=kAC，D为BC的中点时，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出DE与DF的关系并说明理由；（3）如图3，若=a，且=b，直接写出=．13．（2025九年级·新疆乌鲁木齐·专题练习）【课本再现】【类比探究】15．（2425九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：16．（2425九年级上·湖南邵阳·期末）定义：有一组对角互补的四